深入发掘多角度理解--前n个自然数的平方和公式的探求与证明

在学习数学归纳法时,我们证明了前n个自然数的平方和的公式:     

自然数平方和公式的研究性学习

现行高中数学教材中，最早出现自然数平方和公式是在高二球体积公式的推导中，这里只是用到了公式的结果，其证明则是在高三学习数学归纳法时完成的．为了使学生能够较自然地使用这一公式，笔者在球体积公式的教学之前，特意安排了自然数平方和公式的研究性学习，收到了不错的效果．     

构造法证明自然数平方和公式

现行高中代数(必修)下册封面给出了一个公式1~2 2~2 … n~2=(1/6)n(n 1)(2n十1),并有一附图,此图呈塔状,给我们有益的     

自然数平方和公式的论证方法集锦

,。。\3。。1.、、。、、。。、,、、,。。、。。。、。,。、,。。、、,。、、公式凸y一手n(n l)(Zn十1)的论证方法集录整理如下,以资有兴者研讨。“—”——””6“““””“””—““—””“”—一””‘—”“————”—””’”-’””’“””””’”””证法l(递推     

再谈自然数平方和公式的直观证明

本刊1956年第4期中有毛冠勋同志“自然数的平方和公式的一种直观证明法”一文,这是在证明了下面的公式的基礎上,用直观图形来证明下面的自然数平方和公式的:文中对于公式(1)的证明,是用的数学归纳法,可惜没有能够也用直观图形来证明。现在我想到下面的一种直观图形,可以用来证明公式(1):     

关于自然数平方和的几个模型

自然数的平方和∑ｎｋ =1ｋ2 =16 ｎ(ｎ 1) ( 2ｎ 1)有多种证明方法 ,除了用数学归纳法、变换数学公式、组合恒等式等证明外 ,还可以构造模型来证明 .模型 1　分析求和数 ,ｋ2 (ｋ =1,2 ,… ,ｎ)表示ｋ个ｋ之和 .12 2 2 … ｎ2 形式整齐 .作一等边三角形 ,将各边分成ｎ - 1等份 ,过分点作另两边的平行线 ,可以得到 1 2 … ｎ =12 ｎ(ｎ 1)个分点 .将求和数摆到三角形各交点上 ,ｋ2 摆在第ｋ行的ｋ个位置上 ,表示ｋ个ｋ之和 (图 1( 1) ) .旋转此三角形数阵得到另两个三角形数阵 (图 1( 2 )、1( 3) ) ,每一线段上的数字顺序成等…     

万能公式的几何证法

本文给出万能公式的几个让伍,供梦古B‘户l-||一 EJ爪.|L一~义三一划F CD证法一图1如图1,设刀D土 图2AD,CE土AB,EF土AC,AF二1,乙A 易知E为AB 故FD~AF一乙ABC一a/2(a为锐角).的中点,F为AD的中点,,BD一ZEF=Ztan在Rt△EFC中,因为匕CEF一艺A~a2’a/2,所以FCEF丁一‘all一万,所以CD一FD一FC一1一tanZ一AC一J今矛, FC-1一‘a‘,一万咖贯a一Q‘于是,在Rt△BDCa一9曰“al,万中立即得到 1一tanZ5 Ina忿二二COSa=i一‘a“一万1十’a“一万tana-乙,a‘,万i一‘己,,万 证法二如图2,00是等腰△ABC的外接圆,H为△ABC的垂…     

自然数的平方和公式的一种直观证明法

关于自然数的平方和問題,在吉西略夫高級中学課本代数中,已有証明,惟不易为学生所接受。“数学通报”1955年10月号发表了刘友同志译自苏联“数学教学”的自然数的平方和一文,对于本問題,用圖形來說明,确是一个良好的方法;但美中不足的是图形的直观性尚嫌不够。茲就本問題,提出另一个用圖形說明的方法,請同志們指教。在未談本問題前,先就下述命題加以研究:     

等比数列前n项和公式的几种证法

等比数列前ｎ项和公式的几种证法□平凉市四中贾成群高中课本中推导等比数列前ｎ项和公式的方法是错位相减法．本文再介绍七种方法，以飨读者．设等比数列｛ａｎ｝的首项为ａ１，公比为ｑ，求前ｎ项和为Ｓｎ（本文只证ｑ≠１的情况）方法一（添补项法）∵Ｓｎ＝ａ１＋ａ...     

等比数列前n项和公式的五种证法

设数列a_1,a_2,…,a_n,…为等比数列,公比为q,则它的前n项和即为S_n=a_1 a_2 a_3 … a_n,当q=1时,显然有S_n=na_1,以下用五种方法证明,当q≠1时,S_n=a_1(1-q~n)/(1-q)。     

连续自然数平方和的规律

下午第三节课,初一(1)班教室出奇的安静,这是什么原因呢?原来数学兴趣小组的成员们正围着一幅名画上的“难题”在冥思苦想.名画《难题》是俄国著名画家波洛丹洛夫·别林斯基的代表作.这个难题是要求用口算很快地求出(102 112 122 132 142)÷365的结果.小婷心直口快,首先打破了沉默:“本题若先算平方,再求和,而后做除法,运算繁杂.能巧解吗?”     

一个不等式的几何证法

已知a、6、c、d均为正数,求证:(a~2 b~2 c~2 )~(1/2) (b~2 c~2 d~2)~(1/2) (c~2 d~2 a~2)~(1/2) (d~2 a~2 b~2)~(1/2)≥3~(1/2)(a b c d)。从要证明的结果中容易看出,左边四个根号内都是三个非负数的完全平方和,而长方体的对角线的长等于相邻的三边平方和的平方根,就想到了用立体几何知识来解这个问题。证:如图所示,作棱长为a、b、c的长方体OP,再作棱长为b、c、d的长方体PQ,且使长方体PQ的三方向的棱     

一个不等式的几何证法

证明:如图,作△ABC,使∠A=120°,AB=x,AC=y,延长BA至点D使AD=y.连     

一个几何命题的纯几何证法

读了贵刊1995年第10期《涉及三角形中线的两个性质》一文后,觉得其中的性质1尚有简单的纯几何证法. 性质1 如图,△ABC三条中线为AD、BE、CF,重心为G,△DGL、△FGM为正三角形,N为BG的中点,则△LMN为正三角形。 证明 边结DN、FN,则DGFN为平行     

与自然数n有关的不等式的又一证法

本刊90年第6期上,王德刚老师给出了证明一些与自然数n有关的不等式的一种较为实用的方法,该法是通过f(a)>g(a),f(n)-g(n)>f(n-1)-g(n-1),证得f(n)>g(n)(n≥a)。受此启示,横向类比,笔者再给出证明形如f(n)>g(n)的一个也很实用的方法。定理     

与自然数n有关的不等式的一种证法

不等式的证明是中学数学习题的一大类型,我们知道,与自然数n有关的不等式的证明,其常规解题思路是利用数学归纳法,笔者试图通过下述定理来证明一些与自然数n有关的不等式的问题. 定理若f(n)与g(n)都是自然数集上的函数,则不等式f(n)>g(n)对一切自然数n≥a成立的充分条件是:     

"自然数的平方和"初探

本文立足于中学实际,从立方差公式、排列组合数的性质和高阶等差数列的角度对自然数的平方和作探究,使中学生和中学数学教育工作者从不同的角度对同一知识点进行重新认识,培养学生对知识的内化能力,从而提高学生的数学素养,为学生进一步应用数学奠定良好的知识基础.     

一个求和公式的组合证法

<正> 在高中代数中有这样一个求和公式:12+22+32+…+n2=1/6n(n+1)(2n+1). (*)这个公式有各种证明方法,这里提供一种证法,供大家欣赏.这一证法主要运用了组合数的定义及性质Cnk+1=Cnk+Cn(k-1).由n2=(n+1)n-n=2·((n+1)n)/2-n中的((n+1)n)/2可     

一个代数不等式的几何证法

华东师大《数学教学》2002年第1期的“数学问题与解答”栏中的问题554是:已知x,y∈R,求证(1)经探究,不等式(1)的左端——作为关于x和y的二元函数表达式——其最小值并非是,而是,不等式(1)的右端疑为笔误(当然,原不等式(1),也是正确的,只是其中的等号不可能成立).