再谈数轴标根法及其应用

"数轴标根法"是解一元二次不等式、一元高次多项式不等式及有理分式不等式的一种简便而有效的方法之一,它充分应用了数形结合思想,可便捷地求出不等式的解集.其优越性在函数的单调性、极值问题及曲线的凹凸与拐点的应用中也能凸现.对此,笔者对数轴标根法及其应用再作较系统的探讨,以供读者参考.     

第六章 不等式

不等式这一章重点内容是不等式的解法及不等式的证明.掌握好不等式的性质及等价变形原则是学好本章的关键.不等式的证明没有固定的模式可以套用,其方法灵活多变,技巧性强,综合性强.处理好不等式的证明需要熟练掌握不等式的基本性质、重要不等式及定理;掌握不等式证明的比较法、综合法、分析法及其他有关方法;强化不等式的应用.     

不等式在初等数学证题中的应用

不等式在初等数学中的应用很广泛,它分为解析不等式和几何不等式.我主要从解析不等式进行探讨,先介绍一些重要的不等式以及这些不等式在初等数学证题中的应用举例,然后从方程和函数、三角证题及三角不等式、极值问题、平面几何不等式、立体几何不等式、解析几何问题及数列与极限这七个方面进行阐述,说明不等武的应用.在几何不等式中,举出一个例题说明在平面几何不等式的证题中的应用.通过对不等式系统的整理和论述,使学生更好地掌握这方面的知识,培养逻辑思维能力.     

一类不等式成立的条件

在符号计算、代数计算及不等式的自动推理的研究中,带符号系数的多元不等式组的判定问题占有重要地位.一个一元符号多项式的正定性可根据它的实根个数为零作出判定,并利用多项式的判别系统来完成,在高次的情形得到的结果已相当复杂.但对于带符号系数的一元不等式组的判定问题,仅用其中每个多项式的判别系统已不能达到目的.利用多项式的推广的判别式序列,我们讨论了带符号系数的一元不等式组的判定问题,并用例子说明我们的方法能给出不等式组成立时系数应满足的条件.     

求和不等式与积分不等式

本文对求和平等式及积分不等式作了系统研究,详细阐述了求和不等式与积分不等式的关系,提出了建立和证明积分不等式新的方法。     

借助导数 巧用函数性质证明不等式

正不等式证明是高中数学的重点难点之一.不等式的种类繁多,证明的方法也难易悬殊,使用的技巧各异,尽管教材中对不等式的证明给出了系统的总结,但是有很多不等式,我们还是较难快速简洁地证明它.特别是有些不等式,如果用常用的初等方法去证明,我们会感到无从下手.这时如果我们如果将它作个恒等变形,使它转化为我们较熟悉的函数不等式,再借助导数,利用函数的相关性质来证明,往往会事半功倍.一、利用函数单调性证明不等式     

求和不等式与积分不等式

本文对求和平等工及积分不等式作了系统研究，详细阐述了求和不等式与积分不等式的关系，提出了建立和证明积分不等式新的方法。     

解指数和对数方程及不等式的通法

在指数函数性质和对数函数性质应用中,总涉及解指数和对数方程及不等式问题,但教材并没有作系统的归纳.下面根据高考中考查的有关要求,对解指数和对数方程及不等式通法进行较为系统的归纳和总结.     

不等式性质使用的方法与技巧

不等式是高考必考内容之一.不等式的概念和性质,是证明不等式和解不等式的主要依据,是不等式问题进行等价转化的工具.高考考查不等式性质时,题目小巧,解法灵活,所以在学习不等式性质的使用时,应掌握各类不等式的特点及同解变形的特殊性,认真归纳相关问题的常规解法和思路.1不等式命题真假的判断方法与技巧     

常见不等式通用解法的一般步骤

不等式的解法是中学数学的主体内容,几乎覆盖了高中数学所有的章节.常见的不等式包括一元二次不等式、一元高次不等式、分式不等式及带绝对值的不等式,针对这几类不等式,我们从中寻找出一种通用的解题方法,使问题化难为易、化繁为简,从而得到顺利解决.     

例谈高考对《不等式选讲》的考查

《不等式选讲》作为高考选考内容之一,是对以前所学不等式内容的加强、延伸和深化,通过不等式的证明、不等式的几何意义、不等式的背景,从不等式的数学本质上加以剖析,从而提高逻辑思维能力、分析和解决问题的能力.主要内容包括绝对值不等式、平均值不等式、柯西不等式及证明不等式的基本方法.重点考查内容有解含绝对值不等式、含绝对值函数的作图及函数图象间的关系、解含绝对值不等式的参数问题以及利用重要不等式对一些简单的不等式进行证明等,考查利用数形结合解决问题的能力.     

二、不等式

不等式不仅是高中的主体内容,也是升入大学的预备知识.不等式这一单元可分为三部分,第一是不等式的性质,它是解不等式和证明不等式的理论基础,特别要注意不等式两边同乘(除)一个数(式)的情况.第二是解不等式,它是这一单元的重点,应掌握各类不等式的解法及含参数的讨论问题.解不等式的关键是步步变形,寻求同解.第三是证明不等式,它是一个难点,对于难点应抓好主要方法,如比较法、分析法、综合法及数学归纳法,适当掌握一些代换与放缩的技巧.还要注意不等式是求函数定义域和值域的重要工具,平均值不等式是求函数最值的重要方法.下面举例     

基于线性矩阵不等式的时滞广义系统的稳定性与镇定

研究了时滞广义系统的稳定与镇定问题.利用广义二次稳定和广义二次镇定的概念,应用线性矩阵不等式方法分别给出了时滞广义系统广义二次稳定和广义二次镇定的充要条件,它们都是一严格的线性矩阵不等式,同时给出了相应的控制器表达式.最后,举例说明了给出方法的应用.     

函数性态在不等式证明中的应用

不等式的证明具有很强的技巧性,方法灵活多变,是对知识的综合性运用.目前有多种形式的方法可用来证明不等式,其中运用函数的性态证明不等式显得尤为重要.本文从函数的单调性、极值性、有界性、凸性、微分中值定理及导函数等方面来讨论了函数性态在不等式证明中的应用问题,找出了一些证明不等式的新的方法和规律.     

一类不确定奇异系统的H∞控制

针对不确定时滞的奇异系统H8状态反馈控制,基于线性矩阵不等式方法(LMI)及Lyapunov稳定性理论导出使得奇异系统鲁棒可镇定且具有H8范数界γ的一个充分条件,并用线性矩阵不等式给出状态反馈控制器设计方法。数值例子证明了该方法的有效性。     

关于基本初等函数的一组不等式

由一些常见不等式出发,采用微分法及初等方法得到了一组有趣的不等式.     

例析不等式证明的一些基本方法

不等式在高考及各级各类竞赛中都有比较重要的地位,但是不等式的形式多种多样,初学者往往会陷入到一些不等式变换技巧的泥潭中.因此,掌握住一些基本的思想方法,还是必要的,这样处理起来会更有思路.下面笔者谈一些处理不等式基本方法,以期抛砖引玉!     

混沌动力系统的脉冲同步

研究了混沌系统的脉冲同步问题.利用脉冲控制理论和线性矩阵不等式的方法,得到了关于混沌系统脉冲同步的一个充分条件.     

不等式的证明及典型例题分析

本文通过对不等式证明的推导,阐述了不等式证明的几种常见类型及方法和一些常用的典型技巧,并结合具体的证明使学生更好地理解不等式的证明及应用.     

三角换元法解题模式——以全国高中数学联赛(预赛)题为例

<正>现行的高中数学课程标准已降低了对不等式的要求,且将不等式证明这一版块纳为理科选修内容(选修4—5).因此,大部分同学在高中阶段未能系统学习和掌握一些重要的不等式(如均值不等式,柯西不等式,排序不等式,伯努利不等式等)以及不等式证明的方法和技巧.一些数学优秀的高中生,有志于参加高校的自主选拔和各类数学竞赛考试,而这些考试中涉及不等式知识的试题较多且考查要求较高.那么,如何解决这个矛盾呢?考虑到三角函数是高中数学的基础内容,也是