数学比喻

许多名人喜欢用数学比喻,往往出语幽默、诙谐,好比深山闻钟,令人记忆久远．古希腊哲学家芝诺号称“悖论之父”,他有四个数学悖论一直传到今天．他有一句名言:“大圆圈比小圆圈掌握的知识要多一点,但因为大圆圈的圆周比小圆圈的长,所以它与外界空白的接触面也就比小圆圈大,因此更感到知识的不足,需要努力去学习．”     

错在哪里？

这里有一个悖论．相信是奥古斯塔斯德根（1806～1871年）提出的，或许起源他的时之前．德摩根喜欢收集数学怪题或者任何种类怪事．他因他的古怪而出名，但同时他也是一有天赋的代数学家和教师．他在研究发展数学辑方面的工作中起了重要的作用．现在看下列论据．     

数学比喻

许多名人喜欢用数学比喻,往往出语幽默、诙谐,好比深山闻钟,让人记忆久远。古希腊哲学家芝诺号称“悖论之父”,他有四个数学悖论一直流传到今天。他曾讲过一句名言“:大圆圈比小圆圈掌握的知识要多一点,但因为大圆圈的圆周比小圆圈的长,所以它与外界空白的接触面也就比小圆圈大     

数学基础理论中的千古悬案——科学哲学——芝诺悖论、贝克莱悖论和罗素悖论新解

结合新发现的经典无穷观和与之相关的经典数量体系中所存在的缺陷,从基础理论学的新思路,分析、揭示了悬而未决的芝诺悖论、贝克莱悖论和罗素悖论这三大悖论家族所暴露的自古以来就存在于数学基础理论中与“有穷-无穷”概念相关内容的缺陷,并认为,自古以来由于受“重形式-轻本体”这种错误思路的影响,数学与科学哲学基础理论中与“有穷-无穷”概念相关的那部分内容非常薄弱,导致了三大悖论家族的产生与不断繁荣壮大,使人们无法真正认清这三大悖论的本质,从而决定了由它们所揭示的问题在现有科学理论体系中一直无法得到解决．     

课堂问题变式浅析

“中国学习者的悖论”早有介绍，基本内容如下：其一，教师在数学教学中起着绝对的支配作用，学生在数学教学中处于纯粹的被动地位；其二，中国学生比起其他国家学生(尤其是西方国家)有着较好的学习效果(参见文[1]P．266)．悖论也就由此产生：教师绝对的支配作用和学生纯粹的被动地位的数学教学却产生了较好的学习效果．     

也谈"中国学习者的悖论"--对我国数学教育特色的若干思考

我国许多学者致力于“中国学习者的悖论”研究．“悖论”问题的研究是我国数学教育理论与实践研究向深层次的推进，采用国际规范方法研究我国的数学教育是十分必要的．我国数学教育强调“过程与结果并重”；强调反复练习并非机械训练；强调学习中要“以苦为乐”，从而获得更高层次的快乐；强调内在动力与外部动力并重，即不排斥考试．     

论说谎者悖论和罗素悖论的辩证矛盾本质

论说谎者悖论和罗素悖论的辩证矛盾本质刘高岑人们公认悖论可以分为两类：语义悖论和逻辑—数学悖论。最典型最深刻的语义悖论是说谎者悖论;而罗素悖论则被认为是逻辑—数学悖论的典型代表。关于这两个悖论,国内主要有三种观点。一种观点认为这两个悖论都是“混淆了部分...     

几个有趣的概率悖论

话说在萨维尔村,有个理发师挂出了一块招牌“:我只给村里所有那些不给自己理发的人理发.”有人就问他“:你给不给自己理发?”理发师顿时无言以对.因为如果理发师不给自己理发,他就属于招牌上的那一类人,有言在先,他应该给自己理发.反之,如果这个理发师给他自己理发,根据招牌上所言,他只给村中那些不给自己理发的人理发,他就不能给自己理发.因此,无论这个理发师怎么回答,都不能排除内在的矛盾.这个有趣的故事就是悖论的典型例子.所谓悖论,是一个逻辑学的术语,是指那些会导致逻辑矛盾的命题或论述.数学中经常有各种各样的悖论,有些甚至在数学…     

中国数学课堂教学的一些特点

研究中国数学课堂教学的特点,包括优势与不足,是一个广泛而深入的课题．对中国数学教育的研究从某种意义上来讲,正在遵循着科学研究的范式．在不断地揭示着数学教育中的现象及其本质．如果说“中国学习者的悖论”不成立,就需要有新的证据进行“反驳”,去“证伪”,推翻这一命题,得出新的结论．     

漫谈数学史上的三次危机

由悖论引起了数学史上的三次较大危机,每一次“危机”对人们观念都有冲突,另一方面也说明了数学悖论巨大地推动了数学的发展。     

现代西方悖论研究之进展

<正> 现代悖论研究产生二十世纪初的西方,它主要是采用现代逻辑作为工具来分析和探讨悖论。如果从1901年“罗素悖论”的发现算起,那么,时至今日西方学术界对悖论的现代研究已有九十年历程。在悖论的现代研究中,国外有许多学者从不同学科和不同角度提出了处理悖论的方法和解决悖论的方案,本文结合于此,对现代悖论研究的进展进行探讨。一、罗素的类型论罗素是现代悖论学说史上第一个指出悖论的重要性并给予认真研究的人,也可以说他是悖论学说现代研究的开拓者和奠基者。1901年春,罗素把康托关于无最大基数的证明经过一番仔细思索之后,发现了一个悖论;1902年他向弗雷格正式提出悖论;1903年在他的《数学的原则》附录B中,提出了类型论的初步设想;1906年,他提出了三种可能解决悖论的方法,即量性限制理论、曲折理论和     

新课程中使用“悖论”的思考和探索

数学悖论是数学文化的重要组成部分,是重要的课程资源．在高中数学教学过程中重视数学悖论研究与使用,这对提高中学数学教师认识水平和培养学生的数学思维能力、增加人文教育等具有重要作用,然而,当前的中学数学教育并没有对悖论给予应有的重视,特别是在新课程理念下,高中教学中如何使用悖论,充分发挥它们在教学常规中的作用,为我们的新课程改革减负增效．本文结合上述问题谈谈自己的思考和探索．     

漫谈数学史上的三次危机

由悖论引起了数学史上的三次较大危机,每一次“危机”对人们观念都有冲突,另一方面也说明了数学悖论巨大地推动了数学的发展。     

论“物元分析(MEA)”对数学的开拓

一、数学的几次重大开拓 世界上有些科学家论述数学的重大进展或转折点时有所谓数学危机(Mathemati-cal crisis)的说法,认为第一次危机是公元前400年Hippasus发现不可通约性,对古希腊的数学观点有很大的冲击,他的同伴把他抛进了大海,这次“危机”导致无理数的出现。第二次危机是无穷小量引起的,反映数学内部有限与无穷小的矛盾、连续与离散的矛盾,与很早的Zeno悖论(运动不存在)相呼应,导致微积分的诞生(1665),第三次危机由Cantor集合论(1874)引起,出现了Russell悖论,导致数学基础的研     

数学“悖论”的恩考和探索

数学悖论是数学文化的重要组成部分,是重要的课程资源．在高中数学教学过程中重视数学悖论研究与使用,这对提高中学数学教师认识水平和培养学生的数学思维能力、     

数学基础中的逻辑主义

康托尔创立集合论,推进了数学家对于“无穷”的认识,但是却引出了被称为集合论悖论的第三次数学危机,这次危机导致了人们对于数学基础的深入研究。逻辑主义学派不仅致力解决集合论悖论．还决心将数学的基础建立在逻辑之上。该学派的工作虽然极大地促进了数学基础的研究和数理逻辑的发展,但是,将数学建立在逻辑上的目的却没有取得最终的成功。     

趣谈悖论

什么是悖论?笼统地说，是指这样的推理过程：它看上去是合理的，但结果却得出了矛盾．悖论在很多情况下表现为能得出不符合排中律的矛盾命题：它若真，可以推出它为假；它若假，则可以推出它为真．由于严格性被公认为是数学的一个主要特点，因此数学中出现悖论会造成对数学可靠性的怀疑．如果这一悖论涉及面十分广泛的话，这种冲击波会更为强烈，由此导致的怀疑还会引发人们认识上的普遍危机感．     

无穷之旅

1．几则悖论 数学与无穷有着不解之缘,早在古希腊时期人们就开始关注无穷,而谈到无穷,不能不提到古希腊哲学家芝诺的阿基里斯与乌龟的悖论．     

芝诺悖论——阿基里斯与乌龟

悖论是有趣的．而且是数学的一个非常重要的部分．它突出地表明．在陈述或证明某种想法时小心地使它不出现漏洞是多么重要．在数学中,我们常常试图使数学思想覆盖尽可能多的方面．例如我们试图概括一个概念以使它能够用于更多的对象．概括无疑是重要的,但它也可能导致危险．我们务必谨慎从事．一些悖论就说明了这种危险的存在．     

说导致悖论教学法

说导致悖论教学法费宏（江苏省武进市奔牛中学，２１３１３１）一、什么是悖论悖论是逻辑学的名词．在古希腊，悖论被称为“疑难”，意思是：“无路可走”．当代，对它有着不同的理解，如在物理学中，悖论常译作佯谬．实践证明物理学的发展都与悖论的研究有直接的关系．如...