聚焦三角函数的图像与性质

根据三角函数的图像分析其性质1.三角函数的定义域(1)函数y=tanx的定义域是{x|x≠kπ π/2,k∈Z}或(kπ-π/2,kπ π/2)(k∈Z).上述两种定义域的表示法都需要掌握,即角x不能取终边在y轴上的角.(2)函数y=sinx和y=cosx的定义域都是R.2.三角函数的值域(1)函数y=sinx和y=cosx的值域均为[-1,1],函数y=tanx的值域为R.(2)复合三角函数的值域问题比较复杂,除了代数求值域的方法都可以适用外,还要注意三角函数本身的特点,特别是经常需要先进行三角变换然后再来求值域.一些常用的三角函数的值域要熟记.     

关于复数的辐角主值

任意一个复数z=a bi(a、b∈R)都与复平面内以原点O为始点,复数z在复平面内的对应点Z为终点的向量一一对应.复数的辐角是以x轴的正半轴为始边,向量OZ所在的射线(起点是O)为终边的角θ.任     

数学奥林匹克高中训练题(72)

第一试一、选择题 (每小题 6分 ,共 36分 )1 .已知集合M ={x|x2 9y2 =9,x、y∈R},N ={x|x2 y2 - 2ax =0 ,x、y∈R ,|a|≤1 ,且a为常数 }.则M∩N =(　　 ) .(A) {x| |x| ≤1 }(B) {x| |x| ≤|a| }(C) {x|a - |a| ≤x≤a |a| }(D) {x| |x| ≤2 }2 .方程 (a - 1 ) (sin 2x c     

不可忽视的“空集”

空集是不含任何元素的集合,并且规定:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.在子集的综合问题中,空集这个特殊的集合不可忽视.下面举例说明:例1设A={x|-2≤x≤a},B={y|y=2x+3,x∈A},C={z|z=x2,x∈A}.若C(?)B,求实数a的取值范围.分析:因C={z|z=x2,x∈A},这就出现了是(-2)2大或是a2大的     

一道有争议的1990年上海市高中数学会考题

1990年上海市普通高级中学会考试题数学第一大题的第8小题是一道有争议的题目,原题是这样的,“顶点在原点,终边在x轴的负半轴上的角α的一般形式是____。”原题给出了角α的顶点及终边,但是没有给出角α的始边,标准答案是:α=π+2kπ,k∈Z。这个答案是可以商榷的。     

高中数学系列复习与辅导 第二部分 三角函数

一、角的概念与任意角的三角函数例1 根据下列条件写出角θ的集合: (1)角θ的终边在第四象限角的平分线上; (2)θ是第一象限的角; (3)角θ的始边在y轴的负半轴上,终边在x轴的负半轴上;     

天津一中初三代数结课试题

一、填空题(每空3分,共36分) 1.已知角α的顶点在原点,始边为x轴的正半轴,终边经过点(a,b)(a<0,b>0)。则cosα=__。 2.若sinα=cos34°,且0°<α<180°,则α=__。     

回到三角函数定义(高一、高二、高三)

将角a的顶点置于坐标原点,始边在x轴正半轴上,若点P(x,y)是角a终边上任意一点,且P点到原点的距离为r(r>0),则可以定义:     

2004年数学高考冲刺卷（三）

第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本大题共1 2小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1 已知非空集合A ={x|1≤x≤a},B ={y|y =x 1 ,x∈A},C ={y|y=x2 ,x∈A},若B∩C≠ ,则实数a的取值范围为(　　)(A)a≥0　(B)a≥2　(C) 1≤a≤2　(D)a≤12 若cosα·cotα≥0 ,k∈z,则α的取值范围是(　　)　(A) (2kπ,2kπ π)(B) (2kπ,2kπ π2 )∪(2kπ π2 ,2kπ π)∪{2kπ-π2 }(C) (2kπ,2kπ π)∪{2kπ-π2 }3 设函数f(x)在定义域内可导,y =f(x)的图象如图1所示,则导函数y =f′(x)的图象可能为(　…     

向量导数巧求最值

恰当地应用好向量和导数,许多最值问题便迎刃而解,并且利用向量和导数来求最值,容易被学生接受.为了便于比较.一、用|a||b|≥a.b求最值例1已知x,y,z∈R ,且x y z=1,求x1 4y z9的最小值.解:令a=(1x,2y,3z),b=(x,y,z),则|a|2=1x 4y 9z,|b|2=1,(a.b)2=(1 2 3)2=36.由|a|2|b|2≥(a.b)2得,1x 4y 9z≥36,当且仅当1x=2y=3z时等号成立,即x=16,y=31,z=21.∴1x 4y 9z的最小值为36.例2已知ai,bi∈R ,且∑ni=1ai=∑ni=1bi=1,求a1a 12b1 a2a 22b2 … ana 2nbn的最小值.解析:令p=(a1a1 b1,aa2 2b2,…,anan bn,q=(a1 b1,a2 b2,…,an bn),则|p|2=a1a 21b1 a…     

促进数学思维训练的好题

1.设k∈Z,下列终边相同的角是().A.(2k 1)·180°与(4k±1)·180°B.k·90°与k·180° 90°C.k·180° 30°与k·360°±30°D.k·180° 60°与k·60°2.已知P点分有向线段AB所成的比为31,则点B分有向线段AP所成的比为().A.43B.34C.-34D.-433.函数f(x)=lgtan2x的定义域是(k∈Z     

对一道我国数学竞赛题的探究

题目:一个凸十一边形,它由若干个边长为1的等边三角形和边长为1的正方形无重叠、无间隙地拼成,求此凸十一边形各个内角的大小,并画出一个这样的凸十一边形的草图。这是87年全国部分省市数学通讯赛的最后一题,认真思考一番,不难得到答案。解答:因为凸十一边形是由正三角形和正方形拼成的,所以各内角的大小只可能是60°、90°、120°、150°,设这四个角的个数分别为x、y、z、w,则 (2)式化简得:2x 3y 4z 5w=54 (3) (1)×5-(3)得:3x 2y z=1。因x、y、z都是非负整数,所以x=y=0,z=1,再代入(1)得w=10。这说明,所求凸十一边形一个内角是120°,它由两个正三角形的内角拼成;其余十个内角都是150°,是由一个正三角形的内角和一个正     

一道高中数学联赛题的研究

2005年全国高中数学联赛福建赛区预选赛最后一道试题:设集合A和B都是由正整数组成的集合,|A|=10,|B|=9,并且集合A满足如下条件:若x,y,u,v∈A,x y=u v,则{x,y}={u,v}.令A B={a b|a∈A,b∈B},求证:     

2004年全国高中数学联赛山东赛区预赛

一、选择题 (每小题 6分 ,共 60分 )1.已知f( z -i) = z + 2z -2i -1.则f(i3) =(　　 ) .(A) 2i-1　　　　 (B) -2i-1(C)i-1　 (D) -i-12 .若a≠0 ,b >0 ,分别在同一坐标系内给出函数y =ax +b和函数y =bax的图像(如图 1) ,不可能的是 (　　 ) .图 1(A)①②　 (B)③④　 (C)①③　 (D)②④3 .向量集合M ={a|a =(-1,1) +x(1,2 ) ,x∈R},N ={a|a =(1,-2 ) +x(2 ,3 ) ,x∈R}.则M∩N =(　　 ) .(A) {(1,-2 ) }　　 (B) {(-13 ,-2 3 ) }(C) {(-1,1) }(D) {(-2 3 ,-13 ) }4.如果直线l沿x轴负方向平移 5个单位 ,再沿y轴正方向平移 1个单位后…     

巧解时钟问题

时针走1分钟的角度30°,即30÷60分钟=0.5度/分钟;分针走1分钟的角度360°即360°÷60分钟=6度/分钟.如果把时针正指向12点为始边,时针在某时刻为终边,那么这时所成的角称为时针所成的角,并且时针所成的角在0°～360°(包括0°,360°);如果把分针正指向12点为始边,分针在某时刻为终边,那么这时所成的角称为分针所成的角,并且分针所     

江西卷

1.定义集合运算:A*B={z|z=xy,x∈A,y∈B}.设A={1,2},B={0,2},则集合A*B的所有元素之和为( )     

对一道数学竞赛题的再推广

在文[2]中有如下题目:在直角坐标系xOy中,设点P的坐标为(3,4),点Q和点R分别在x轴的正半轴上及y轴正半轴上,使得PQ=QR=RP,试求PQ的长度.文[1]分别用三角法、几何法、复数法讨论了它的简洁解法,并通过几何的证明方法给出了命题的推广.本文将此题再做更一般性的推广.命题设P(a,b)为平面直角坐标系第一象限内的点,点Q、R分别在x轴和y轴上,并使得△PQR为正三角形,设PQ=QR=RP=s,则:(1)点Q和点R全在x轴的负半轴上及y轴的负半轴上时,正△PQR的边长为:s=2a2+b2+3ab;(2)点Q和点R不全在x轴的负半轴上及y轴的负半轴上时,正△PQR的边长为:s…     

集合与简易逻辑

第一课时　集合及运算 基础篇 诊断练习一、填空题1.判断下列说法是否正确 ?并说出理由1高一 ( 4)班身材比较高的同学组成一个集合 .2所有较小正数组成一个集合 .2 .试用另一种方法表示下列集合 :1{0 ,2 ,4 ,6 ,8,10 }=.2 {x| 12x ∈ Z}=.3{负数 }=.4 {既是 2的倍数 ,又是 3的倍数的数 }=.3.集合 A ={x| x =2 k,k∈ Z},B ={x| x =2 k+ 1,k∈ Z},C ={x| x =4 k + 1},又 a∈ A,b∈ B,则a + b∈ .4 .已知集合 A ={x∈ R| ax2 + x + 2 =0 ,a∈R},若 A中元素至多只有一个 ,则 a的取值范围是.5.集合 B ={x| x2 - ax + ( 2 a - 4) =0 ,a≠ 4…     

2006年高考数学模拟试题[理科](一)

一、选择题(每小题5分,共60分)1·设集合M={x|x2 y2=1,x∈R,y∈R},N={y|y=x,x∈R},则集合M∩N等于()A·{-22,22}B·{(-22,-22),(22,22)}C·{x|-22≤x≤22}D·{y|-1≤y≤1}2·复数3-i(1 3i)2的虚部为()A·-21B·-21iC·-41D·-41i3·已知函数f(x)=2x 1的反函数是f-1(x),则f-1(x)     

要重视对角的范围的研究

三角变换离不开角 ,角的范围与三角函数的性质、三角函数值的大小和符号密切相关 ,忽视对角的范围的研究和讨论就会引起错误 .一、忽视角的范围引起的错误例 1　函数 y =tan x1- tan2 x 的最小正周期为(　　 )( A) π4 .　 ( B) π2 .　 ( C)π.　 ( D) 2π.错解　 f ( x) =tan x1- tan2 x=12 tan2 x∴函数的周期为 π2 ,选 B.剖析 :f ( 0 ) =0 ,f ( π2 )不存在 ,故函数的最小正周期不是 π2 ,错误原因在于忽视了函数的定义域 (角的范围 ) .函数 y =tan x1- tan2 x定义域为 {x|x≠ kπ +π2且 x≠ kπ± π4 ,k∈ Z}.函数 y =12 tan2 x…