数学问题与解答 2004年第4期问题解答

611.如图1,C为半圆弧的中点,尸为直径BA延长线上一点,过尸作半圆的切线尸D,D为切点,乙B尸D的平分线分别交AC、BC于点E、F,求证:/EDF=900. 我们不妨将原题中两个正方形ABC’D‘及A’BC’DII延展到如图2正四棱柱所示的位置ABCIDI与位置AIBCID2.只需求出平行四边形AIBCIDZ的面积51. C盗灰里互尸A OB 图1由c0Sa二 凡BcDSA,刀e:。2 1______.=下一,即得所求. Ol 证:记半圆的圆心为O,连OC、OD、BD、CD.’:C是半圆弧的中点,尸D是切线, :.OC土AB,OD上尸D, ,JAl卜一 ,摊 ///乡///D尸B=90。一/尸OD==/COD.丫尸E平分…     

一道几何题的推广

〔题目如图,在锐角△.八刀Cll‘,ADk-:BC边上的高,尸为△ABC的垂心,B尸、CP的延长线分别交月C和A刀于刀、F。求证A刀平分乙EDF。证明丫O尸为△刁BC的垂心, .’.刀、刀、.尸、F四点共圆,则匕1,匕3, 同理刀、P、斤、C四点共网,则匕2=乙4, 又B、C、方、FI,中从)卜回,则乙3二乙4, :.乙1=2,即AD平分匕刃月夕。这道常见题可作如下的推广:当尸点是A刀上一道几何题的推广@程金保$安徽南陵东河中学~~     

轴对称图形性质在解综合题中的应用

例如图1,二次函数y一二尸+bx+c的图象与x轴相交于点A、B,与y轴交于点尸(o,5),C(3,一4)是顶点. (1)求二次函数的解析式; (2)求过八、B、C的OM的半径R. 解(1)设二次函数为y一a(x一h)2+k..:顶点是c(3,一4),…y一a(x一3)’一4.又丫抛物线过点尸(0,5),代人上式,得。:.二次函数解析式为y一尹一6x+5.(2)令了一6x十5一。,解得xl一1,为一。A(1,0),B(5,O). 抛物线关于直线x一3对称,…AC一BC,△八BC为等腰三角形.如图画出△ABC的外接圆为OM,OM交抛物线的对称轴于点Q,根据对称性,CQ土AB,且八N~NB一2,:.CQ为OM的直径. 由相交弦定理,得AN…     

一道中考题的解法探究

哈尔滨市2004年中考数学试卷第26题: 如图:00;与00:外切于点尸,O,口2的延长线交00:于点A,AB切001于点B,交0 02于点C,BE是O口:的直径,过点B作BF土O,尸,垂足为F,延长BF交尸万于点C. (l)求证:PBZ二尸C·PE(2)若PF二冬 乙 3tall乙A=一丁~ 件刀,02的长.三分析:第(l)小题是证明等积式     

也谈正四棱锥截面的画法

《中学数学教学》1984年第一期介绍了魏克服同志用“迹线法”画多面体截面,其中第四例:“在正四棱锥V一A刀CD中,P〔VA,Q〔V五,R〔VC,过校锥的尸、Q、R作截面。”文中作法仅适用于尸Q于AB,且QR于BC时的情况,没有考虑p口了AB或QR 1 BC。实际上,这题有四种情况,作法各不相同,补充如下。 (幼PQ廿A丑,QR非石C见魏文原解。(2)P口IAB,而QR非BC 连PQ、QR,延长R口、CB相交于E,过E作直线x夕了AB交DA的延长线于F,连结F尸并延长交棱DV于S,连SR,则四边形PQRS为所求截面(图一)。 p赢’厂耸男“ 图一(下转第28页)(上接第34页)(3)…     

用一个结论,解一串赛题

如图1,尸是△ABC尸DAD.内一点,A尸的延长线交BC于D, (*)目旦C淮竺女一翻目尸一A口砚凡△一△ S一S证分别过尸、A作PE上BC于E、AF上BC于F,则S△尸Bc 1~~-花丁」产乙 艺·BC,S 1,。n。△~一百入户.力七·尸互八F尸E上BC,AF上BC,…尸E// AF,尸D‘AD’S。尸BcS二j。李尸E .Bc艺李AF .Bc艺丝/1户’尸pAD-B DEFC 图1 此结论是解决三角形内一点与顶点连线分割三角形面积问题的利器.下面举例说明.例1如图2,将△ABC的三个顶点与同一个内点M连接起来,并分别延长到相应的对边.则△ABC被分成六个小三角形.其中四个小三角形的…     

一道例题的推广及其应用

题目如图1,Rt△ABC中,匕八CB一’八刀一八B;(2)C〔)2=AD一BD;(3)政〕,刀D .AB. 证’:艺八CB~90。,〔刃土月刀, :’ Rt△ACD的Rt△(泪D的Rt△八刀C.900,CD土AB.求证:(1)月CZ=D一DB一C 一一.八C AD〔刃‘’丽一入乙’入万五〔刀DAB BCAD图1 :.八CZ一AD·八刀,CDZ~乃D·BD,孩二2~BD·八刀. 此题实际上是人教版《初中几何》第二册第226页例2的推广,旧教材把这个结论称为“射影定理”.近几年的中考题中,经常出现以本题结论为背景的题目,现举例如下. 例1如图2,BC是半圆O的直径,延长CB到尸,作尸A切半圆于A,AD上BC于D,…     

一道习题结论的证明与应用

习题如图1,设△ABC的边BC一二,CA一b,AB一c,:一合(。十”+·),内切圆。‘和BC、AC、AB分另“相切于点“、E、尸,求证:AE一AF一‘一a,BF一BD~‘一b,CD一CE一了一,?. (初中《几何》第三册第134页、 证丫01分别切BC、CA、AB于D、E、F,…BD一月F,cD一cE,AE一AF,设BD一x,C刀一y,AE一二,则},+巧y十(z十y一a,之一b,2了之=C.s一b,—亡,—“,其中 1,~万丁、a一卞O~卞C夕, 乙一一一一一一X yZ厂|,味|l 得 之 解图l iAE一AF一即IBF一方刀一 {CD一(了石-—口,一b, (,)式是一个很有用的结论,若记住并使用好此式可以给解题带来…     

角的度数

在三角形几召C中.D、E是召C边上的点,召D一八召另lJ为cE一“C,二D“E一晋、““c·求匕B八C的度数.这是第七届“华罗庚金杯赛”试题.设匕召八E、乙百八刀、匕刀月C分。、口、了,则B八1,.。召一令(口十尽斗了), 3-ED①②③④⑤即 2月一。十艺 由八方一召D得 。+召一匕召D八一7+乙C. 由CE一AC得 刀+了一匕C百八一。+匕方. ②+③得一_ 口+y+2夕一匕召+匕C+。+y.两边再加上夕得 。+y十3召一匕召十匕C+艺召八C一1800. 由于①,上式即 5夕=1800,所以 3月一即匕刀AC一1 080.1800 5沐3一1()8。,角的度数@单墫~~…     

梯形辅助线作图四例(初二)

例1如图1,在梯形ABCD中,AB//CD,点E为BC的中点,设△DEA的面积为/D~2艺B,AD 汇犯~8,求AB的长. 解延长ADj盯相交于点E.S:,梯形ABCD的面积为S:, .5;则云匕-_,52一‘ 分析延长DE,与八刀的延长线相交,将梯形面积转化成三角形的面积.凰、、、、_A~seesee一清-一呼 O图l因为工犯// AB,     

2006年各地中考数学试题精选 六、南京市

1.如图1,点A、B、C在00上卜A口// BC,艺〔卫C一200,则艺AOB的度数是() (A)100.(B)200. (C)400.(D)700. 2.如图2,电灯尸在横杆八召的正_L方,AB在灯光下的影子为CD,AB// CD刀飞日一Zm,CI〕一sm,点尸到CD的距离是3m,则点尸到AB的距离是()的坐标分别是(O,O),(5,O),(2,3),则顶点C的c坐标是() (A)(3,7).(B)(5,3). (C)(7,3).(D)(8,2). 4.图4是甲、乙两户居民家庭全年各项支出的统计图.全年支出/元、\//B、一C刀︸少刃月乞少翻︸尸八一︸记/︺勺万二B口以p了,"一/‘沪、月,,C乙一一一一一一二D图2 5 L了、…     

边长是连续整数的三角形的性质

《、卜学教研》(数学),2年第2期!8页刊登一道赛题及其解答如「: 如图I,△,落邢只边的长分别是邵一17,‘飞一18,月刀=l勺,过△月留l勺的点p向△A欣少的三边作垂B线,PD、朋、即(D、召、F为垂足),且刀D十‘刀+寿’- I)图l27,求刀D+脚’的长. (第五肠全囚部分省、市初中数学通讯赛试题) 解:连结剐、朋、八了.由全」股走理得: 刀护+C刀2+月FZ 一尸BZ一尸护+尸(咫一尸尸+尸矛一尸尸, 刀尸+月解+C拼 二尸牙一尸j’z+尸矛一尸尸十P(夕一尸护, 刀I尸十C刃2十月尸一刀尸+月解+亡解 =刀矛’2+(18一(了E)2+仁17一刀D)2.整理得形,+阶t2一182十17…     

三角形两边平方差的一个公式及其应用

首先我们给出下述定理. 定理若△ABC中,乙B笋900,AB笋AC,O(A、AB)奋交BC边或BC边的延长线于点D,则IABZ一ACzl=BC·CD.(1) F丫一、\/饭一、\二厂一、\ EL户~. (甲)(乙)(丙J 图l 定理的证明是十分容易的. 证明如图l(甲),AB相似文献   

一题多证举隅

例如图,Rt△ABC中,以AC为直径的圆交 BC于D,M为AD的 中点,刀材的延长线 交AC于E,百尸1 .BC 交BC于E,EG 1 AC 交O口于G求证: EF二EC由①、EG②知‘器 乙LEFEC:EG=EF证法三:在△A脚B中 AM BMsin乙1 sin乙3:AMBM .sin乙lsin乙3①~~‘~.一二乃少口.』_但二Itt凸万I叮口甲代万丁丁=5111乙乙 万乃夕…对口二召赶·sin乙2分析本题首先可以想到:丫E‘上AC二E夕二AE·EC故间题转化为只要证E尸=AE·EC。这里关键是如何应用M是AD的中点这个条②丫AM二材刀BM·sin乙2sin乙3件证法一:分别延长FE、BA交于H易证△AEH…△…     

并联电阻特点的几何解释(初三)

先来看下面一道几何题: 如图1所示,A刀上月D,垂足为B;CD土 刀D,垂足为D.连结八D和BC,相交于E点,过E 泪 作BD的垂线,垂足为F. 求证二EF A石·(刃 AB CD’ 丑D),然后连结八DjC,二者交 于E点,过E作BD的垂线,垂足 为F.E下的长度即表示并联电阻 R并的大小. 这样,就可以很直观地理解 并联电阻的特点: 1 .R井相似文献   

作圆妙解题

例在△ABC中,AB一AC一7cm,点尸是BC边上的一点,A尸一scm,求B尸.Cj〕的值. 解法l如图1.作A AD土BC于点D, 丫AB一AC,八D 土BC,…BD一CD. :。B尸·CP一(BD+PD)(BD一尸D)一BD”一尸DZ一(AB“一AD“)一(八尸2一ADZ)=ABZ一A尸”一7“一52一24(emZ). 解法2如图2.以A为圆心、AB为半径作OA,过点A、尸作直径入了N, 由相交弦定理,得 B尸。CP一尸八沙。尸N 一(A尸+A」沙)(AN一A尸) =(7+5)(7一5) =24( emZ).BD尸C 图1图2 利用圆的一些性质解题,往往会收到事半功倍的效果.其关键是对图形仔细的分析,沟通与圆的内在的联系,进…     

数学问题与解答——2001年第2期问题解答

531.在△ABC中,乙ABC二400,乙ACB二300,尸为乙ABC平分线上一点,使乙尸CB二10“,B尸交AC于M,C尸交AB于N,求证:尸M二AN. 证:如图1,在BA延长线上取一点D,使BD=BC.连D只DC,A尸. 丫B尸平分乙ABC, :.B尸为CD的中垂线,尸C=尸D. 又匕尸CB=100,匕ABC=400, 故乙PCD=700一100=600,AC △尸CD为正三角形.户/"口咦E 图1在△ACD中,乙ADC=700二CD.故AC二尸C.二乙DAC夕一详口数学教学2001年第3期 _、/1 1 11、二(a b c d)l一 丁十一 气!一4 ‘\a 0 cd/ 4 一、、12/在△尸CA中,艺尸CA二200:.乙尸AC二匕APC=80“.1 过M作A尸…     

共边三角形的一个性质及其应用

定理已知△ABC和△DBC共边召C,月9戈其延长线交BC与E,则 S△,刀e AE同.理还有S△p尸王p三P口:S△尸云尸:P王一尸、O、’丛已卫五当__塑二S△P玉尸:P石一P,口:’但S△Pp玉P玉卜S△P尸:F‘+习△P尸、正,,+S八P,P:F‘, . 月.. 一一雌呱从而P口尸口言一C干下;~+,汗牙一+了1甘1厂2叼2“,一卜。以一人,,_P口‘〕乙少沉少它1兄二/!、比一b牙厂一以 工乞岌沪艺,2,3)中至少有一个早‘生. ’一’3也至少有.一个是、飞一,即 j(乞二1,2,3)中,至少有一个)3,星PQ. 图一‘a图}。b, 证明:当B或C点与E点重合时,结论显然成立。当B、C与E不重…     

张角公式在平几证题中的应用

一、张角公式 已知尸A,尸B,尸C三条射线,且匕APC二a,/C尸B=声,艺APB二a+刀<1800.则A,B,C三点共线的充要条件是sin(a+刀)_sinaPC尸B5 in刀尸A(1)证召乙尸月B如图1,如A,B,C共线,则二S△,,。+S占,c,,即1 oJ。。_.,.。、,汽尸f八.fU吕In气口+P)乙一合pA·尸Cs‘”“·PB sin刀.同除以工pA. 艺PB·尸C即得(1). 反之,如(1)成立, 图反推可知刀八尸j刀S△月刀口=S八尸摊口+召。尸e刀s。一s一:·…!=。 故A、B、C三点共线. 二、应用 例在二ABC的边CB,CA上,各向外作正方形CBRS,CA尸口,作CH止AB.求证:CH、BP、AR三线共点.(图…     

中考探索性问题一例

题目如图1,八BCD为正方形,石、F分别在BC、CD上,且△八EF为正三角形,四边形八,B,C‘D‘为△八五F的内接正方形,△八‘五,F,为正方形八’召,C’D‘的内接正三角形.(1)试猜想粤坦卿与 、夕止万协几1义门万八一;;万宁一日勺。乙t右F大小关系,并证明你的结论; ,S不卞报刃尸尸,l),_,,八_、、,、_,,.仁艺少水,成巍扁而一明值·、‘”洲千盯冲”’明市中考题) 解(1)猜想S正方形八尸口DS正方形dBcDS△刃刀尸S乙月开容易证明Rt亡八BE呈里Rt△八DF,:。匕B八E一艺D八尸.在正三角形八EF中,乙E八F一6。“,图1·,.二B二E一告(9护一60。)…