没有数字的数学题

有一类数学题,题中没有数字,解这类题的关键是充分利用题中的条件,包括隐含条件。请看以下几例: 例1 有一矩形,其周长和面积数值相等,且长与宽均为整数,求其边长。解:设长为x,宽为y,则由题意可得xy=2x+2y,可化为 y=2x/(x-2)=2+4/(x-2) (1) 因为x,y为正整数,∴x-2应为1,2,4,∴x_1=3,x_2=4,x_3=6,代入(1)式得y_1=6,y_2=4,y_3=3。所以边长为6,3或4,4。     

察特点 巧解题

解组合图形题时,我们要观察分析图形特点,发现解题途径,运用已学知识,巧妙解题。例1图1是由4个相同的长方形和一个边长是3分米的小正方形拼成的边长为11分米的大正方形。求每个小长方形的长和宽各是多少?周长是多少?分析与解:图中大正方形的边长11分米,其实是小长方形长与宽的和。小正方形的边长3分米则是小长方形长与宽的差。根据和差问题的特点,我们很容易求出小长方形的长与宽。长:(11+3)÷2=7(分米)宽:(11-3)÷2=4(分米)周长:(7+4)×2=22(分米)例2图1是由4个相同的长方形和一个小正方形拼成的边长为11分米的大正方形。求每个小长方形的…     

图形信息题的解法

图形信息题是指将几何图形作为信息载体的一类数学题.这类题常将已知条件,特别是数量关系隐藏在图形中.解决此类问题,必须仔细观察图形,准确提取图形中的信息.现举例介绍这类问题的解法.例1如图1,把四个相同的小矩形与一个小正方形镶嵌在一起,组成一个正方形图案.已知该图案的面积为49,小正方形的面积为4,若用x,y表示小矩形的两边长(x>y),请观察图案,指出以下关系中不正确的是().(A)x+y=7(B)x-y=2(C)4xy+4=49(D)x2+y2=25(2004年南昌市中考试题)分析:由题意得,大正方形的边长为7,小正方形的边长为2.根据图形提供的信息可知:x+y=7,x-y=2,这…     

错在哪里

一、江苏淮阴县淮海中学宋丁全来稿题:在边长为1的正三角形内,有两个l圆相外切,而且它们分别和三角形的两条边相切,求两圆面积之和S的最值。解如图设⊙O_1、⊙O_2的半径分别为x、y(不妨设y≥x)则由题意可得 S=π(x~2+y~2) ① 3~(1/2)(x+y)+2((xy)~(1/2))=1 ②     

一个不等式的推广

文 [1 ]中有如下一个不等式 :设 0 相似文献   

一道不等式高考题的证明与推广

题目 设x≥1,y≥1,证明:x+y+1/xy≤1/x+1/y+xy. 这是2011年高考安徽卷理科第19题,本文给出该不等式的两种证法并对不等式进行推广,与大家交流分享. 证法1:右边减去左边得1/x+1/y+xy-x-y-1/xy=y+x+x2y2-x2y-xy2-1/xy,将分子以x为主元整理得y(y-1)x2+(1-y2)x+y-1,即(y-1)(x-1)(xy-1),因为x≥1,y≥1,所以(y-1)(x-1)(xy-1)≥0,故1/x+1/y+xy-x-y-1/xy≥0,即x+y+1/xy≤1/x+1/y+xy,当且仅当x=1或y=1时等号成立.     

不囿于教案课生辉

教了长方形和正方形面积之后,教师精心设计了一道巩固复习题:“一个正方形边长增加1分米,面积比原来增加5平方分米,现在这个正方形的面积是多少平方分米?”教案中列出的教学要求有四点:1.画出图1,引导观察得出第一种解法。设原正方形边长为x分米,那么现在的正方形边长为(x+1)分米,由题意得(x+1)2-x2=5。2.将图1添加两根虚线变为图2,得到第二种解法。设原正方形边长为x分米,得x+x+1=5。3.用算术思路解,即原正方形的边长等于(5-1×1)÷2÷1(分米)。教师所拟上述例题教学过程,设计得天衣无缝、滴水不漏,循此思路教学,应当有益于学生复习巩固所…     

用二元一次方程组解中考应用题

课程总体目标提出 ,要“初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会 ,去解决日常生活和其他学科学习中的问题 ,增强应用数学的意识”.近几年来中考试题中不断出现各种新型的实际应用题 ,但是万变不离其中 ,它们都可以用我们所学基础知识来解决 ,现列举几例可以用二元一次方程组解决的问题 .一、图形拼凑问题例 1　 ( 2 0 0 3年扬州市中考题 )如图 ,8块相同的长方形地砖拼成一个宽为 6 0 cm的图案 (地砖间的缝隙忽略不计 ) ,求每块地砖的长和宽 ?解 :设长方形的长为 x cm ,宽为 y cm ,根据题意得 :x +y =6 03y +x =2 x或 x +y =6 08xy …     

乘法公式创新题

一、结论开放题例1　(2002 年济南市中考题)请你观察图 1 中的图形,依据图形面积的关系,不需要添加辅助线,便可得到一个你非常熟悉的公式,这个公式是　　　　.分析　利用面积关系即可列出x2 -y2 = (x-y)2 +2(x-y)y,变形后得(x+y)(x-y) = x2 -y2,或x2 -y2(x+y)(x-y),或(x-y)2 = x2-2xy+y2在上述公式中任意选一个即可.例2　(2003年陕西省中考题)如图2(1),在长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a>b),把余下的部分剪拼成一个矩形,如图 2(2),通过计算两个图形的面积,验证了一个等式,则这个等式是　　　　　　　.点点滴滴分析　利用面积关…     

精心联想 巧证不等式

联想是以观察为基础,对研究的对象或问题,联想已有的知识和经验进行形象思维的方法.通过联想,构造相应的条件,从而解决问题.【例】　设x、y∈R+,且x+y=1,求证:(x+2)2+(y+2)2≥252.联想一:巧用“a2+b2≥2ab”法1:直接法由x+y=1,得(x+2)2+(y+2)2=x2+y2+4x+4y+8=(x+y)2+4(x+y)+8-2xy=13-2xy又∵x、y∈R+,由均值不等式,∴x+y≥2xy,即xy≤14,则-2xy≥-12.故(x+2)2+(y+2)2=13-2xy≥13-12=252.证毕.法2:间接法令a=x+2,b=y+2,则a+b=(x+2)+(y+2)=x+y+4=5(定值)∵a2+b2≥2ab,两边同时加上a2+b2得a2+b2≥(a+b)22即(x+2)2+(y+2)2≥[(x+2)+(y+2)]22=252.…     

"空间数"再探

文[1]指出,矩形数(即平面数)是指使矩形面积与周长相等的数.设矩形宽为x,长为y,则矩形数xy仅有16与18.     

建构二次方程 巧解数学赛题

一元二次方程历来是初中数学竞赛的重点和热点,利用建构一元二次方程的思想解决相关问题的命题,可以说备受命题者的青睐,因而这类赛题在各级各类数学竞赛中频频出现.它的应用之广,作用之妙,常常令人叫绝.本文结合具体竞赛试题,分类介绍建构一元二次方程解数学竞赛试题的若干应用.1建构二次方程求值例1已知x,y均为实数,且满足xy+x+y=17,x2y+xy2=66.求x4+x3y+x2y2+xy3+y4的值.(2000,山东省初中数学竞赛)分析:由观察可知,题设两个等式均可表示为x+y与xy的形式,且等于常数,因此,可利用与系数的关系建构一元二次方程求解.解由已知条件可得xy+(x+y…     

上期益智游戏解答

题目要求拼成两个并列的正方形,实际上是一个长是宽的2倍的矩形。设a是十字形中小正方形的边长,则矩形的面积等于5a~2。有了面积,就可求出矩形的边长。设矩形的长为x.,则其宽为1/2x,得 x·1/2x=5a~2。或 x~2=10a~2。 x~2=9a~2+a~2。     

图解平方差公式

公式(a+b)(a-b)=a~2-b~2可从图1中看出：(a>b时)长是(a-b)、宽是(a-b)的长方形的面积(图1中的Ⅰ+Ⅱ),等于长方形Ⅰ与Ⅱ的面积之和,就是边长为a 的正方形面积与边长为b的正方形面积之差。     

关于一个三元对称不等式的几点思考

文献[1]提供了一道奥赛题,这是一个三元对称不等式:题目设正实数 a,b,c 满足 a b c=1.证明:10(a~3 b~3 c~3)-9(a~5 b~5 c~5)≥1.(1)1 不等式的另证引理已知函数 f(x)=x 3x~2-x~3-3x~4,则当1≥x y≥x≥y≥0时,f(x)≥f(y)≥0.(2)证明当1≥x y≥x≥y≥0时,首先f(y)=y 3y~2-y~3-3y~4=y(1 3y)(1-y~2)≥0;其次f(x)-f(y)=(x-y) 3(x~2-y~2)-(x~3-y~3)-3(x~4-y~4)=(x-y){1-(x~2 xy y~2) 3(x y)[1-(x~2 y~2)]}.因为 x-y≥0,又1-(x~2 xy y~2)≥(x y)~2-(x~2 xy y~2)=xy≥0,1-(x~2 y~2)≥(x y)~2-(x~2-y~2)=2xy≥0,所以 f(x)-f(y)≥0,即 f(x)≥f(y)≥0.不等式《1)的证明为方便起见,记f(x)=x 3x~2-x~3-3x~4     

一道数学竞赛题的多种解法

近年高中数学联赛有这样一道题 :实数x ,y满足 4x2 - 5xy +4 y2 =5,设S =x2 +y2 ,则 1Smax+1Smin的值为 .下面给出这道题的多种解法 .解法 1　由题设易知S =x2 +y2 >0 ,设x =Scosθy =Ssinθθ为参数 ,代入 4x2 - 5xy+4y2 =5,得 4Scos2 θ- 5Ssinθcosθ +4Ssinθ=5,所以sin2θ =8S - 105S ,于是有｜8S - 105S ｜≤ 1,所以1013≤S≤ 103,所以Smax =103,Smin =103,所以 1Smax+1Smin=310 +1310 =85.解法 2　由x ,y为实数可知 :x2 +y2 ≥ 2 ｜xy｜所以 - x2 +y22 ≤xy≤ x2 +y22 .又 4x2 - 5xy +4 y2 =5,得 5xy =4x2 +4 y2 - 5所以4x2 …     

巧列方程妙填数

例1图1是由六个正方形拼成的长方形,已知中间的小正方形的边长为1,则长方形的面积为.解析给六个正方形分别标上1~6六个数字,设正方形2的边长为x,则正方形3的边长也为x,正方形4的边长为x 1,     

谈“平面图形的周长和面积”复习

复习内容:人教版小学数学第十二册第四单元整理复习“平面图形的周长和面积”。案例:教法(一)师:今天,我们复习平面图形的周长和面积,谁能说一说什么是平面图形的周长?什么是平面图形的面积?生:围成一个图形的所有边长的总和叫做这个图形的周长。物体的表面或平面图形的大小叫做面积。师:(出示小学阶段所学习的几种常见的平面图形)你们还记得这些平面图形的周长及面积计算公式吗?生1:长方形的周长=(长 宽)×2c=2(a b)长方形的面积=长×宽s=ab生2:正方形的周长=边长×4c=4a正方形的面积=边长×边长s=a2生3:平行四边形的面积=底×高s=ah生4:三…     

求正方形的周长

题目:一个正方形被分成三个大小形状完全一样的长方形(如图1),每个小长方形的周长都是24厘米,求这个正方形的周长。这道题初看觉得有点难度,不知从何着手。经仔细观察,就可以找到解题方法。解法一:我们可以先用24÷2=12(厘米),求得小长方形的长和宽的和,由于正方形的四条边是一样长的,那么,图中小长方形的三条宽的和与小长方形的长相等。由此,我们可以推出小长形的图1宽为:12÷(3+1)=3(厘米),正方形的边长为3×3=9(厘米),正方形的周长为9×4=36(厘米)。解法二:我们还可以用"切割法("如图2),把一个小长方形分成三个相等的小正方形。根据已知…     

有奖解题擂台(77)

题设非负数x、y、z满足xy+yz+zx=1,n∈N.证明或否定:1(x+y)n+1(y+z)n+1(z+x)n≥2+12n.(注供题人对第一位完整正确解答者授予奖金50元.)有奖解题擂台(77)@贺斌$湖北省谷城县第三高级中学!邮编:441700