组合恒等式的证明

一、直接利用组合数公式证明二、利用组合定义证。 [例1] 求证 C_n~(m 1) C_n~(m-1) 2C_n~m=C_(n 2)~(m 1) 证:从n 2个不同元中取m 1个元的组合可分四类:i)含指定元甲、乙的有C_n~(m-1)种,ii)不含甲、乙的有C_n~(m 1)种,iii)、iv)含甲不含乙与含乙不含甲的各有C_n~m种。由加法原理得原式。三、利用组合性质证。如例1原式左=(C_n~(m 1) C_n~m (C_n~(m-1) C_n~m)=C_(n 1)~(m 1) C_(n 1)~m=C_(n 2)~(m 1)。     

公式K·C_n~k=n·C_(n-1)~(k-1)的意义及其应用

有些数学关系既不易理解也不易记忆,但是把它和准确、形象、生动的实例联系在一起,困难便消失了。组合数的两个性质就是这样。C_n~m=C_n~(n-m)表示从n个元素里挑m个元素出来和挑n-m个元素留下是一回事。公式C_n~m=C_(n-1)~m+C_(n-1)~(m-1)表示从n个元素中挑m个元素可以分两种情况。不挑元素A的有C_(n-1)~m种,一定挑元素A的有C_(n-1)~(m-1)种。“无A”、“有A”是这个公式的“题眼”,抓住“题眼”,问题就迎刃而解了。 C_n~m=C_(n-1)~m+C_(n-1)~(m-1)和C_n~m=C_n~(n-m)分别表达了     

活用等比定理解题

灵活运用等比定理,可使常见题获得新颖解法。 例1 若C_n~m:C_n~(m 1):C_(n 1)~m=3:2:5,求m:n的值。 解 由已知条件易得C_N~m/3=C_n~(m 1)/2=C_(n 1)~m/5,     

母函数与线性常系数递推数列

让我们先看下面两个例题: 例1 求证C_(n-1)~m C_(n-2)~m C_(n-3)~m… C_(m 1)~m C_m~m=C_n~(m 1) 证明:由等比数列求和公式知(1 x)~(n-1) (1 x)~(n-2) (1 x)~(n-3) … (1 x)~(m 1) (1 x)~m=((1 x)~n-(1 x)~m)/x上式左边x~m项的系数是 C_(n-1)~m C_(n-2)~m C_(n-3)~m … C_(n 1)~m C_m~m,上式右边的分子中,x~(m 1)项的系数是G_n~(m 1),应当相等,故等式成立。例2 证明: C_n~1 2C_n~2 3C_n~3 … C_n~n=n2~(n-1)。证明:将等式     

两个组合公式及其应用

我们知道,有这样两个组合公式: C_n~m=C_(n-1)~m+C_(n-1)~(m-1); C_r~r=C_(r+1)~r+C_(r+2)~r+…+C_(r+n+1)~r =C_(r+n)~(r+1)现在,我们来考虑组成这两个公式的各个组合数的倒数是否也能组成相应的公式?下面我们分别来讨这两个问题。定理1 设m,n为自然数,且m≥2,m≤n,则     

构造组合式求数列的和

一类有关自然数的求和问题,若能将通项变形成组合数,构造出组合恒等式: C_(n-1)~m+C_(n-2)~m+C_(n-3)~m+…+C_(n+1)~m+C_m~m=C_n~(m+1)(高中代数第三册第81页18(2)题)。用其求和,则非常简捷。例1 求和 1×(3×1+1)+2×(3×2+1)+…+n(3n+1)。     

在排列组合复习课中进行逆向再思考

在排列组合中,公式C_(n 1)~m=C_n~m C_n~(m-1)可以由计算证得,也可以逆过来用排列组合的概念来推导.即可将从n 1个不同的元素中每次取出m个的组合数,按其中某个特定元素“取”或“不取”来划分为两种情况.若取,则只须从另n个不同元素中取出m-1个,有     

杨辉三角中四类行列式的简捷计算方法

约定:不言而喻,当m>n时,c_n~m=0。反之,零也可用c_n~m(m>n)表之。 公式1:C_(n+1)~m-C_n~m=C_n~(m-1)。 采用上述约定,公式中组合数的上标可不小于下标。从而,C_n~m     

关于代数的短文十二篇

公式C_(n+1)~m=C_n~m+C_n~(m-1)的一个应用利用组合数性质公式C_(n+1)~m=C_n~m+C=_n~(m-1)可以求形如{n(n+1)…(n+k-1)}的数列的前n项和S_n。 [例1] 求和 S=1·2·3+2·3·4+…+n(n+1)(n+2) 解:1/3!S=1·2·3/3!+2·3·4·/3!…+n(n+1)(n+2)/3! =C_3~3+C_4~3+…+C_(n+2)~3=(C_4~4+C_4~3)+C_5~3+…+C_(n+2)~3 =(C_5~4+C_5~3)+C_6~3+…+C_(n+2)~3=…=C_(n+2)~4+C_(n+2)~3 =C_(n+3)~4=n(n+1)(n+2)(n+3)/4!,     

组合数恒等式若干解题思路

组合数恒等式是初等数学中的一个重要课题。这类命题的特点是:结构比较复杂,解法灵活多变,初学者不易掌握。本文试通过若干实例,总结常用的解题思路。 1.恰当选择数学横型有些命题与组合的意义密切相关,待证等式的两边,可以看作同一组合问题用不同方法计算组合数的结果。对于这类命题,可以从选择数学模型人手。联系组合的定义,联系加法原理和乘法原理,用说理的方法来证明。例1 试证: C_r~oC_n~m+C_r~1C_n~(m-1)+C_r~2C_n~(m-2)+……+C_r~(m-1)C_n~1+C_r~mC_n~o=C_(n+r)~m。证明设有n+r个不同的元素,我们用两种方法计算每次取出m个元素的组合数:     

关于一个组合恒等式教学的管见

全日制十年制高中《数学》习题十第10、(1)题,要求证明这样一个组合恒等式: C_n~n C_(n 1)~n … C_(n m)~n=C_(n m 1)~(n 1)。①该书复习题四第1(3)题,又要求证明C_(n-1)~m C_(n-2)~m C_(n-3)~m … C_(m 1)~m C_m~m=C_m~(m 1)显然,这两个等式实质上是一回事。     

用组合性质推导(sum from i=1 to m ai)~n(n≥1,m≥1)的项数

在学习过程中,我们遇到求形如(1+2x+3x~2)~5的展开的项数问题,通过分析,我们猜测如下命题。我用已学过的组合性质C_(n+1)~m=C_n~(m-1)+C_n~m及二项式定理证明了这一命题。命题:(sum from i=1 to m a_i)~n(n≥1,m≥1)的展开项数为C_(m+n-1)~n项。证明:我们对自然数m用数学归纳法。①、当m=1、2时,对一切自然数n命题显然成立。②、假设m=k时,对一切自然数n命题成立。当m=k+1时, 据归纳假设,上式右端展开后,其项数分别为:C_k~0项,C_k~1项,C_(k+1)~2项,C_(k+2)~3项,…,C_(k+n-1)~n项。又由于上式右端a_(k+1)的方次不同,它们之间不可能再合并同类项。故有 (sum from i=1 to k+1 a_i)~n展开项数=C_k~0+C_k~1+C_(k+1)~2+C_(k+2)~3     

一道组合习题与一串数列求和题

习题是数学的心脏,数学课本习题是数学教材的重要组成部分。刻意探讨习题在解题中的应用,能帮助学生学会课本知识,又为指导学生提高解题能力开辟了一条有效的途径。高中代数(甲种本)第三册P.83,18(2)求证:C_(n-1)~m C_(n-2)~m … C_(m-1)~m C_m~m =C_n~(m 1) 这道习题的结论可来巧妙地解一些数列求和题。例1 求下列数列的和: (1)1 2 3 4 … n; (2)1·2 2·3 3·4 … n(n 1); (3)sum from k=1 to n k(k 1)(k 2)(k 3)…(k p-1)。解:(1)1 2 3 4 … n。     

与组合数和等差数列有关的几个恒等式

文[1]探讨了组合恒等式 C_n~k·C_k~m=C_n~m·C_(n-m)~(k-m)(m≤k≤n (*)的特点并给出了它的一些应用。 利用(*)式我们可以给出与组合数和等差数列有关的恒等式。文[1]中的例4就是一例,此处作为:     

贾宪三角形的有趣应用

贾宪(杨辉)三角形(“开方作法本源”图)的发现是宋元时期中国数学家的一项杰出贡献,是十一世纪中国数学的优秀成果之一,它是由全体组合数构成的一个无穷尽的三角形图表,其构成方法是:边上的数全写上1,中间的数等于其肩上两数之和。这说明关系式C_n~0=C_n~n=1,C_n~k+C_n~(k+1)=C_(n+1)~(k+1)(0≤k相似文献   

运用发现法教学效果好

所谓发现法教学,就是教者对某些问题不先给学生明确的结论,而让学生自己从特殊、各别的问题出发,经过分析研究,发现这一问题的一般性规律,以得到应有的结论。我在运用发现法教学的过程中,感到这种方法确有不少好处。一、恰当运用发现法,有利于树立学生唯物主义观点。先看下面一个简单例子: 在进行组合数性质1 C_n~m=C_n~(n-m)的教学中,书本上一下子给出这一结论,然后用组合数的第二个常用公式进行证明。在实际教学时,我采取了以下步骤: 1、让学生用组合数公式计算C_9~7和C_(200)~(198)两道题。学生容易解出:     

证明组合等式方法例说

本文通过例题阐述证明组合等式时,如何根据题设特征选择适合的方法,供参考。一、待定系数法待定系数法的根据是多项式恒等定理:若 f(x)≡sum from i=0 to n a_ix~(n-i),g(x)≡sum from i=0 to n b_ix~(n-i),且,(x)≡g(x),则有a_i=b_i。(i=1,2,…,n). 例 1 求证C_m~0 C_n~k+C_m~1 C_n~(k-1)+…++C_m~k C_n~0=C_(m+n)~k。分析观察此式两端组合数的特点,即     

一个组合恒等式的特点及应用

基本组合恒等式（其证明是容易的．本文从略）有这样的特点：它能把两个都和k有关的组合数的乘积C_n~kC_k~m变成只有一个与k有关而另一个与k无关的两个组合数的乘积C_n~m·C_(n－k)~(k－m)利用这一特点，当我们需要处理形如的组合和式时，可首先把整体上含有动标k的通项a_1C_n~kC_k~m“整容”成只在局部上含有动标k的通项a_kC_n~mC_(n－m)~(k－m)，从而，可把只含定标的局部C_n~m作为各项的常值公因子从和式中提取出来，使和式得以简化，便于处理．下面兹举几例说明其应用．（高中代数第三册第二章复习参考题）证视k为C_k~1，则由基本恒…     

构造法证组合恒等式

组合恒等式的证明是教学中的一个难点。有关书刊上一般都介绍了利用组合数公式、组合数性质、数学归纳法、二项式定理等很多证法。本文将探讨一种新的证明方法,即构造法证明组合恒等式。一、构造法证明思想的缘起让我们先看两个简单的组合问题例1、从n个不同元素中取出m个元素并成一组,有多少不同的方法? 解法一、设取法有N种。由组合数定义,得N=c_n~m 解法二、先从n个不同元素中选定n-m个,然后再将其余的m个元素取出,则N=c_n~(n-m) 解法三、设这n个不同元素为α_1、α_2、…α_m。从中取出m个元素有如下两类办法:即取出的m个元素中含有α_1或不含α_2两类。若含有α_1,则应从其余的n-1个元素中再取出m-1个元素,有c_(n-1)~(m-1)种方法;若不含α_1,则应从其余的n-1个元素中取出m个元素,有c_(n-1)~m种方法。由加法原理,得N=c_(n-1)~(m-1)+c_(n-1)~m。     

判断C_n~m奇偶性的一个定理

本文旨在对组合数C_n~m的奇偶性与n、m的关系作一揭示.构思如下:因 C_n~m=(n!)/(m!(n-m)!, 显然,C_n~m是整数.若能比较分子分母中2的最高次幂,问题便能从理论上得到解决. 文中字母均属自然数集. 引理1 在n!的标准分解式中,质因数