构造全等三角形证题

人教版2007.9在几何解题中,常常需要添加辅助线构造全等三角形,以沟通题设与结论之间的联系.现分类加以说明.一、延长中线构造全等三角形例1如图1,AD是△ABC的中线,求证:AB AC>2AD.证明:延长AD至E,使AD=DE,连接CE.如图2.∵AD是△ABC的中线,∴BD=CD.又∵∠1=∠2,AD=DE,∴△ABD≌     

代数法解题的常用方法和技巧

代数法是指用代数知识解决几何问题的方法.也就是利用几何定理、法则,把几何问题转化成方程、不等式以及函数等代数问题来解决的方法.利用代数法往往能使解题思路更清晰、推理更简捷.一、利用线段的和差关系例 1 如图 1,在正△ABC的三边AB、BC、CA上分别有点D、E、F,若DE⊥BC,EF⊥AC,FD⊥AB同时成立,求点D在AB上的位置. 分析:先假设符合条件的点D已经作出,再利用巳知条件,寻找线段与角之间的数量关系,列出含有未知量的等量关系,然后通过代数方法求解.解:设AB=1,AD=x,因为△ABC为正三角形.且DE⊥     

用三角函数证题例说

几何、代数是互相联系的,有些几何证明题就可以用代数方法来解答,下面举例说明用三角函数证明几何题.例1如图1,△ABC中,AB>AC、CF、BE分别是AB、AC上的高.     

坐标法中的技巧

坐标法也称解析法,它是通过平面直角坐标系的建立把几何问题代数化,经代数运算获得相关的代数结果,再通过坐标系转化为几何结论,坐标法使解决几何问题变得具有一定的程序可遵循,这种程序性使我们省下了对某些灵活多变的几何问题寻求具体的时间与精力,特别是对那些纯几何方法难以获解的问题,更能发挥其威力。但是,在解题时,如不注意坐标法所独具的解题技巧,反会使问题变得复杂,使我们陷入繁杂的演算之中。本文意在通过例子来表现坐标法解题的技巧。例1 在Rt△ABC中,AD为斜边BC上     

设点坐标，use your head!

解析几何的本质是用代数的方法研究图形的几何性质,其基本方法是坐标法.通过坐标法,不仅使几何问题通过代数的方法得到解决,而且把数和形密切联系起来了.上面这段话,也把点坐标在平面解析几何解题中的作用描述得淋漓尽致.但我们在平时的教学中,也常常注意到,很多学生在面对一些     

数学知识的相互沟通和综合运用

在探求某些问题的解题途径时,如果能运用所学的代数、几何、三角知识,把数与形结合起来进行探索,往往能化繁为简,化难为易,收到良好的效果,且能使学生对所学知识融汇贯通,综合运用,提高解题能力,下面仅就初中数学中,代数、几何、三角三门科相互联系,相互渗透的某些方面,举一些例子,谈一点粗浅的看法. 一、代数与几何的相互沟通 1.用代数方法解几何题. 法国数学家笛卡尔在“思维的法则”中,曾提出运用方程的观点来解决世间的一切问题.他设计的模式是:     

几何极值问题探究

<正>几何中的极值问题,常常与三角函数等其他代数分支相连接,求解这类问题时,如能在几何与代数的交汇点上寻求解题突破,对提高分析问题、解决问题的能力和提升数学知识的融会与迁移能力,无疑很有裨益.问题1已知△ABC的边BC=a,CA=b,AB=c,点Q在△ABC内,记f=aQA2+bQB2+cQC2.(1)求f的最小值;(2)当f取最小值时,确定点Q的几何位置.     

巧用中点(线)解题例谈

在几何计算或论证中,时常可见到与中点、中线有关的问题。合理巧妙地利用中点、中线这一条件作辅助线,构造全等三角形,可使问题迎刃而解。以下试举例说明之。例1.△ABC中,AB=6,AC=4,则中线AD的取值范围为。分析:已知两条线段与未知线段的位置关系分散,设法把它们联系在一起是解题的关键。略解:如图,延长AD至E,使得DE=DA,连结BE,易知△ADC△EDB,BE=AC=4。在△ABE中,由三角形三边关系有:2<2AD<10,从而1相似文献   

阿波罗尼斯定理的推广

阿波罗尼斯定理:平行四边形两对角线的平方和等于各边的平方和,即在ACBD中AB2 CD2=2(CA2 CB2)(如图图11),由此可得三角形中线公式,设E为△ABC中AB的中点,则CE2=12(CA2 CB2)-AE2,所以,阿波罗尼斯定理也可叙述为三角形两边的平方和等于所夹中线与第三边一半的平方和的两倍。阿波罗尼斯定理是众所周知的一个几何定理。本文作出该定理的几个推广,旨在将初等几何中的某些有关内容有机地联系起来,使之系统化。推广1　把中点E向边上的任意点推广图2定理1　设E为△ABC中AB边上的点,则CA2.EB CB2.AE=CE2.AB AE.EB.AB证明　如图2…     

注意代数方法在平面几何证题中的应用

利用平面图形中给出的明显的或隐含的等量关系,建立方程或进行等式变形……,不仅可以解一些几何计算问题,还可证明一些较繁难的几何证明题。充分注意代数方法在几何中的应用,不仅可以化难为易,且可以拓广学生的思路沟通各学科知识的联系,沟通数与形,提高学生的数学能力,值得提倡。下面略举数例,予以说明。例1.设P是正△ABC的外接圆     

用代数方法和几何方法解题几例

代数方法和几何方法,是相辅相成、互相促进的。它们有着密切的联系。有的题貌似几何类型,但代数方法也能奏速效。这里举出几个例子,它们分别可用代数、几何方法解出,相得益彰,妙趣横生。例一:如图(1),在锐角△ABC中。     

例谈代数词问题中的集合解法

数形结合是数学学习的一种基本思想方法,是中学数学教学的基本要求之一.在初中数学的解题教学中,很多代数问题都可以用几何方法解决,学生必须要有意识地将“数”和“形”有机地联系起来,从几何的角度看代数,提升学习数学的能力.     

构造常见图形直观简捷解题

代数与几何问题的互相转化是中学数学学习与研究中运用广泛,意义深刻的一种思维方法。以“形”研究“数”,会使问题直观形象,解法灵活简便。因此在解某些较复杂的代数问题时,可根据题目的特征,构造出一些简单的几何图形,把所求的问题转化为一个几何问题,然后运用几何等知识和方法求出所求问题的结果,本文将通过以下例题的分析,介绍在初中数学教学中,如何构造常见图形,直观简捷解题。例1 已知△ABC的三边长为     

基于代数的算法内涵,寻求几何的思维综合

如何添加几何辅助线?我们常常从几何模型的角度来添加辅助线;今天我们从几何问题中的+、-、×、÷等代数算法符号中进行分析,寻求几何解题思维的策略。例1如图1,在△ABC中,AD为△ABC的高,AB+BD=AC+CD,求证:AB=AC.分析:由于已知条件中,出现线段和的形式,那么这种类型的问题往往用截长补短的方法进行思考.这里显然用补,那么如何补短呢?     

线面搭台 向量唱戏——立几问题的向量方法例谈

吴文俊先生曾指出,为了使中学几何"腾飞",必须采取"数量化"方法,也就是代数化几何的处理方法.向量就是一个具有几何和代数双重身份的概念,它可以把几何结构代数化,将定性分析转化为定量分析,从而更好地建立起代数与几何的联系.     

一题多证举例

从不同的角度,用不同的思维方法解决同一个问题,既可以提高学生的解题能力,又有利于培养学生的良好思维品质。现将一道习题的多种证法简介如下。已知:△ABC中,AD是角平分线.求证:BD/CD=AB/AC(《几何》课本第二册21页)。证一:如图1,过点C作CE∥DA,交BA的延长线于E.     

面积法在几何证题中的应用

面积法是最古老、最引人入胜的方法之一 ,它具有直观性、通用性和简洁性。其基本方法是 :首先根据几何的量与有关的图形的内在联系 ,用相应的面积公式表示有关的几何量 ,从而把几何量之间的关系转变成为面积之间的代数关系 ,然后经过面积割补原理或代数运算给出命题的证明。例 1　已知 :如图 ,在△ABC中 ,AB =AC ,D是BC上的任意一点 ,DE⊥AB于E ,DF⊥AC于F ,BH⊥AC于H 求证 :DE +DF =BH 分析 :此题用一般的方法去证明 ,第一思维困难 ,第二涉及的知识较多 ,过程复杂 (要作辅助线 ,还要证明全等三角形 )。但是用面积法则比较简单…     

坐标系,破解高考向量题

平面向量既具有代数的特征,又具有几何的特征,故很多向量题,通过巧妙建立平面直角坐标系,构建代数与几何联系的桥梁,以形思数,以数解形,解题则会事半功倍.下面以2012年高考题为例加以说明.一、斜三角形中向量问题例1(2012年高考浙江卷)在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,(?)·(?)=__.分析以BC所在直线为x轴,其中垂线为y轴建立平面直角坐标系来解决.     

数形结合巧解几何题

<正>所谓数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来,通过抽象思维与形象思维的结合,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从而优化解题途径.本文举例说明运用数形结合思想将某些几何问题转化为一元二次方程,再借助判别式或者韦达定理来巧妙地解决问题.一、运用判别式解几何题例1 如图1,在锐角△ABC中,有一内接     

形数结合求函数解析式

近几年来中考题中常有形数结合求二次函数解析式的综合题,解这类题需综合应用几何与代数的知识.利用形数结合的方法,可以沟通代数、几何间的联系.拓宽知识面,增强分析问题和综合运用知识的能力,所以应引起同学们的重视.今举例如下.例1 如图1,在△ABC 中,∠A=60°,