用十字相乘法分解因式

因式分解是初中数学中的重要内容,也是同学们学习上的一个难点。十字相乘法是进行因式分解的一种很重要的方法,对于二次三项式ax^2＋bx＋C（a≠0）来说,有时利用十字相乘法分解相当方便。使用这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数的积,即a=a1a2,把常数项c分解成两个因数的积,即c=c1c2,     

用“十字相乘法”化解高次方程三例

用“十字相乘法”化解高次方程三例□兰州市四十四中陈桂芳例１解方程（６ｘ＋７）２（３ｘ－４）（ｘ＋１）＝６．解：方程左右两边同乘１２将原方程变形为（６ｘ＋７）２［（６ｘ＋７）＋１］［（６ｘ＋７）－１］＝７２（６ｘ＋７）２［（６ｘ＋７）２－１］＝７２（...     

如何认识“十字相乘法”?(二)

在前文(《如何认识十字相乘法?(一)》)中我们介绍了韦达定理、十字相乘法、求根公式法,这里我们继续探讨十字相乘法和求根公式法.1 再看十字相乘法和求根公式法从前文中,可以看出用十字相乘法进行因式分解有一定的局限,主要是用十字相乘法进行分解的因式,要求我们在有限次尝试后能成功将其常数项分解,即找到 x_1、x_2,这就使得常数项不能是分数,也即只能分解系数为整数的二次三项式.而用求根公式法分解因式则是通性通法,只要因式可以分解,用这种方法就可以将其成功分解.由于求根公式法是通     

如何认识“十字相乘法”?(一)

在《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》中去掉了十字相乘法,引起了广泛的争议,很多初中教师还是把十字相乘法作为教学的内容,一些高中教师也用了很多时间补充十字相乘法的内容.应该如何对待十字相乘法,什么是通性通法?本文通过对十字相乘法的分析,希望能和教师们一起来讨论这些问题.本文介绍了十字相乘法的原理及适用范围;本文(续)将对十字相乘法与求根公式法进行比较;分析了这些方法在后续数学学习中的作用以及中、高考在这方面的命题趋势;最后给出了一些建议,供教师参考.     

十字相乘法的引伸——双十字相乘法

《九年义务教育三年制初级中学课本》代数第八章第四节介绍了因式分解的第四种基本方法——十字相乘法.详细讲述了形如x~2 (a b)x ab、a_1a_2x~2 (a_2c_1 a_1c_2)x c_1c_2、ax~2 bxy cy~2形式的因式分解.为提高学生分析问题、解决问题的能力,深化学生对十字相采法的理解,拓宽知识的应用面,对学有余力的学生可适当地讲解双十字相乘法在因式分解中的应用.     

如何认识“十字相乘法”？（二）

在前文（《如何认识“十字相乘法”？（一）》）中我们介绍了韦达定理、十字相乘法、求根公式法,这里我们继续探讨“十字相乘法”和“求根公式法”．     

对“十字相乘法”的探讨

形如ax~2+bx+c的代数式,叫做x的二次三项式。某些数字系数的二次三项式的因式分解,运用观察法,即十字相乘法,即可完成。例如:分解8x~2+27x+9的因式,我们在草稿纸上写     

如何认识“十字相乘法”？（一）

在《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中去掉了“十字相乘法”,引起了广泛的争议,很多初中教师还是把“十字相乘法”作为教学的内容,一些高中教师也用了很多时间补充“十字相乘法”的内容．应该如何对待“十字相乘法”,什么是“通性通法”？本文通过对“十字相乘法”的分析,希望能和教师们一起来讨论这些问题．本文介绍了“十字相乘法”的原理及适用范围;本文（续）将对“十字相乘法”与“求根公式法”进行比较;分析了这些方法在后续数学学习中的作用以及“中、高考”在这方面的命题趋势;最后给出了一些建议,供教师参考．     

再谈“十字相乘法”该不该删掉

十字相乘法在新课程实施过程中该如何处理成为数学教师讨论的一个热点话题．本文从3个方面对这个问题进行了分析,旨在明晰一些认识,本文认为,十字相乘法还是删掉的好．     

灵活应用十字相乘法

十字相乘法是因式分解的重要方法之一，一般应用于分解二次三项式ax2＋bx＋c．如果x，a，b，c都是代数式或至少有一个是代数式，经过适当恒等变形，再灵活运用十字相乘法，亦能将其进行因式分解，如下面几例．例1分解因式：（1）x4－13x2＋36；（2）a2b2c4＋5abc－14解题思路乍一看，这两个式子不是二次三项式，似乎不能运用十字相乘法，但是若将（1）变形为（x2）2－13x2＋36，（2）变形为（abc）2＋5abc－14把x2和abc分别当作x，两式仍然是二次三项式的形式，所以可用十字相乘法．例2分解因式：解题思路将x2＋2x看作x，即可应用十字相乘法…     

走出“双十字相乘法”的误区

读了“中学数学教学”1995年第4期刊载的“十字相乘法的引伸——双十字相乘法”一文,关于对形如Ax~2 Dxy By~2 Ex Fy C(A、D、B均不为零)的因式分解的教学所介绍的几种方法,其中法二与法三均有错,而且这种错误比较隐蔽,也较普遍,笔者觉得很有必要进行错因剖析,总结归纳出可分解的充要条件,同时介绍正确使用“双十字相乘法”分解上题的几种好方法.     

“十字相乘法”在因式分解中的妙用

<正>初中阶段的数学学习,无论是一元二次方程还是分式的有关运算,都离不开因式分解.但在人教版的教材中,对因式分解仅给出了两种方法,即提公因式法和公式法.而从学生解题中所反映的情况看,运用这两种方法往往易混,特别是公式法易忘、易错.笔者经过几年的教学摸索,启用了现在不被重视但却很有用的"十字相乘法"进行教学,效果很显著,兹举例说明如下.1.多项式仅有两项且为平方差(1)一项为字母平方一项为数字平方时.     

请给“十字相乘法”留一席之地

大家知道,现在的初中数学教材早已难觅"十字相乘法"踪影.多年来,对于删掉十字相乘法是否合理,各位专家学者多有探讨,众说纷芸.而一线教师留住"十字相乘法"的呼声甚高,但还是未能改变十字相乘法被踢出初中数学教材的命运.究其原因,也许是为了降低教材难度,减轻学生的学习负担.但是多年的教学实践表明,删掉这一知识,学生的学习负担并没有减轻多少,相反在某些方面增加了学生的学习困难.因此,我呼吁,初中数学教材请给"十字相乘法"留一席之地,理由如下:     

创造条件应用十字相乘法

十字相乘法主要是用来分解二次三项式．有时候,对于某些非二次三项式的多项式的因式分解,我们可创造条件来应用十字相乘法．一、借助提取公因式创造条件例1分解因式：a3-24a2b=44ab2．解原式一a（a2－24ah＋Mbz）一以a－Zb）（a－22b）．练习1分解困式：X‘y－3旷一勺’二、借助指数变形创造条件例2分解困式：8x6＋7x’1．解原式一8（xs‘＋7（勺一1＝（。’＋1）（sx’l）＝（x＋l）（x’－x＋1）（Zx－l）（4x’＋Zx＋l）．＄gZH＄NK：。‘13。Zb’＋36b‘．三、借助换元创造条件例3分解因式：（a’3a）‘2（a‘3a）8．解设a‘－sa…     

十字相乘法的推广

运用十字相乘法对二次三项式进行因式分解,简便迅速,应用比较广泛。在实践中我发现,应用十字相乘法不但能分解一般的二次三项式,而且还能用类似的方法解决一些特殊的三次三项式、三次四项式、四次五项式等多项式,方法也比较简便。     

因式分解中的十字相乘法

十字相乘法是因式分解的一种较方便的方法,这里加以介绍.我们考察多项式:x~2-8x+15 (1)用配方法因式分解:原式=x~2-8x+16-1=(x-4)~2-1=(x-4-1)(x-4+1)=(x-5)(x-3)至此,我们已经把(1)式分解成两个因式了.现在我们来研究这两个因式(x-5)、(x-3)与多项式x~2-8x+15有怎样的关系?从等式中可以看出,多项式二次项的系数1刚好等于两个因式中x的系数的积1×1=1,常数项15刚好是两个因式的常数项的积(-3)(-5)=15,一次项的系数(-8)刚好是因式的x的系数1、1和常数项-3、-5交叉相乘积的和1×(-5)+1×(-3)=-8.即     

应用“韦达定理”改进“十字相乘法”

由一元二次方程根与系数的关系知道,二次三项式ax~2 bx c=a(x-x_1)(x-x_2)(?)x_1 x_2=-b/a,x_1x_2=c/a。由此可对“十字相乘法”作如下改进: 作变换ax~2 bx c=1/a[(ax)~2 b(ax) ac]。令ax=y,则ax~2 bx c=1/a(y~2 by ac)。若有x_1、x_2,使x_1x_2=ac,x_1 x_2=-b,则ax~2 bx c=1/a(y-x_1)(y=x_2)=1/a(ax-x_1)(ax-x_2),于是有定理对于二次三项式ax~2 bx c,若能找到x_1、x_2,使得ac=x_1x_2,x_1 x_2=-b,那末,ax~2 bx c     

用密度十字相乘法解杠杆平衡问题

1提出问题 如图1所示，某轻质杠杆两端分别挂有5N和3N的实心铜块处于平衡状态，现把两铜块同时浸没在水中，则杠杆将（ ）     

用密度十字相乘法解杠杆平衡问题

1提出问题如图1所示,某轻质杠杆两端分别挂有5N和3N的实心铜块处于平衡状态,现把两铜块同时浸没在水中,则杠杆将()A.挂5N的铜块端将下沉。B.挂3N的铜块端将下沉。C.杠杆仍然保持水平平衡。D.无法确定。