不等式恒成立与有解问题

有关不等式恒成立与有解的问题历来是高考的热点,有时在同一套试题中甚至有几道这方面的题目．不等式恒成立与有解问题一直是中学数学的重要内容,它是函数、数列、不等式,     

分类讨论 数形结合 解题赏析——2010年浙江省数学高考自选模块解题体验

2010年浙江省数学高考自选模块“数学史与不等式选讲”考查的是含参数的绝对值不等式．作为选拔性的题目，含参数的绝对值不等式有一定的难度，需要对参数进行合理地分类讨论，在讨论过程中运算也很复杂．下面给出这道题的其他解法．     

应用均值不等式求最值的误区

利用均值不等式求最值,是数学中的一种常用方法．但同时也是非常容易出错的一类题目,原因就在于忽略了利用均值不等式求最值的三个条件“正数、定值、等号成立”．从而造成题目的误解甚至是错解．     

一道清华大学自主招生试题的证明与推广

题目设x,y∈R＋,且z＋y=1,求证：x^2n＋y^2n≥2^2n-1^-1（2009年清华大学自主招生试题）． 题目是条件不等式的证明,由于条件是二元一次方程,所以,代入消元就化为一元不等式的证明,而一元不等式的证明都是求函数的值域,故题目并不难,且证明方法较多,本文一般地给出题目的证明并推广．     

不等式的证明

证明不等式是各级各类数学竞赛的热点内容,也是初等数学研究的热门话题．如何证明一个不等式,一般没有固定的模式,证法完全因题而异．这就需要我们在掌握常规方法和常用技巧的基础上,依据所给题目去探索、去寻找证明途径．一、基础知识１．不等式证明的常规方法（１）...     

巧用赫尔德不等式求最小值

题目设p、q∈R＋，x∈（0，π/2）,求函数f（x）=p/√sin x＋q/√cos x的最小值。 这是数学奥林匹克小丛书《平均值不等式与柯西不等式》中的一道题目．书中是用带参数的柯西不等式证明的；而且用了两次，证明的难度之大、技巧性之强都是罕见的．本介绍使用赫尔德不等式的简捷解法。需要说明的是，恰当地使用赫尔德不等式的关键在于选择好指数对（p，q）．因为本题表达式中已用字母p和q，故在下面的解法中改用（α，β）．[第一段]     

对一道“希望杯”邀请赛题解题的遐思

这2个出处相异却是相同的题目,其实一再揭示了这一种不等式类型对培养和训练思维能力的重要性．     

回归课本 夯实基础——评析2011年高考题中的数列不等式的证明题

近些年的高考试题加大了对数列与不等式交汇的证明题的考查力度,这些题目多为压轴题,对学生掌握利用放缩的方法解决数列问题的技巧有着比较高的要求．随着高考题的出现,高中复习备考时我们对数列不等式也不断升温,与课本知识明显脱节．我们有些担心,像这样下去,究竟什么是“度”？看了今年的高考数列不等式的压轴题,令人耳目一新,这些数列不等式的证明题的解法均源于课本,只要学生认真落实了课本上讲述的证明方法,都能够比较顺利地解决问题,这对今后的高考复习备考有着很好的导向作用．下面我们对部分题目进行评析．     

给出数量关系的几种常用方式

用方程或不等式的知识解答一些实际问题是中考命题的重点和热点,因为这样的题目能考查同学们以方程与不等式的知识为载体进行数学建模的能力,这样的题目对于培养学生发现问题、提出问题、分析问题与解决问题的能力具有重要的教学价值．用方程与不等式的知识解答问题的关键是通过分析题意,找到题目所蕴涵的数量关系（等量关系或不等量关系）而给出数量关系的方式是多种多样的．     

一元一次不等式解题技巧大放送

解一元一次不等式,教材中介绍的是基本方法,但题目千变万化,遇到每一个题目要善于观察所给不等式的特点,结合其他知识,灵活巧妙地变通解题步骤,才可收到事半功倍的效果．1．巧去括号     

扬典例之帆 驾思维之船——一道不等式题的多种证明方法及拓展

【题目】已知a、b、m∈R^＋,a〈b．求证：a/b〈a＋m/b＋m 一、研究证法这是高二数学上册一道典型的不等式证明题,这个题目的证法很多,每一种证法都体现着一种数学思想．那么,如何转化呢？按照教材上要求的比较法、综合法、分析法这三种基本方法来证明这个不等式,就有下面三种基本方法：     

数列不等式的放缩模型及解题分析

近几年的高考试题加大了对数列知识和不等式知识交汇的题目的考查力度．数列知识和不等式知识综合的题目多为压轴题,对学生掌握放缩的方法和技巧有着比较高的要求．下面就近几年的数列不等式的考题进行具体分析,寻找放缩的模型,得出解题的规律．     

由考题谈论证——2006年全国高考数学陕西卷理科第8题

2006年全国高考数学陕西卷理科第8题,是一道不等式恒成立的参数确定问题,找出选项B似乎并不困难,但解题依据却未必都能说清楚（常与不等式的传递性混淆）,甚至还会出现“会而不对、对而不全”等逻辑漏洞．我们对这道题目的分析,重在解难释疑和论证的严谨性上．先给出题目：     

与时俱进的不等式恒成立与有解问题

不等式恒成立与有解问题一直是中学数学的重要内容．它是函数、数列、不等式等内容交汇处的一个较为活跃的知识点,随着中学数学引进导数,它为我们更广泛、更深入地研究函数、不等式提供了强有力的工具．在近几年的高考试题中,涉及不等式恒成立与有解的问题,有时在同一套试题中甚至有几道这方面的题目,比如2006年高考江西卷以及湖北卷．     

一道三角不等式的多种证法

【题目】已知a∈（0,π/2）,求证：sin＋cosa〉1．这是一道三角不等式证明题,下面从不同度思考,给出该题的多种证法．     

不等式知识查漏补缺自测表

纵观近几年的高考题,对不等式的考查约占总分的10％．从题型上看,客观题主要考查不等式的解法和线性规划问题,解答题主要考查含参数不等式的解、取值范围和最值等综合问题．近几年的高考加大了在知识交汇点处命题的力度,单独解不等式或证明不等式的题目明显减少,更多的是与函数、方程、数列、三角、解析几何、立体几何及实际应用问题等联合起来考查不等式知识,目前这一趋势不会有太大的改变．笔者现将不等式知识点和应该注意的问题列举如下,希望对同学们有所帮助．     

求双曲线离心率范围“二策略”

求双曲线离心率取值范围,是解析几何中一类典型的题目,这类问题考查了多个知识点,综合性强,方法多,高考中多次涉及且题目常出常新．解决这类题目的关键是构造不等式．现结合近两年高考试题,探讨一下这类题目的解题策略．     

构作长方形数表证一类不等式题

文[1]用贝努利不等式的变式给出一类不等式题的证明方法,事实上这些题目都可以用构作长方形数表来证明,长方形数表也是证明不等式的一种重要途径．     

三次方程实数根的有关问题

因为函数、方程、不等式之间有密切联系,所以函数、方程、不等式综合问题历来是高考命题的重点,在高中数学新课程之前的高考题中二次方程、二次函数、二次不等式综合题屡见不鲜．随着对导数这一研究函数性质的重要工具考查的日渐深入及高中新课改教材中函数零点、零点存在定理、二分法、三次函数等知识的引入,在高考中悄然出现了三次函数、三次方程、三次不等式的综合性题目,而这些题目大都与三次方程实数根有关．因此研究、总结、归纳三次方程实数根有关问题的常见类型及相应解题策略,对把握今后高考命题的方向,指导学生求解相关问题就显得很有必要．     

老树著新芽——一道经典高考题解法的多视角探究

题目：若正数a、b满足ab=a＋b＋3,求曲的取值范围．（1999年全国高考题） 这是一道有关函数与不等式的形式简单、结构优美的小综合题．从代数与几何的视角观察和分析题目的条件与结论,我们将产生多种不同的念头,可以获得基本不等式解法、数列解法、三角解法、方程解法等多种解法．由于各种解法均涉及高中代数主干知识,同时蕴藏着丰富的数学思想方法,因此本题又是一道高中数学练习的好题．