复合函数单调区间“八字”求法

求复合函数y=f[g(x)]的单调性,可按以下步骤:①合理地分解成两个基本初等函数 y=f(u)、u=g(x);②分别求出各个函数的定义域;③分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间;④若两个基本初等函数在对应区间上的单调性是同增或同减,则y=f[g(x)]为增函数．     

函数单调性质应用的探究

设函数f(x)定义在区间I上且x1,x2∈I,则①若函数f(x)在区间I上是单调增(或减)函数,则x1f(x2)).②若函数f(x)在区间I上是单调函数,则x1=x2f(x1)=f(x2).③若函数f(x)在区间I上是单调函数,则方程f(x)=0在区间I上至多有一个实数根.④若函数f(x)与g(x)的单调性相同,则在它们公共的定义域内,函数f(x) g(x)亦与它们的单调性相同.⑤复合函数y=f(u)(u=g(x))的单调性适合“同增异减”规律,即若f(x)与g(x)的单调性相同(或相异),则y=f[g(x)]为增(或减)函数.⑥互为反函数的两个函数在各自的定义域内具有相同的单调性.运用…     

如何利用导数研究函数的单调性

<正>知识点:导数与函数的单调性(1)函数单调性的判定方法:设函数y=f(x)在某个区间内可导,如果f'(x)>0,则y=f(x)在该区间为增函数;如果f'(x)<0,则y=f(x)在该区间为减函数。(2)函数单调性问题包括:(1)求函数的单调区间,常常通过求导,转化为解方程或不等式,常用到分类讨论思想;(2)利用单调性证明不等式或比较大小,常用构造函数法。一、求解含参函数的单调区间     

例析导数法在高考复习中的严谨性的缺失

正1."单调性概念理解"的严谨性缺失书本定义:设定义在某区间上的函数y=f(x),如果f'(x)0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增;如果f'(x)0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减.理解这正是我们同学用来解决求函数单调区间的依据,但同学们往往忽略了这只是函数在这个区间上单调递增或递减的一个充分条件,而并非必要条件.     

怎样讨论复合函数的单调性

复合函数的单调性问题是学习的难点,是大多数学生难于着手和容易出错的问题。下面谈谈如何讨论复合函数单调性问题。如果u=g(x)在区间M上有定义,且u∈N,y=f(u)在区间N上有定义,则把y=f(g(x))叫由u=g(x)和y=f(u)复合而成的     

f(x)=f~(-1)(x)f(x)=x?(高一、高三)

在本刊第3期《用函数单调性解非函数题》一文中,有这样一个结论: 若函数f(x)在区间I上是单调函数且存在反函数,则f(x)=f-1(x)<=>f(x)=x. 下面用它来解两道题. 题1 两抛物线弧y=√7-3x,x=√7-3y的交点有( )个.     

函数单调区间的求解误区与处理建议

在教学过程中,笔者发现学生在求解函数单调区间时出现了一系列的问题,本文中对于学生解题过程中出现的误区进行分析,并尝试提出一些解决办法。一、对函数单调区间定义理解的误区(一)对函数单调区间定义的理解误区函数单调区间的定义:若函数y=f(x)在某个区间是增函数(或减函数),就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做函数y=f(x)的单调递增区间(或单调递减区间),此时就说函数y=f(x)是这一区间上的单调函数。     

函数单调区间的求解误区与处理建议

<正>在教学过程中,笔者发现学生在求解函数单调区间时出现了一系列的问题,本文中对于学生解题过程中出现的误区进行分析,并尝试提出一些解决办法。一、对函数单调区间定义理解的误区(一)对函数单调区间定义的理解误区函数单调区间的定义:若函数y=f(x)在某个区间是增函数(或减函数),就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做函数y=f(x)的单调递增区间(或单调递减区间),此时就说函数y=f(x)是这一区间上的单调函数。     

例析有关解答几类函数数列题的思维方法

一、求简单复合函数单调区间定理:设函数u=g(x)的值域为N.1.若函数y=f(u)在N上为增函数,则u=g(x)的单调增(减)区间就是函数y=f[g(x)]的单调增(减)区间.2.若函数y=f(u)在N上为减函数,则u=g(x)的单调增(减)区间就是y=f[g(x)]的单调减(增)区间.本文根据上述定理归纳出一个比较容易的求复合函数单调区间的一般方法,其步骤是:(1)在y=f[g(z)](复合函数)中,换元即令u=g(x)(中间函数),则y=f(u)(原函数);(2)求出y=f(u)的单调区间N_i(i=1,2,…,n)并判定出增减;(3)求出使u=g(x)∈N_i的x范围M:(4)求     

y=Asin(ωx+φ)的单调性的教学反思

1教学难点笔者在y=Asin(ωx+φ)单调性的教学中,发现学生会做这一类题,但普遍不理解为什么要这样做.论其原因,应该包括以下3个方面:(1)不能灵活地运用"数形结合"思想,不知道y=Asin(ωx+φ)单调区间的变化本质上是图象的变换;(2)不理解复合函数.y=f(g(x)的单调性,不知道求单调区间时为什么要将外层函数y=f(u)的单调区间化成x的范围;(3)没有意识到单调性的本质是"自变量x与因     

函数单调性的判断与定义证明

单调性是函数重要的性质,判断函数单调性应看函数的图象.从左向右,若图象上升,则函数递增;若图象下降,则函数递减.用定义证明函数单调性的方法是作差比较法,要在证明的区间内设任意x10;(2)a<0.(此题为高中课本习题)分析:投石问路,取a=1时,函数y=x3的图象如右图,观察图象知,在R内x增大y增大.猜测当a>0时,函数y=ax3在R上是增函数.(1)证法1:设任意-∞相似文献   

函数单调性的充要条件及应用

1．有关结论新教材第三册中给出了函数的单凋性的充分条件：一般地,设函数y=f(x)在某个区间有导数,如果在这个区间内y′＞0,那么f(x)为这个区间内的增函数；如果在这个区间内y′＜0,那么f(x)为这个区间内的减函数．利用这一结论求复杂函数的单调区间十分方便,但要解决单调性的逆向问题,利用单调性的充要条件更加方便．     

单调函数一个性质的应用(高一、高二、高三)

由函数单调性的定义可知:若函数y=f(x)在区间I上单调,且x1、x2∈I,则f(x1)=f(x2)-x1=x2.根据问题的特点,构造恰当的函数,利用以上性质可以解一类求值题.     

函数单调性的理解及应用

函数单调性是函数知识中的重要概念.为便于学生掌握,本文试从几个侧面阐述对函数单调性的理解及应用.为方便叙述,文中涉及的相关问题均在函数f(x)的定义域内某个区间D上.一、图象理解上升则增,下降则减,陡快坡慢.例1已知函数y=f(x)的图象如图1所示,试作出y=f′(x)的草图.分析函     

关于单调函数的若干命题

单调函数不论是在理论上还是在实际应用中都有其特殊重要的地位。本文所列几个命题的共同之处,在于它们具有强烈的几何直观性:稍作简图便可看出其正确性。可供有关教学人员参考。首先统一一下述语。f(x)的定义域为区间Ⅰ,如果对任意 x,y∈Ⅰ,x相似文献   

从导数看函数单调性的充要条件(高三)

新教材中对函数的单调性是这样描述的:一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导, 如果f'(x)>O,则f(x)为增函数; 如果f'(x)相似文献   

谈谈导数在初等数学中的应用

导数是高等数学的重要概念之一,它是研究可导函数的重要工具.在研究函数的单调性、极值、曲线的切线等方面都有它的一席之地.本文拟通过实例来剖析导数在初等数学中的一些应用.1 研究函数的单调性 利用导数研究函数的单调性,主要是根据下列结论:“设函数 y = f (x) 在某个区间内可导,若 f ′(x) > 0 ,则 f (x) 在此区间内为增函数;若 f ′(x) < 0 ,则 f (x) 在此区间内为减函数”.其一般步骤为:(1)求出导函数 f ′(x) ;(2)令 f ′(x) > 0 ,求出其解集,即为 f (x) 的单调递增区间;令 f ′(x) < 0 ,求出其解集,即 f (x) 的单调递减区间. …     

构造函数利用单调性解题

由函数单调性的定义容易知道:(1)若函数f(x)在区间I上单调递增,且x1,x2∈I,则f(x1)x2;(3)若函数f(x)在区间I上单调,且x1,x2∈I,则f(x1)=f(x2)x1=x2;根据题目的特点,构造一个适当的函数,利用它的单调性进行解题,是一种常用的技巧.许多问题,如果运用这种思想去解决,往往能获得简洁明快的思路,有着非凡的功效.下面举例说明这一思想在解题中的若干应用.一、求值例1设x,y为实数,且满足(x-1)3+1997(x-1)=-1(y-1)3+1997(y-1)=1,则x+y=.解:由已知条件,可得:(x-1)3+1997(x…     

对复合函数单调性的探讨

<正>考查复合函数f=f(g(x))的单调性.设单调函数y=f(x)为外层函数,y=g(x)为内层函数,(1)若y=f(x)增,y=g(x)增,则y=f(g(x))增.(2)若y=f(x)增,y=g(x)减,则y=f(g(x))减.(3)若y=f(x)减,y=g(x)减,则y=f(g(x))增.(4)若y=f(x)减,y=g(x)增,则y=f(g(x))减.结论:同增异减.     

浅谈导数在求解与函数单调性有关问题中的应用

函数单调性是高中阶段函数的一个最基本的性质,导数为我们提供了一套新的理论和方法,只通过简单的求导和解相关的不等式就可以判断出函数的单调性,进而更深入地解决问题,比如最值问题等。那么,怎样用导数解决有关单调性的问题呢?一、导数与函数单调性的关系1.定义设函数y=f(x)在某个区间(a,b)内可导,如果f’(x)>0,那么y=f(x)在这个区间内单调递增;