“阅读”材料中一道例题的解法与拓展

从一份七年级的数学试卷上看到如下一道题：题目如图1,正方形内部有若干点,连接这些点及正方形的顶点,所得的线段把原正方形分割成一些互不重叠三角形.（1）填写下表⑵原正方形能否被分割成2013个三角形？若能,求出此时正方形内部有多少个点;若不能,请说明理由.这道题并不难,其中（1）是找规律的题,（2）是一道一元一次方程的题.这里暂且不给出这道题的解答,     

完全正方形化问题

完全正方形化问题,指的是将一个矩形无空隙地割分成若干个正方形.这类题在中考、竞赛试卷中常有出现,现举例说明之. 例1 大厅长27.2 m,宽14.4 m.用大小相同的正方形木板铺满地面,最少需要正方形木板__块. (1998年“希望杯”培训题)     

变形类设计题的思路

设计类问题不仅能反应出掌握知识的能力,而且对动手操作和分析问题、解决问题的能力都提了很高的要求,因此,设计类问题越来越多地出现在试题中.其中有一类题:根据已知图形,按要求把图形变形成与其面积相等的另一个图形.这类题不妨叫做变形类设计题,以下就变形类题设计思路举例说明如下.例1如图1,已知:两个连体正方形,把它分成三部分,使它们重新组合成一个正方形,用图示表示出组合方法.分析设较小正方形边长为a,较大正方形边长为b(b>a),由于组合后的图形是正方形,根据变形前后面积不变,可以求出该正方形的边长为a2+b2,如图2,在BD上取一点C,…     

一道“希望杯”竞赛题的探索

原题:如图1,一个面积为51cm2的正方形与另一个小正方形并排放在一起,则△ABC的面积是___cm2.(第十届希望杯赛题)探索:设大正方形的边长为a,小正方形边长为b,则a2=50.法1特殊值法.由题意知S△ABC与b的大小无关(b相似文献   

一道线段比最值问题的解法探究与变式拓展

<正>最值问题是中考考查的重点,也是考生的难点,并多以填空题、解答题或探究题等形式出现.本文以一道线段比最值问题为例,着力一题多解,以此来培养学生的创新能力,拓宽学生的思维路径.一、原题呈现题目如图1,在正方形ABCD中,P是AB延长线上一点,则PC/PD的最小值为___.分析本题以正方形为背景,将勾股定理、相似三角形、手拉手模型融为一体,涉及的知识点多,综合性强.     

一道竞赛题引发的结论

题目　 (第一届数学奥林匹克国家集训班选拨　　　　　图 1考试题暨第四届“祖冲之杯”初中数学邀请赛题 )正方形ＡＢＣＤ边长为 1,ＡＢ、ＡＤ上各有一点Ｐ、Ｑ ,如果△ＡＰＱ的周长为 2 ,求∠ＰＣＱ的度数 .将△ＣＤＱ顺时针旋转 90° ,使ＣＤ与ＣＢ重合 ,则Ｑ点落在ＡＢ的延长线上 .利用三角形全等及题设条件可得∠ＰＣＱ =4 5° .(证明略 )注意到△ＡＰＱ的周长恰为正方形边长的 2倍 ,很容易证得下面几个结论 .命题 1　在正方形ＡＢＣＤ中 ,若Ｐ、Ｑ分别在ＡＢ、ＡＤ上 ,△ＡＰＱ的周长是正方形边长的 2倍 ,则∠ＰＣＱ =4 5° ,反之亦真 …     

正方形创新题赏析

正方形是一种特殊的平行四边形.近年来中考不断加大正方形问题的创新力度,充分运用所学知识,抓住正方形的本质特征是解此类题的关键.现以2006年中考题为例,说明正方形创新题的解法.     

巧解难得 常规易求

2012年陕西省中考数学试题第25题,不但题型新颖,而且解题方法有所创新,对于开拓学生知识视野,促进思维的角度,丰富解题策略有积极的推动作用.原题是:如图,正三角形ABC的边长为3+3^1/2.（1）如图①,正方形EFPN的顶点E、F在边AB上,顶点N在边AC上,在正三角形ABC及其内部,以A为位似中心,作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′,且使正方形E′F’P’N′的面积最大（不要求写出作法）.（2）求（1）中作出的正方形E′F’P’N′的边长;（3）如图②,在正三角形ABC中放入正方形DEMN     

渗透思想方法 凸显核心素养

<正>1试题呈现(宁波中考第10题)将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图1方式不重叠地放置在矩形ABCD内,其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等。若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出()。A.正方形纸片的面积B.四边形EFGH的面积C.△BEF的面积D.△AEH的面积     

巧涂黑格（1）

有这样一道俄罗斯趣题:5×5的正方形内有25个方格(如图1),至少要涂黑几个方格才能使正方形内的每一个3×3的正方形里面正好都有4个黑格?为了求解上述题目,我们先数一下,在图1中3×3的正方形共有9个;再观察一下,图1中每个小方格包含在这9个3×3的正方形的哪几个之中,现用数字写在图2中,比如图2的中心格内写“9”,表示这一方格都包含在这9个3×3的正方形之中;四个角上写“1”,表示这一方格只包含在1个3×3的正方形之中,其他类同.图11232124642369632464212321图2现在来解上题,据题意,要求涂黑的方格个数尽量少,就需要先涂黑这样的方格,它是包…     

巧设单位“1”解题

在求解平面几何的习题 ,特别是有关正方形的数学问题 .我们习惯于从“定义”、“定理”及“数学公式”入手 ,由条件—结论解答 ,但某些习题 ,照此办理 ,可能会遇到麻烦乃至无法得结果 ,倘若假设正方形的边长为“1”.利用正方形众多的特性 ,即可使求解过程简化 .例 1　正方形 ABCD的边 BC、CD上各有一点 M、N ,满足∠ MAN =45°,求证 :BM .DN =BC2 -BC . MN .(此题原解 :《数学通报》2 0 0 1( 4 )“数学问题解答”13 0 2题 )图 1分析 :该证明引用了“四条辅助线”.经过几组三角形全等及相似 ,又加入若干步骤的代换 ,整理方才获解 ,…     

数学创新月月练

题1 如图1,已知边长为y的正方形ABCD内接于边长为x的正方形EFGH,试求x/y的最大值. 题2 已知关于x的一元二次方程ax2 bx c=0没有实数根,甲由于看错了二次项系数,     

剪剪拼拼

剪拼正方形是常见的智力趣题,其图形的变化可谓千姿百态.其解引人入胜,让人感到是一种得益的享受.本文仅举2例供大家拼玩.1.图1是由10个全等的小正方形构成的,将其剪3刀拼成一个大的正方形.     

正方形的分割

下面我们看两道竞赛题1.将一个正方形分割成n(n>1)个小正方形,则n不可能取().(A)4(B)5(C)8(D)9(第十六届江苏省初中数学竞赛题)2.试设计一种方法,把一个正方形不重复不遗漏地分割成8个正方形(分得的正方形大小可以不相同);又问如何把正方形按上述要求分成31个正方形.(1997年安徽省初中数学竞赛题)这两道题都是研究正方形的分割问题.为了解决这两个问题,我们先来全面、深入的研究如何把一个正方形分割成n个小正方形.我们先考虑n可以取哪些数?首先从n=2开始,当n=2时,正方形不可分;当n=3或5时,正方形亦不可分.接下来,通过画图可以知道,当n=22…     

算与拼——利用多解与多变培养思维能力

初中起始年级的同学可以利用多解题、变式题,培养思维能力,下面举一个例子。例求正方形中阴影部分的面积.(如图1)思路1 两个1/4圆面积的和比正方形面积多出的部分就是图中阴影部分的面积.思路2 从1/4圆面积中减去一块空白部分面积;而一块空白部分面积又等于从正方形面积中减去一个1/4圆的面积.     

一道代数题的三种几何解法

题目:设m、n、p为正实数,且m2 n2-p2=0.求m pn的最小值.这道题若用代数方法求解,比较麻烦.如果我们能根据题意构造出几何图形,利用几何图形的性质,可以巧妙地解出这道题.解法1:构造边长为m n的正方形ABCD,E、F、G、H分正方形各边为m、n.显然,EFGH是边长为p的正方形.由图可知EG=     

问题转化计算定位 ——对一道网格作图问题的思路探求及思考

1 原题呈现 题目:如图1,在每个小正方形的边长为1的网格中,A、E 为格点,B,F 为小正方形边的中点,C 为AE,BF的延长线的交点.     

巧求三角形中内接四边形的边长

题1.如图1所示,△ABC是一块锐角三角形的余料,边BC=120mm,高AD=80mm,要把它加工成正方形零件,使正方形一边在BC上,其余两个顶点分别在AB、AC上,这个正方形零件的边长是多少？     

一道征题的引申及推广

<正>《初中生数学学习》在一期一题栏目中曾刊用安徽黄全福老师提供的一道题.题1以正方形ABCD的边AB为直径在形外作半圆,P在半圆上,PC、PD分别交AB于E、F.证明:不论P点位置如何,EF恒为AF与BE的比例中项(注:题中字母顺序有调整).本题题干简洁、清晰,题图是由两个特殊图形正方形与半圆组合而成.文[1]通过过点P作△PEF的高,借助三角形相似、射影定理及比例等知识而获     

一道低得分考题的处理与思考

<正>最近,笔者所在学校组织一次单元检测,其中有一题得分情况之低令人惊讶,为此笔者进行了一番调查研究,现整理成文,期待更多同仁参与此类问题的研讨.一、原题呈现题目如图1,正方形ABCD、EFGH的中心P、Q都在直线l上,EF⊥l,AC=EH.正方形ABCD以1cm/s的速度沿直线l向正方形EFGH移动,当点C与HG的中点I重合时停止