也谈两边夹的方法在数学中的应用

若an≤bn≤cn，且limn→∞an=limn→∞cn=A，则limn→∞bn=A．这是高等数学中的两边夹定理．与之相仿，初等数学中也有一个结构相似的两边夹结论：若A≤a≤A．则a=A．这虽是一个显而易见的结论，但在数学中却有不少应用．     

一个简单结论的妙用

若an ≤bn ≤cn,且limn→∞an =limn→∞cn =A ,则limn→∞bn =A ,这是高等数学中的两边夹定理 ,与之相仿 ,在初中数学中也有一个结构相似的两边夹定理 :若A ≤x≤A ,则x =A( ) ,这虽是一个显而易见的简单事实 ,但在初中数学竞赛中却有不少的妙用 .例 1　已知x是实数 ,则x-π π-x x- 1π 的值是 (　　 ) .(A) 1- 1π 　 (B) 1 1π(C) 1π - 1　 (D)无法确定( 2 0 0 3年第 14届“希望杯”初二 )分析　由二次根式有意义的取值范围是被开方数非负 ,得x -π ≥ 0 ,且π -x ≥ 0 ,即x≥π ,且π≥x ,由 ( )式知x=π ,所以 x -π π -x …     

用“两边夹”定理要注意“恒”字(高二、高三)

数列极限中有著名的“两边夹”定理: 若an≤bn≤cn,且liman=limcn=A,则limbn=A. 由于数列是一种特殊的函数,上述定理可以移植到函数当中: 如果函数f(x)在区间D上满足g(x)≤f(x)≤h(x),且g(x)≤h(x)在区间D上恒成立.若存在x0∈D使g(x0)=h(x0)=A,则f(x0)=A. 不妨将这一命题称为函数中的“两边夹定理”,这个十分简明的结论,在高中数学中有着非常重要的作用,但在具体应用中要注意“恒”成立这一条     

错在哪里

1　安徽五河二中　卜盛淼　(邮编:2 3 3 0 0 0 )题　已知limn→∞( 6an-bn) =7,limn→∞( 3an-4bn) =-1 ,求limn→∞( 3an bn)的值。解　由数列极限四则运算法则得:6limn→∞an-limn→∞bn=7①3limn→∞an-4limn→∞bn=-1②解①②得limn→∞an=2 92 1 ,　limn→∞bn=97,∴limn→∞( 3an bn) =3limn→∞an limn→∞bn=3×2 92 1 97=3 87。解答错了!错在哪里?错在误用极限四则运算法则。本题中并不能明显得出limn→∞an、limn→∞bn 都存在,必须先证明limn→∞an、limn→∞bn都存在,才能用极限四则运算法则。正解　设3an bn=x( 6an-bn) y( 3…     

高等数学(工专)练习

第一部分选择题一、单项选择题(本大题共30小题,每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的,请选出正确选项)(一)每小题1分,共20分1、函数y=24-x√|x|+x的定义域是A.(0,4)B.(-1,3)C.[0,4)D.(0,4]2、若limn→∞2n3+8n-2an3+3n2+2n+1=4,则a= A.4B.1C.3D.123、若limn→+∞yn=2,那么=limn→∞12(yn+yn+1)= A.0B.2C.4D.不存在4、若f(x)在x0处连续,又f(x0)=2,那么limx→x0f(x)= A.1B.0C.3D.25、设数列an为无穷小量,则limn→+∞(3sin2n+4cosn)an= A.7B.1C.0D.∞6、如果数列an满足条件(),那么limn→+∞an一定存在。A.单调B.…     

巧用lim from(n→∞)(a_(n+1))=lim from (n→∞)a_n解题

我们知道 ,由数列极限定义知 :当limn→∞an存在时 ,limn→∞an+1 =limn→∞an.那么这个结论在解题中有什么应用呢 ?例 1　已知limn→∞an 存在 ,且limn→∞2anan+1 + 1 =1 ,求limn→∞an 的值 .分析　设limn→∞an =A .∵　limn→∞2anan+1 + 1 =1 ,∴　2limn→∞anlimn→∞an+1 + 1 =1 ,∵　　limn→∞an+1 =limn→∞an =A ,∴ 2AA + 1 =1 ,解之得A =1 ,即limn→∞an =1 .例 2　数列 xn 满足x1 =a>0 ,xn+1 =12 xn+ axn,若数列 xn 的极限存在且大于0 ,求limn→∞xn 的值 .分析　依题意 ,设limn→∞xn =A >0 ,则limn→∞ xn+1 =limn→∞x…     

求递推数列通项公式的若干方法

1不动点法把方程f(x)=x的根叫做函数f(x)的不动点,方程f(x)=x叫特征方程.(1)对一般的递推数列{an},若f(x)=ax bcx d,an 1=f(an)1当函数f(x)有两个不同的不动点α,β时,令bn=aann--βα,则bn 1=aa--ccβαbn,问题转化为等比数列.2当函数f(x)有一个不动点α,可令bn=1an-α,则bn 1-bn=a-ccα,问题转化为等差数列.(2)设函数f(x)=2xx2 AB有两个不同的不动点x1,x2,且an 1=f(an),则aann 11--xx12=(aann--xx21)2证明:aann 11--xx12=an2 A2an B-x1an2 A2an B-x2=an2-2x1an A-Bx1an2-2x2an A-Bx2因为x1,x2是方程2xx2 AB=x的两根,所以2xx211 …     

2005年全国高中数学联赛四川省初赛

一、选择题(每小题5分,共30分)1.已知正项非常值数列{an}、{bn}满足:an、bn、an+1成等差数列,bn、an+1、bn+1成等比数列.令cn=bn.则下列关于数列{cn}的说法中,正确的是().(A){cn}为等差数列(B){cn}为等比数列(C){cn}的每一项都是奇数(D){cn}的每一项都是偶数2.在△ABC中,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C所对边的边长.若cosA+sinA-2cosB+sinB=0,则a+bc的值是().(A)1(B)2(C)3(D)23.函数f(x)=9x+9-x-2(3x+3-x)的最小值是().(A)1(B)2(C)-3(D)-24.双曲线x2a2-y2b2=1的左焦点为F1,顶点为A1、A2,P是双曲线右支上任意一点.则分别以线段PF1、…     

用恒成立法解2004年全国高考湖北卷压轴题

22题:已知a>0, 数列{an}满足a1=a, an 1=a (1)/(an), n=1,2,.... (Ⅰ) 已知数列{an}的极限存在且大于0,求A=limn→∞an (将A用a表示); (Ⅱ) 设 bn=an-A, n=1, 2, ..., 证明: bn 1=-(bn)/(A(bn A)); (Ⅲ) 若|bn|≤(1)/(2n) 对n=1,2,...都成立,求a的数值范围.     

2003年高考数学模拟试题(四)

第Ⅰ卷 (选择题 ,共 60分 )一、选择题1 .下列函数中 ,在区间 ( 0 ,π2 )上为增函数且以π为周期的是 (　　 ) .A .y =sin x2 　　　　B .y =sin2xC .y=-tanx D .y=-cos2x2 .已知a、b、c是实常数 ,且limn→∞an +cbn-c =2 ,limn→∞bn2 -ccn2 -b =3 ,则limn→∞an2 +ccn2 +a 的值是 (　　 ) .A .6　　B 16　　C 23 　　D 11 23 .已知函数 f(x) =2 x,若a 相似文献   

“两边夹逼＂策略助你突破思维瓶颈

在不等式中有一个显而易见的性质“若口≤x≤a则x=a”,这就是不等式的“两边夹”性质,此性质的一个应用便是数列极限‘的两边夹法则．在解决某些数学问题时,可由题意列出若干个不等式,然后运用夹逼性质“逼”出某个变量的值,从而实现由不等向相等、由变量向常量的转化,这是在不等中寻找相等关系的重要途径．本文通过典型例题浅谈“两边夹逼”策略在突破思维瓶颈成功解题的应用．     

用恒成立法解2004年全国高考湖北卷压轴题

22题 :已知a>0 ,数列 {an}满足a1 =a ,an 1 =a 1an,n =1,2 ,… .(Ⅰ )已知数列 {an}的极限存在且大于0 ,求A =limn→∞an(将A用a表示 ) ;(Ⅱ )设bn =an-A ,n=1,2 ,… ,证明 :bn 1 =-bnA(bn A) ;(Ⅲ )若｜bn｜≤ 12 n 对n=1,2 ,…都成立 ,求a的数值范围 .压轴题第 (Ⅰ )问、第 (Ⅱ )问对多数考生来说 ,乃送分题 ,不取可惜 .第 (Ⅲ )问考查学生灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力 ,具有一定的选拔功能 ,但入口不易 .本文用恒成立法给出本题的一个宽口径解法 .由 (Ⅱ )有b2 n 1 =b2 nA2 (bn A) 2 ,当bn= 0时 ,bn 1 =0 ;当bn …     

关于解析函数极点的几个定理

解析函数g(z)=∞↑∑n=0bnz^n的模最小极点β1满足一定条件时，有limn→∞bn/bn 1＝β1。本文给出解析函数满足一定条件时模最小极点的几个定理。     

等差数列前n项和公式的又一形式及应用

由等差数列的通项公式不难推出如下性质 :若{an}是等差数列 ,am、an、ap、aq 分别是该数列的第m、n、p、q项 ,且m n =p q,则am an=ap aq。又显然 ,1 n =k (n 1 -k) ,故由上述性质可知 :a1 an=ak an 1-k,k∈N ,且k≤n将这一结果代入等差数列前n项和公式中 ,便有Sn=n(a1 an)2 =n(ak an 1-k)2 。等差数列前n项和的这一形式 ,具有非常好的解题功能。下面略举数例说明之。例 1　 ( 1 995年全国高考题 )　等差数列 {an}、{bn}的前n项和分别为Sn 与Tn,若 SnTn=2n3n 1 ,则limn→∞anbn等于 (　　 )(A) 1　　 (B) 6/ 3　　 (C) 23　　 (…     

特征方程与递推数列(高一)

题设f1(x)=2/x 1,而 fn 1(x)=f1[fn(x)],n∈N。记an=fn(2)-1/fn(2) 2,则a99=___. (14届“希望杯”高一1试)若令bn=fn(2),则此题变为:b1=2/3且bn 1=2/bn 1,n∈N,记an=___     

是“巧合”亦“巧解”

题目等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,若(Sn)/(Tn)＝(2n)/(3n+1),则limn→∞(an)/(bn)等于( ).     

夹逼法妙解三角题

<正>这里的所谓夹逼法，即利用a≤b≤a得出a=b的结论.从集合角度理解，若A■B,B■A,则A=B.推广到一般，若a≤f(x)≤a,则f(x)=a.这是一个朴素且自然的结论，但在高中数学的三角形问题中有不少应用，我们经常用它来解决“疑似条件不足”或者“条件是不等式结论是等式”等问题.利用夹逼法可以实现不等关系向等量关系的转化，本文借用它巧解数学题，供同仁参考.题型1 应用三角函数的有界性进行夹逼例1 在△ABC中，     

一道波兰数学竞赛题的推广

2003年波兰数学竞赛有如下一道试题:设p是质数,整数a,b,c满足0相似文献   

关于一个极限函数性质的研究

在本文中,笔者证明了几个函数列的单调收敛性,并给出其极限函数的有趣性质.命题1　当x>0时,函数列{An(x)=x1/2n}单调收敛.证:由于An 1(x)-An(x)=x1/2n 1-x1/2n=x1/2n 11-1x1/2,知当01时,{An(n)}严格递增,且有A2n 1(x)=An(x),limn→∞An(x)=1.命题2　若An(x)=x1/2n,则{Bn(x)=2n(An(x)-1)}递减,{Cn(x)=2n(1-1/An(x))}递增,且两个函数列极限相等.证:由x>0,An(x)>0,A2n(x)=An-1(x),有2An(x)≤A2n(x) 1≤An-1(x) 1,所以2(An(x)-1)≤An-1(x)-1,即2n(An(x)-1)≤2n-1(An-1(x)-1),因此Bn(x)≤Bn-1(x),说明{Bn…     

一个猜想的证明

《数学通报》2004年第3期《对一道不等式习题的再思考》一文中有如下猜想:若an bn=2,a,b∈R,n≥2,n∈N,则a b≤2,ab≤1.证明(1)若a,b中有一个为0时上述猜想显然成立.(2)当a>0且b>0时,由an bn2≥a b2n知a b2n≤1,所有a b≤2.且有ab=anbnn2≤an bn2n2=1.(3)当a<0且b<0时,此时显然有a b≤2.又由an bn=2知n必为偶数,则ab=｜a｜｜b｜=｜a｜n｜b｜nn2≤｜a｜n ｜b｜n2n2=an bn2n2=1.(4)当ab<0时,不妨设a>0,b<0,此时显然ab≤1成立.下证a b≤2,假设a b>2,当n为偶数时,由a b>2知a>2,则an>2n,又bn>0,则an bn>2n>2,这与an bn=2矛盾;当n为奇数时,由a b>…