也谈正多边形的充要条件

文[1]、[2]中分别证明了有关正多边形充要条件的两个定理。 定理1 如果凸n边形A_1A_2…A_n满足: 1°A_1A_2=A_2A_3=…=A_nA_1; 2°∠A_1≥∠A_2≥…≥∠A_n那么A_1A_2…A_n是正n边形。 定理2 如果凸n边形A_1A_2…A_n满足: 1°∠A_1=∠A_2=…=∠A_n; 2°A_1A_2≤A_2A_3≤…≤A_nA_1。那么A_1A_2…A_n是正n边形。     

正多边形对角线长定理及证明

定理经过正n边形(n>3)每一顶点的对角线长L_i=2Rsin i·180°/n,i=1,2,3,…,n-1(包括连结相邻顶点的线段)。证明:正n边形A_1A_2A_3…A_n如图1所示,设半径为R,L_1=A_1A_2=2R sin180°/n; △A_1A_2A_3中,由正弦定理得A_1A_3/sinA_2     

多边形Menelaus定理的若干应用

对于平面几何中著名的Menelaus定理,文[1]曾将它推广到多边形,得到 定理 设n边形A_1A_2A_3…A_n的n条边A_1A_2、A_2A_3、…、A_(n-1)A_n、A_nA_1所在的直线都与直线l相交,交点分别为P_1、P_2、…、P_n(它们都不是已知n边形的顶点),则     

一个三角不等式的推广

一、引言文[1]建立了如下结论：在任意当且仅当△A_1A_2A_3为正三角形时，（1）式取等号．本文将不等式（1）推广为定理在任意凸n边形A_1A_2…_A_n中当且仅当A_1A_2…A_n是等角n边形时（2）式取等号．二、几个引理引理1凸n边形至多有两个内角不超证明用反证法及n边形外角和定理．引理2当n≥3时，关于x的函数族：分别都是增函数．证明引理3证明：不妨设0＜α≤β≤/4，和差化积．引理4当n≥3时，成立不等式递增知（4）（5）成立；当n=3，4，5，6，7时．经验算知（4），（5）也成立．三、定理的证明据引理1及0＜A_1＜π（i＝1，2，…，n）…     

对一类定值问题的探讨

设P为正n边形A_1A_2…A_n外接圆上任意一点,R为这正n边形外接圆半径,则P到各顶点距离平方和为定值2nR~2,即 sum from i=1 to n PA_i~2=2nR~2 (1) 本文试对这一有趣的定值问题作适当引伸,得到一些更一般的结论。定理1 设正n边形A_1A_2…A_n的中心为O,半径为R,P是以O为圆心以r为半径的圆     

与正n边形各边均成等腰三角形的点的个数

1983年省市自治区联合数学竞赛题一、7以选择答案的形式,提出了“在正方形ABCD所在平面上……使△PAB、△PBC、△PCD、△PDA都是等腰三角形”的点的个数问题,重庆市1984年初三数学竞赛提出了求“与正三角形各边均成等腰三角形的点的个数”的问题。上二问题是“与正n边形各边均成等腰三角形的点的个数”的特例。以下,记这种点的个数为P(n)。一,结论一:与正n边形各边均成等腰三角形的点一定在正n边形的对称轴上。证明:设P在正n边形A_1A_2…A_n所在平面上,且与各边成等腰三角形(图一)     

欧拉不等式推广的面积隔离

文[1］将欧拉（Ewler)不等式向双圆n边形（既有外接圆又有内切圆的凸n边形）推广，得到:Rcos≥r(1)近期，文[2］和[3］从“长度”出发，分别给出了不等式（1）的加强形式．本文拟建立它的一种新的面积隔离，即有定理设双圆n边形的面积、外接圆半径、内切圆半径分别为S、R、r，则当且仅当n边形是正n边形时不等式（2取）等号．证如图1，I为双圆n边形A_1A_2…A_n的内切圆圆心，令A_iA(i＋1)之长为a_i(i=1，2，……，n;A_(n l)≡A_1）.考虑到y=ctgx在（0，）上是下凸函数，且，从而由下凸函数的琴生不等式得：因此，有：下面分几种情形来证…     

一道数学竞赛题的推广

1987年上海市中学生数学竞赛中有这样一道试题:[1] 正七边形A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7,内接于单位圆⊙O中,P在OA_1的延长线上,且|OP|=2,则|PA_1|·|PA_2|…|PA_7|等于多少? 下面我们把这道富于思考性的试题推广成: 定理设正n边形A_1A_2A_3…A_n内接于圆x~2+y~2=R~2,P(rcosθ,rsinθ)为平面上任意一点,则|PA_2|·|PA_2|·…·|PA_n|=(r~(2n)-2r~nR~ncosnθ+R~(2n))~(1/2)。     

用数学归纳法推广余弦定理

余弦定理的推广命题如下: 设a_i(i=1,2,…,n)足凸n边形A_1A_2…A_n的n条边,按逆时针方向(或顺时针方向)定向(见图1),而θ_(ij)为边a_i正方向与边a_j的正方向之间的交角。     

一道极值问题的讨论

一、问题: 本文讨论下列问题: (Ⅰ):设P是凸n边形A_1A_2…A_n上(内部或边界上)任一点,x_i是P到A_iA_(i 1)的距离(i=1,2,…,n,A_(n 1)=A_1),求f(p)=x_1 x_2 … x_n的最大值和最小值,并问何时达到最大值和最小值? 二、特例: 先讨论n=3的特殊情形,此时问题(Ⅰ)转化为 (Ⅱ):在△A_1A_2A_3上找一点P,使它到三边距离和为最大、最小。     

Ceva定理的推广

本文得到一般n边形的Ceva定理: 定理1.设A_1A_2…A_n为一个平面内的n边形,O为平面内一点,且O与A_1,A_2,…,A_n中任两点不共线,若A_iO交A_jA_(j+l)(i=1,2,…,n;j≠i,i-I)于B_(ji),则 multiply from i=1 to n[(A_iB_(i.i-k)/B_(i.i-k) A_(i+1))·(A_iB_(i.i+1+k)/B_(i.i+1+k)A_(i+1))]=1, 约定:1.若l∥AB,则认为l与线段AB(或BA)的延长线相交于无穷远点S,且AS=SB,2.若i=mn+p,j=qn+t,m,q∈Z,p,t=1,2,…,n,则B_(ij)=B_(p.t),A_i=A_p。(下同)     

圆内接正多边形一个性质的简证

本刊文[1]证明了关于圆内接正多边形的下述性质:正 n(n≥3)边形外接圆上任一点到该正 n 边形各顶点距离的平方和为2nR~2(其中 R 是外接圆半径).文[1]的证明比较繁复,今简证如下:在平面直角坐标系中,设任意给定的一个正 n 边形A_0A_1A_2…A_(n-1)各顶点的坐标是 A_k(Rcos(2kπ/n),Rsin(2kπ/n))(k=0,1,2,…,n-1)其外接圆上任意取定的一点 P的坐标是 P(Rcosθ,Rsinθ).显然点 P 到正 n 边形各顶点距离的平方和 S 是     

正多边形中的定值问题

定理1 过正n边形A_0A_1A_2…A_(n-1)的中心O任作一直线1与直线A_iA_(i+1)交于B_(i+1)(i=0,1,2,…,n-1,定义A_n=A_0),则sum from i=1 to m(1/OB_i~2)为定值。 证明 直线1一般情况仅能与正n边形A_0A_1A_2…A_(n-1)的两条边相交,而与其它(n-2)条边的延长线相交,不失一般性,我们没直线1与线段A_0A_1的延长线交于B_1(B_1也可以为无穷远点)。 1~0若n为偶数,则可设n=2m(m∈N)。由于正2m边形是以O为对称中心的中心对称图形,我们只要证明sum from i=1 to m(1/OB_i~2)壶为定值就可以了。     

一个关于余切和余割的不等式

定理 P是凸n边形A_1A_2…A_n内一点,记∠PA_iA_(i 1)=α_i,i=1,…,n(A_(n-1)≡A_1),则 sum from i=1 to n(ctgα_i)≥sum from i=1 to n(ctgA_i ncsc(2π/n))。 (1) 证明 由正弦定理,得     

分点为等分参数的椭圆内接n边形的性质

设椭圆的参数方程为 0≤t≤2π。a>b>0。(1)又设A_1A_2…A_n为(1)的内接n边形,其中顶点A_1的坐标为A_i(acost_i,bsint_i),i=1,2,…n,其中t_1任意,t_2=t_1+(2π/n),t_3=t_2+(2π/n),…,t_(n+1)=t_n+(2π/n)(t_(n+1)=t_1+2π)。     

重理解 会应用 讲灵活——关于“多边形内角和”的学习

在研究四边形内角和时,我们作一条对角线将它分成两个三角形,得四边形内角和为2×180°,即360°.由此,进一步启发我们,研究多边形的内角和,也可以过n边形A_1A_2A_3…A_n的一个顶点A_1作对角线A_1A_3,A_1A_4,A_1A_5,…,A_1A_(n-1)(图1),这样共可作(n-3)条对角线,它们将n边形分成(n-2)个三角形,所     

概率问题解法探讨(续)

三全概率公式的运用全概率公式是初等概率论中一个非常有用的基本公式,它是这样叙述的:设A_1,A_2,…,A_n是样本空间Ω的一个分割,即A_1,A_2,…,A_n两两互不相容,且(?)=Ω(即n个事件A_1,     

极坐标法证西摩松线及其推广

本文先给出垂足多边形的定义,然后应用极坐标法对著名的西摩松(Simson)线及其推广进行简捷证明。 一、垂足多边形 由多边形A_1A_2A_3…A_n所在平面上的一点P,向多边形的各边A_1A_2,A_2A_3,…,A_nA_1作垂线,其垂足为B_1、B_2、…、B_n,那么多边形B_1B_2B_3…B_n叫做P点关于多边形A_1A_2A_3…A_n的一阶垂足多边形(或简称垂足多边形)。     

一类环状染色问题的求解与变式应用

<正>一、一个环状染色问题问题用m(m≥2)种不同的颜色,给图1中n(n≥2)个彼此相连的区域A_1,A_2,…,A_n染色,且任何相邻的2个区域染不同的颜色,则不同的染色方案有多少种?解如图1,不妨设符合要求的染色方案为an种,则区域A_1有m种染法,且仅考虑与前一区域相邻关系时,区域A_2,…,A_n各有m-1种染法,n个区域总共有m(m-1)n-1种染法.注意上述染法包括了A_n与A_1染同色或不同色两类:若区域A_n与A_1染同色,则把A_n与A_1合     

一个命题的推广

命题设A_1A_2A_3…A_nA_1为正n边形,R为其外接圆半径,A为外接圆上任一点,记∑=(?)AA_k~(2l),l∈N_+,则∑=nR~(2l)C_(2l)~l.这是师五喜老师提供并证明的一个命题(见文[1]).笔者指出:只有当l相似文献