1996年莫斯科大学入学考试部分数学试题及解答

1.（力学数学系,七月）解不等式 (17.9x-4x)~(1/2)≥3x-3·2x 2.（力学数学系,五月）求不等式 (x~2-5x-3)~(1/2)≤6-x　 3. （力学数学系,七月）解混合组 log_2sinx-log_2 2y |log_2cosx-log_2 2y|=2 (x-π/4)~2 1/(2y~2)≤1 4.（力学数学系,三月）α为何值时,方程2cos_2 (2~(2x-x~2))=a 3~(1/2)sin(2~(2x-x~2 1))至少有一解?     

一道不等式题的微分证法

在不少的数学刊物中刊登了对求证:n~(n 1)>(n 1)~n(3≤n∈N)这道不等式题的证明,而多数采用的是数学归纳法或二项式定理给予证明的。其实用微分中的导数的性质来证明此题也较为简单。思考:要证明n~(n 1)>(n 1)~n成立,变形为n~(1/n)>(n 1)~(1/(n 1)),由此可以看出只要证明函数f(x)=x~(1/x)(x≥3)为减函数,此题就迎刃而解了。证明:设 f(x)=x~(1/x)(x≥3) 则 f′(x)=(x~(1/x))′=(e~(1/xlnx))′ =e~(1/xlnx)·(1-lnx)/x~2。     

一道不等式的推广及证明

高中代数有这样一道不等式:题 求证 2~(1/2) 7~(1/7)<3~(1/3) 6~(1/6).对此不等式我们注意到高中代数有这样一道不等式:题 求证2~(1/2) 7~(1/7)<3~(1/3) 6~(1/6).对此不等式我们注意到2 7=3 6,7-6=3-2.所以,我们拟将不等式推广为:题 对任意正实数m,有:(x-m)~(1/(x-m)) (x n)~(1/(x n))<(x-m 1)~(1/(x-m 1)) (x n-1)~(1/(x n-1))(x>m,n>1-m).证明 构造如图Rt△ABC和     

二元方程定解例说

我们知道,一个二元一次不定方程在一般情况下,其解有无数多组,然而有些二元方程,只要我们充分注意挖掘方程自身的隐含条件,或题中给出的附加条件,抓住未知数的特殊性,是能求得其定解的。本文列举初中数学竞赛题予以说明。例1 已知x,y为实数,且x~2+2x+2y-6y+10=0,则log_2(y-x)·log_2(y+x)=__(86,无锡)。解:原方程化为(x+1)~2+(y-3)~2=0,利用非负数的性质,可得x=-1,y=3。∴log_2(y-x)·log_2(y+x)=log_24     

构造一次函数解证不等式问题

构造一次函数解证不等式是一种行之有效的方法.下面举例说明,希望对大家能够有所启迪.一、求参数范围例1函数y=(x-1)log_3~2a-6(log_3a)x+x+1,其中x∈[0,1]时,函数值恒为正,求a     

一点看法

喜读贵刊84(2)期《1983年广西高考预选数学试题》及其解答,颇受教益。但觉(文史类)第六题的解答不妥。试述如下,与同志们共研讨。一、现将第六题抄写如下: 6.一矩形的两边分别为tg(x/2)和(1 cosx),又x的取值范围适合不等式log_(1/2)|x-π/2|≥log_(1/2)π/3。试讨论矩形面积S(x)的单调性。并求其面积S(x)的极值。解:∵log_(1/2)|x-π/2|≥log_(1/2)π/3,∴|x-π/2|≤π/3     

等比数列求和公式的逆用

一、逆用等比数列前n项和的公式 a a_1q a_1q~2 …a_1q~(n-1)=a_1(1-q~n)/(1-q) (q≠1) 例1 求证2~n>2n 1(n∈N,且n≥3).(高中《代数》下册第125页第6(1)题) 证明:2~n=((1-2)~n/1-2) 1 =(1 2 2~2 … 2~n) 1 >(2 2 2 … 2) 1=2n 1. 读者类似可证相同教材第123页例5. 已知x>-1,且x≠0,n∈N,且n≥2, 求证(1 x)~n>1 nx. 二、逆用无穷递缩等比数列各项和的公式     

一类三角数列的前n项和的分项求法

对于一个数列{a_n}、若它的通项可以分成某一新数列的相邻两项的差,而a_n=b_(n 1)-b_n或a_n=b_n-b_(n 1)(n=1,2,…),则容易求得其前n项和 S_n=b_(n 1)-b_1或S_n=b_1-b_(n 1), [例1] 现行高中课本代数第二册第79页28题: 用数学归纳法证明: 1/2tgx 1/2~2tg(x/2~2) … 1/2~ntg(x/2~n)=1/2~nctg(x/2~n)-ctgx(x≠kπ、k∈Z) 分析:等式左边是数列{1/2~ntg(x/2~n)}的前n项和S_n,下面用分项求和法求S_n。解:设a_n=1/2~ntg(x/2~n),则由三角学中的公式得。     

解无理不等式怎样避免讨论(高二、高三)

解无理不等式是一种常见题型,也是一个难点,其中的分类讨论更是难中之难.但仔细研究就会发现,某些题并不一定要讨论.本文介绍常用的避免分类讨论的方法. 1.图象法 例1 解不等式2-|x|<(x 3)~(1/2). 若按常规解法,则要对2-|x|分成三种情况来讨论.下面作图象来解. 解 令y1=2-|x|,y2=(x 3)~(1/2),     

利用函数的单调性巧解方程

有些方程用常规方法解答很困难,若将方程问题转化成函数问题,利用函数的单调性来解决,会使方程巧妙获解。 例1 已知n∈N,求方程(1 x)~(2n) (1-x)~(2n)=4~n的解. 解 将原方程化为 (1 x)/2))~(2n) (1-x)/2))~(2n)=1 (1)当-1相似文献   

不等式复习指要

一、主要内容 比较大小,不等式的证明,不等式的解法,不等式的应用,函数、数列等数学分支内容与不等式的综合问题,如: 示例1 (’95全国高考题)解不等式 (1/3)~(x~2-8)>3~(-2x) 说明:解不等式是每年必考的热点之一。 示例2 (’94全国高考题)已知函数f(x)=tgx(x∈R~ ),若x_1,x_2∈R~ ,判断与f(x_1 x_2/2)的大小,并加以证明。 说明:此题属于比较大小这一内容,几何背景涉及凹凸函数的性质。 示例3 (’95全国高考题)设{a_n}是由正数组成的等比数列,S_n表示其前n项的和,证明:1/2(lgS_n lgS_(n 2))相似文献   

一个整除问题的精巧证明

在中学数学中,有一道出现频率较高的习题:题证明(3+5~(1/2))~n+(3-5~(1/2))~n能被2~n整除(n∈N) 一般证法是利用第二数学归纳法来证明的,其证明较繁,下面利用费波那契数列通项公式给出它的一个精巧证明。证 [(3+5~(1/2))~n+(3-5~(1/2))~n]/2~2=((3+5~(1/2))/2)~n+((3-5~(1/2))/2)~n=((1+5~(1/2))/2)~2n+((1-5~(1/2))/2)~2n=[((1+5~(1/2))/2)~n-((1-5~(1/2))/2)~n]~2+2(-1)~n     

恒不等式中参数范围的求法

不等式恒成立时的参数取值范围问题,涉及的变量多,综合性强,对能力的要求较高,是高考的热点之一.本文例说这类问题的解题策略.一、利用一次函数的性质例1 对任意 x∈[1,10]不等式(lgx—1)log_α~2b 6lgx·log_αb lgx 1>0恒成立.求 b 的取值范围.解原不等式化为     

“用定义解题”能力的调查及情况分析

不少数学题如果能恰当、准确地利用“某定义”求解,将得到简捷的解答. 例如:解不等式log_5(1 /x~(1/2))>log_(16)x. 显然不等式至少需x>0这个条件.不妨设log_(16)x=y,则x=16~y,不等式化为     

“(8 3(7)~(1/2))~n的整数部分是奇数”的另一个更简单证明

读中学教研1990.11期P.33“(8 3(7~(1/2)))~n的整数部分是奇数”的一个简单证明后,觉得另有一种证法似更简单,证法如下: 证:设A_n=(8 3 7~(1/2))~n (8-3 7~(1/2))~n建立以8 3 7~(1/2),8-3 7~(1/2)为二根的一元二次方程。x~2-16x 1=0,∴(8 3 7~(1/2))~(n 2)-16(8 3 7~(1/2))~(n 1) (8 3 7~(1/2))~n=     

不等式复习中的两大联系

不等式是高中数学的重要内容 ,它作为一种工具渗透在许多方面 ,由于学习知识的顺序 ,使得我们对它们相互之间的联系不够重视 ,而在复习中我们就应该注意它和其他知识的交叉 .本文让我们一起来观察和体验一下 ,不等式和数列及抽象函数的联系 .1　不等式和数列1.1　数列和解不等式的渗透例 1　解关于x的不等式 :logax-4loga2 x+12loga3 x+… +n( -2 ) n-1 loganx >1-( -2 ) n3 loga(x2 -a) ,其中a >1,n为正整数 .分析　这是一个解不等式的问题 ,但这中间又穿插着数列求和的概念 ,要想解出这个不等式 ,首先要把不等式左边的和求出来 .而左边的…     

三步法解不等式

中学阶段所要解的不等式,除有理不等式外,还有无理不等式,指数、对数不等式等。解法一般是根据具体情况,写出同解组,归结为解有理不等式。但我们也可以根据初等函数在它们的定义区间上是连续的;在区间(α,b)上连续的函数,函数值在(α,b)上处处不为零,那么在(α,b)上函数值有相同的符号。将各种不等式统一分三步求解。下面通过解不等式 (3x+7)~(1/2)-x-1>0,(1)来详细说明方法: 解:1)求定义域(使不等式两端都有意义的文字x的取值集合)易见为:x≥-7/3 。把定义域在数轴上表示出来。 2)解对应方程:(3x+7)~(1/2)-x-1=0,得x_1=3,x_2=-2,经     

一道组合恒等式习题证法的启示

高中数学第三册第160页题23(1)是一道在证明方法上很有启发性的复习题。这道题启示我们利用(1+x)~n·(1+x)~n=(1+x)~(2n)来证明组合恒等式(C_n~0)~2+(C_n~1)~2+…+(C_n~n)~2=(2n)!/n!·n!①事实上,恒等多项式     

一个整除问题的再推广

命题一 (3 5~(1/2))~n (3-5~(1/2))~n能被2~n整除(n∈N) 这是中学数学中一道十份常见的题目,《数学教学通讯》1992年第4期吴跃生老师给出了命题一的推广,即命题二 [2((1 5~(1/2))/2)~(2k-1)]~n [2((1-5~(1/2))/2)~(2k-1)]~n能被2~n整除(n∈N,k∈n) 而[2((1 5(1/2)/2))~(2k-1)]~n [2((1-5(1/2)/2))~(2k-1)]~n=2~n[((1 5(1/2)/2))~(2~(k-1)n) [2(((1-5(1/2)/2))~(2~(k-1)n],于是命题二等价于命题三 ((1 5(1/2)/2))~(2~(k-1)n) ((1-5(1/2)/2))~(2~(k-1)n)是整数(n∈N,k∈N),事实上,命题三可以进一步推广成     

贝努利不等式的应用

若n∈N,n>1,则(1 x)~n≥1 nx. 其中等号当且仅当x=0时成立. 这就是著名的贝努利不等式.高中《代数》下册第123页用数学归纳法给出了它的证明,但未介绍它的应用.本文兹举几例,供教学时参考. 例1若x_i>-1,(i 1,2,…,n),n∈N,且x_1 x_2 … x_n=0,求证 (1 x_1)~n (1 x_2)~n … (1 x_n)~n≥n. 证明:当n=1时,等号显然成立. 当n>1时,由贝努利不等式知(1 x_1)~n (1 x_2)~n … (1 x_n)~n≥(1 nx_1) (1 nx_2) … (1 nx_n)=n n(x_1 x_2 … x_n)=n.