一道双变量“存在性或任意性”问题的深层次探究

<正>问题已知函数f(x)=x+4/x,g(x)=2x+a．若?x₁∈[1/2,1]，?x₂∈[2,3]，使f(x₁)≥g(x₂)恒成立，求实数a的取值范围．解当x∈[1/2,]1时，f’(x)=1-4/x²<0,f(x)单调减，可得f(x)在[1/2,1]的最小值f(x)_min=f(1)=5．又g(x)=2^x+a单调增，故g(x)在[2,3]的最大值g(x)_max=g(3)=8+a．     

函数奇偶性的十大解题功能

奇偶性是函数的重要性质之一,应用广泛,是高考和数学竞赛命题的热点,灵活运用它可使许多难题迎刃而解.现将函数奇偶性的应用归纳如下,以供同学们复习时参考.一、求函数的值例1若函数f(x)与g(x)定义在R上,且f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y),f(-2)=f(1)≠0,求g(1)+g(-1)的值.解f(y-x)=f(y)g(x)-g(y)f(x)=-f(x-y),所以f(x)是奇函数.令x=-1,y=1,则f(-2)=f(-1-1)=f(-1)g(1)-g(-1)f(1)=-f(1)g(1)-g(-1)f(1)=-f(1)[g(1)+g(-1)].∵f(-2)=f(1)≠0,∴g(1)+g(-1)=-1.二、求参量的值例2若关于x的方程arctan(1-x)+arctan(1+x)=a有唯一解,求a的值.解令f(x)=arct…     

导数用于证明不等式

导数是近些年来高中课程加入的新内容,是一元微分学的核心部分．本文就谈谈导数在一元不等式中的应用．例1已知x∈(0,π/2),求证：sinx＜x＜tanx．证明构造函数f(x)=x-sinx,g(x)=tanx-x,x∈(0,π/2),则f′(x)=1-cosx＞0,g′(x)=sec~2x-1＞0．所以f(x),g(x)在(0,π/2)内是单调递增函数,     

教学难点的阶梯式处理

先来看一个例子：已知f(2x 1)=x^2-2x，求函数y=f(x)的表达式．像这类“已知复合函数f[g(x)]和g(x)的表达式，求f(x)”的习题，在高中数学教学中是十分常见的．这类题的一般处理方法是：令t=2x 1，则x=t-1/2，代入原式即得f(x)的表达式．这种解法对于初学者来说是难以理解的，     

简析运用赋值法证一类不等式问题

引例 已知a，b，c∈R，f（x)=ax^2 bx C，g(x)=ax b，当|x|≤1时，|f(x)|≤1，求证当|x|≤1时，|g(x)|≤2．     

两个方程根之间的关系及其推论

设函数y=f(x),y=g(x)的反函数分别为:y=f~(-1)(x),y=g~(-1)(x).记方程f(x)=g(x)及f~(-1)(x)=g~(-1)(x)的根分别为α、β.若F(x)=f(x)-g(x)是单调函数,则有β=f(α)=g(α).     

关于循环差集的一个存在性定理

本文介绍了一个循环差集的存在性定理．主要结果是：设f(x)是域F2^d=L上一个置换多项式，如果f(x)是一个几乎完全非线性函数，则Im△f(x)是L^ =L＼{0}中一个循环差集当且仅当对任意a(≠0，1)∈Fq，|Sa|=q=2^m．这里，Sa={(x，y)|△f(x) a△f(y)=0}．△f(x)=f(x 1) f(x)|Sa|表示集合Sa的元素个数，作为应用，证明了在一定条件下，对f(x)=x^3。和f(x)=x^5，Im△f(x)是L^ 中一个循环差集．     

“希望杯”中的创新题8则(高一)

1.对于函数f(x)与g(x),规定:当f(x)≤g(x)时,f(x)※g(x)=f(x);当f(x)>g(x)时,f(x)※g(x)=g(x).已知f(x)=3-x,g(x)=(2x 5)(1/2),求f(x)※g(x)的最大值. (第8届97年高一2试) 2.在xoy平面内,如果一条直线上只有一     

北京师范大学附属实验中学原创试题(中)

1.设定义域为R的函烽f(x)、g(x)的反函数分别为p(x)、q(x)，并且函数f(x 1)和q(x-2)的图像关于直线y=x对称，若g(5)=2002，那么f(6)=______。     

巧解两类无理方程

命题1 设f(x)-g(x)=R(x)-S(x)=常数≠0,则方程(f(x))~(1/2) (g(x))~(1/2)=(R(x))~(1/2) (S(x))~(1/2)或(f(x))~(1/2)-(g(x))~(1/2)=(R(x))~(1/2)-(S(x))~(1/2)有实根的必要条件是f(x)=R(x)(或g(x)=S(x))命题2 设f(x)-g(x)=R(x)-S(x)=t（x）则方程(f(x))~(1/2) (g(x))~(1/2)=(R(x))~(1/2) (S(x))~(1/2)或(f(x))~(1/2)-(g(x))~(1/2)=(R(x))~(1/2)-(S(x))~(1/2)有实根的必要条件是t(x)=0或f(x)=R(x)(或g(x)=S(x)).证明 两个原方程(f(x))~(1/2)±(g(x))~(1/2)=(R(x))~(1/2)±(S(x))~(1/2)化为f(x)-g(x)/(f(x)~(1/2)±(g(x))~(1/2)=R(x)-S(x)/(R(x))~(1/2)±(S(x))~(1/2)     

函数解析式求解面面观

一、直接法例1已知f(x)=x2(x≥0)x(x<0),g(x)=x(x≥0)-x2(x<0),则x<0时,f[g(x)]为()(A)-x(B)-x2(C)x(D)x2解:当x<0时,g(x)=-x2<0,所以f[g(x)]=g(x)=-x2,选(B).求复合函数的解析式,先求内层函数,再求外层函数,另外,分段函数要注意变量的范围.二、换元法例2已知f(1-cosx)=sin2x,求f(x).解:令1-cosx=t则cosx=1-t,-1≤1-t≤1,所以0≤t≤2.所以f(t)=1-(1-t)2=-t2+2t(0≤t≤2)所以f(x)=-x2+2x(0≤x≤2)三、配方法例3f(x-1x)=x2+x12.求f(x).解:f(x-1x)=x2+x12=(x-1x)2+2,所以f(x)=x2+2.四、待定系数法例4已知f(x)=3x-1,f[h(x)]=g(x)=2x+3,h(x)为x…     

第四届中国东南地区数学奥林匹克 第二天

(2007年7月28日,8:00-12:00,浙江镇海)五、设函数f(x)满足:f(x 1)?f(x)=2x 1(x∈R),且当x∈[0,1]时有f(x)≤1.证明当x∈R时,有f(x)≤2 x2(金蒙伟供题)证:令g(x)=f(x)?x2,则g(x 1)?g(x)=f(x 1)?f(x)?(x 1)2 x2=0,所以g(x)是R上以1为周期的周期函数;又由条件当x∈[0,1]时有f(x)≤     

赏析一道平民化的压轴题——对2007年江苏卷21题的评析

题(2007年高考江苏第21题)已知a,b,c,d是不全为0的实数,函数f(x)=bx2 cx d,g(x)=ax3 bx2 cx d,方程f(x)=0有实根,且f(x)=0的实数根都是g(f(x))=0的根;相反,g(f(x))=0的实数根都是f(x)=0的根.(1)求d的值;(2)若a=0,求c的取值范围.(3)若a=1,f(1)=0,求c的取值范围.本题主要考查函数     

用导数探讨图象交点

导数的知识可用来研究函数图象的交点．下面以06年的三则高考题说明．例1已知函数f(x)=-x~2 8x,g(x)=61nx m．(1)求f(x)在区间[t,t 1]上的最大值h(t)；(2)是否存在实数m,使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交     

用逻辑纠正一道题的解答

<正>题目：已知函数f(x)=log₂x.(1)设g(x)=f(■)·f(2x),求函数g(x)的值域;(2)若不等式f(k·2^x)≥f(4^x-k)在区间[1,2]有解,求实数k的取值范围．这是一道高一期末考试题,命题者提供的解答如下：(1)易得值域为-4,[+∞)(具体过程略)解．     

多项式最大公因式的一种求法

要求f(x)与g(x)的最大公因式,只需构造出一个φ: 有(f(x),g(x))—(k(x),0)=k(x) 关键是在某个φ作用下求出k(x)令:f(x)=a_nx~n a_(n-1)x~(n-1) … a_0 (a_n≠0) g(x)=b_mx~m b_(m-1)x~(m-1) … b_0 (b_m≠0)     

怎样证明函数图象恒过定点

1 直线或曲线恒过定点的理论依据 1.1 由"f1(x,y) g(m)·f2(x,y)=0"求定点 在平面上如果已知两条曲线(包括直线)C1:f1(x,y)=0与C2:f2(x,y)=0相交,则f1(x,y) g(m)f2(x,y)=0的图象过C1,C2的交点.     

对一道高考试题的商榷和另解

2007年江苏卷最后一道(第21)题:已知a、b、c、d是不全为零的实数,函数f(x)=bx~2 cx d,g(x)=ax~3 bx~2 cx d,方程f(x)=0的实根都是g[f(x)]=0的根;反之,g[f(x)]=0的实根都是f(x)=0的根.(1)求d的值;(2)若a=0,求c的取值范围;(3)若a=1,f(1)=0,求c的取值范围.     

f'(-x)究竟表示什么

1.引例f(x)和g(x)是定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)的可导奇函数和偶函数,当x<0时,f'(x)g(x)+f(x)g'x)>0,且g(-3)=0,解不等式.f(x)g(x)<0.分析:f'(x)g(x)+f(x)g'(x)是函数h(x)=f(x)g(x)的导数,据此可知h(x)在(-∞,0)上单调递增.由题意,h(x)为奇函数.又g(-3)=0,     

七类求函数解析式的常用方法

一、拼凑法形如f[h(x)]=g(x)的结构,通过对g(x)进行观察、分析、变形,转化为关于h(x)的多项式,用x替换h(x)即得函数的解析式.例1已知函数f(x)满足:f(x-x1)=x2+x12,求f(x).解∵f(x-x1)=x2+x12=(x-1x)2+2,∴设x-x1=t,则有f(t)=t2+2.∴f(x)=x2+2.二、换元法形如f[h(x)]=g(x)的结构,可设h(x)=t,解出x,代入g(x)进行换元来解,以达到求f(x)的目的.例2已知f(11+-xx)=x(x≠-1),求f(x).解设1-x1+x=t,则x=11+-tt.∵f(t)=11+-tt,∴f(x)=11-+xx(x≠-1).三、待定系数法在求一个函数时,如果知道这个函数的一般形式,可先把所求函数写成一般形式,其中系数待定…