基于“问题解决”的一次数学探究性学习

以残缺椭圆为背景,围绕问题解决,开展数学探究学习．学生通过自主寻找解决问题的新工具、新方法,发现了解析几何一些经典的结论（如椭圆中的类垂径定理、类圆周角定理等）,实现了“再创造”．     

与椭圆的“类准线”有关的三个最值问题

准线是圆锥曲线的一条重要的特征线．对于椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）,x=a^2/c就是其一条准线,文[1]探讨了椭圆的另一条直线x=a^2/m（m〉0）的性质,得到了一些有意义的结论,该直线称为椭圆的“类准线”（当m—c时直线即为准线）．经过研究,我们发现了与椭圆“类准线”有关的三个最值问题,现用定理形式叙述如下．     

类比法探究椭圆的性质

众所周知，当椭圆的长轴与短轴长度无限接近时，椭圆就近似于圆，而圆中一些定理在解决平面几何问题中都很重要，这些定理能否推广到椭圆中呢？相关定理的结论将会是什么呢？     

再论椭圆的同心圆

数学通报1989年第一期所载《椭圆与它的同心圆》一文,证明了如下的定理四边形 ABCD为某椭圆的内接矩形的充要条件是这四介顶点为该椭圆与它的某个同心圆的交点。该文给出的证明须借助一个引理、且计算繁难、过程冗长,定理及引理的证明共花去了近两个版面的篇幅。本文给出上述定理的一个简短而浅显的证明。充分性:设A、B、C、D为椭圆K与它的同心圆R的四个交点,MN为椭圆K的长轴。∵MN过圆心O,     

用参数方程解可能好些

文[1】介绍了下列定理：定理1椭圆b^2x^2＋a^2y^2=a^2b^2（a〉b〉0）上一定点A（x0，y0）（点A不是椭圆顶点）作两条直线分别交椭圆于E、F两点，     

椭圆中的“圆幂定理”

关于圆的性质在椭圆中一般不会成立.但在特别条件下,也可能得到保留,通过椭圆性质的探索过程,对问题研究逐渐深化和拓展,有利于激发学习者的兴趣.尤其是合理地运用几何直观去推测,或是出于直觉,或是通过归纳和类比,体现了一种自然思考的过程,从而得到在椭圆中像圆一样有相交弦定理、切割线定理及割线定理等性质成立的条件.     

例谈圆锥曲线中的“焦点三角形”及相关计算

一个顶点在椭圆(双曲线)上,另两个顶点为椭圆(双曲线)焦点的三角形叫椭圆(双曲线)的焦点三角形.与焦点三角形有关的问题可以综合地考查三角形中的正(余)弦定理、内角和定理、面积公式及圆锥曲线的定义和标准方程等知识,因此很有必要对椭圆(双曲线)的焦点三角形进行系统地研究.     

对椭圆焦点弦四边形面积最值的两点补充

文[1]结合两道高考题定义了“椭圆焦点弦四边形”,进而提出并证明了两个定理．其中定理2如果椭圆的长半轴为a,短半轴为b,那么两条焦点弦所在直线的斜率之积为定值－m（m≥1）的椭圆的焦点弦四边形面积有最小值,     

圆锥曲线内接三角形一个性质的引伸

本刊2002(4)文[1]把文[2]的有两边与轴夹等角的椭圆内接三角形的性质(即文[1]的“定理”)移植到抛物线、双曲线(即文[1]的定理1、定理2),这三个定理揭示了椭圆、双曲线、抛物线的一个共性,读后颇受启发.本文把这一共性加以综合、引伸.并给出上述三个定理的一个简捷的统一证明. 我们把椭圆、双曲线、抛物线统一为圆锥曲线Г:f(x,y)=Ax2 Cy2 Dx Ey F=0.把文[1]的三个定理综合为. 定理设△ABC内接于圆锥曲线Г:f(x,y)=Ax2 Cy2 Dx Ey F=0,其两边AB、AC与Г的对称轴夹等角的充要条     

焦点三角形内心和旁心轨迹

14 最近笔者对椭圆和双曲线作了些研究,得到两个重要的有趣的结论,现说明如下. 定义 以椭圆或双曲线上的一点和两个焦点组成的三角形叫做焦点三角形. 定理1 椭圆焦点三角形的内心轨迹仍为椭圆,且此椭圆与原椭圆的长轴之比为e,短轴之比为/(1)ee (e是原椭圆的离心率). 证明 不妨设椭圆方程为22221xyab =(a 0)b>>,P是椭圆上任一点,E、F是左、右焦点,c、e是半焦距和离心率,(,)Axy是△PEF的内心,PA交x轴于点B,如下图,由三角形内角平分线性质定理知 ||||||||||||BAEBFBAPEPFP== ||||2||||2EBFBcePEPFa === . 由定比分点公式知 ABPAy…     

有心圆锥曲线切线“类准线”的一个性质

笔者通过对圆锥曲线研究,发现有心圆锥曲线切线"类准线"的一个性质.定理1如图1,设点P是椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,M1(-m,0)、M2(m,0)(m≠0,m≠a)是x轴上的两点,椭圆在点     

以蝴蝶定理为背景命制试题

本文利用极点、极线理论证明了蝴蝶定理在椭圆、双曲线和抛物线中也成立,并由此根据蝴蝶定理命制了原创试题,剖析一类试题的命制背景.     

非线性椭圆特征值问题多解的存在性

利用三个临界点定理讨论了散度形式的非线性椭圆特征值问题的多个弱解的存在性,这种方法也适用于其他一些非线性椭圆方程.     

椭圆中的坎比定理

文[1]提出了平面几何中著名的蝴蝶定理在椭圆中推广的形式．我们知道将蝴蝶定理推广便得：     

椭圆"类准线"上点的几个性质

文[1]介绍了如下两个定理： 定理1 设A,B是椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）的左右顶点,P是椭圆准线x=±a^2/c上的动点,∠APB=θ,椭圆离心率是e,则θ为锐角且sinθ≤e（当且仅当点P到椭圆长轴的距离为b/c时取等号）．     

有心二次曲线的又一性质

定理1椭圆的中心为0,长半轴为口,短半轴为b,直线l交椭圆于P、Q,0到l的距离为d,     

有心二次曲线的一个有趣结论

圆作为二次曲线的特殊图形,具有切割弦这个优美的定理,那么椭圆、双曲线是否有相似结论呢？笔者通过研究得出椭圆、双曲线的一个有趣结论.     

一个有趣定值的再探究

文[1]给出了椭圆及双曲线的一个有趣定值，并给出如下定理： 定理设l是椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）的准线，A，B为椭圆的左、右顶点，E，F是椭圆的左右焦点，P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线PA，PB交l于M，N两点，则EM^→·FN^→=2b^2（定值）．[第一段]     

关于圆锥曲线统一性质的进一步学习

通过对圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)统一性质的学习,发现还可推出一些共同的性质,现用定理的形式叙述并证明如下. 定理1:F为椭圆(或抛物线)的焦点,l为椭圆(或抛物线)的与F对应的准线,如果椭圆(或抛物线)的弦NM延长后交l于K,那么,FK平分FM与FN夹角的外角.     

判定直线与椭圆、双曲线位置关系的一种几何方法

文[1]曾介绍了判定直线与椭圆、双曲线位置关系的两个重要结论: 定理1直线上一点到椭圆两焦点的距离之和的最小值(1)小于长轴长则直线与椭圆相交;(2)等于长轴长则直线与椭圆相切;(3)大于长轴长则直线与椭圆相离.