巧构"一般系",妙解向量问题

向量是新教材中增加的教学内容,有关向量的概念、公式较多,学生在应用时往往思路不清、不得要领而舍简求繁.其实向量的应用题绝大部分集中在求长度、角度,证平行(含共线)、垂直4种类型上,如果能够建立直角坐标系,则平面上任意向量都可以用坐标表示,即a=xi yj=(x,y),就能把几何问题转化为纯计算的代数问题,而对无坐标系或不适合建坐标系的题目,学生往往感到无从下手,甚至硬要作出辅助线,建立坐标系,把简单的问题搞得很复杂.     

斜坐标系下向量（点）坐标、直线方程及相关性质

我们知道,在平面直角坐标系下,向量（点）可用坐标来表示,而直线可用方程来表示,但在平面斜坐标系（x轴与y轴不垂直）下,它们是否也能表示？又该如何表示？本文拟就上述问题进行探析,推出相关性质,并例说其应用.一、斜坐标系下向量（点）的坐标如图1,以平面内任意两个不共线向量OA、OB所在的直线为x轴、y轴,建立斜坐     

构建仿射坐标系解题

直角坐标系和斜角坐标系统称为仿射坐标系,直角坐标系是仿射坐标系的特例,斜角坐标系是直角坐标系的类比推广．本文通过类比直角坐标系下点的坐标、向量坐标、直线方程等有关知识,构建仿射坐标系解决向量共线、向量线性表示以及线性规划等有关问题．     

向量坐标运算公式的推广

在直角坐标系中向量坐标运算公式的基础上,利用线性变换,把仿射坐标系中的问题转换为直角坐标系中的问题,给出了在一般仿射坐标系下的向量坐标运算公式,使一般仿射坐标系中有关长度、角度等问题的计算以及平行与垂直等问题的讨论变得方便简捷.     

平面向量中三点共线性质的一个推广与应用

本文给出平面向量三点共线性质的一个推广性质,并例说其应用. 性质 已知向量(→OA),(→OB)不共线,且(→OC)=m (→OA)+n (→OB)(m,n∈R),则A,B,C三点共线的充要条件是m+n=1. 此性质称为平面向量中的三点共线性质,它是解决平面向量中有关三点共线、两向量共线等问题的常用性质.然而笔者发现,学生在运用其充分性(即由m+n=1(=)A,B,C三点共线)进行解题时,对于m+n=1的情形一般能较好的理解并掌握,而对m+n≠1的情形往往束手无策.是否当m+n≠1时就不能运用该性质进行解题了呢?本文即对此问题进行探究:给出一个推广性质,然后例说其应用.     

平面向量等和线及其应用

平面向量问题是高考的热点,由于向量和实数运算的类似,导致不少学生对向量问题掌握不好.其中平面向量三点共线问题在高考和模拟题中经常出现,本文主要介绍平面向量的等和线及其应用.首先给出大家熟知的平面向量的三点共线定理:三点共线定理在平面中A、B、P三点共线的充要条件是:对于该平面内任意一点O.     

妙用向量解立体几何题

以往在中学 ,解几何问题一般用几何方法 ,如今 ,向量在中学数学中的应用越来越广泛 .用向量知识解立体几何题 ,可以很容易解决平面或空间中的共线、平行、垂直、夹角、长度等问题 .用向量法解立体几何题 ,一般的做法是在平面上确定两个不共线的向量作为基向量 ,在空间确定三个不共面的向量作为基向量 ,然后把平面或空间的任一向量均用基向量表示 .例 1　 (第十一届“希望杯”数学邀请赛 )如图1 ,已知正三棱柱ＡＢＣ -Ａ1 Ｂ1 Ｃ1的所有棱长都相等 ,Ｄ是ＡＡ1 的中点 ,求ＢＣ1 与ＣＤ所成的角 .分析　本题所求的是异面直线所成的角 ,而向量的…     

三点共线问题的向量解法

共线问题是初等几何中常见的题型,在解决这类问题时,往往会想到利用解析法或利用平面几何中的一些重要定理(如:梅涅劳斯定理、塞瓦定理),但往往使人感到困难;若用平面向量来解决有关三点共线问题,不仅能够把复杂的几何推理转化为简单的代数运算,还可以使复杂的证明变得简单有序,收到避繁就简,化难为易,事半功倍之功效.下面通过若干例题谈谈如何利用平面向量的方法来解决有关三点共线的问题.已知A、B∈l,O?l,OuuCur=αOuuAur βOuuBur(α、β∈R),则A、B、C三点共线的充要条件是α β=1.证明必要性:设A、B、C三点共线,则uAuBur与uAuC…     

斜角坐标系及其在解题中的应用

1.相关概念及性质平面笛卡儿直角坐标系的概念是众所周知的,它的应用之广泛,也为常人了解.在平面上建立直角坐标系,无非是把平面上的点和实数对建立一一对应关系.但直角坐标系不是实现这个目的的唯一途径.事实上,还有一种比笛卡儿直角坐标系更一般的坐标系即斜角坐标系,下面给出其概念与性质.     

一个平面向量数量积的简化公式

平面向量的数量积问题是多年来高考的热点,每年的各种高考模拟题、高考真题中都有此类似的题型.它们有一个共同的特征,就是题中涉及的两个平面向量直接求数量积一般比较困难,所以其求数量积的解法一般可以分为两种思路:一是利用平面向量的基本定理转化来优化计算;二是通过建立坐标系,用平面向量的坐标运算来解决.本文就针对求平面向量数量积的一类问题,提出自己的简化公式,     

对共线向量与共面向量的教学反思

在教学过程中,发现学生对向量共线与共面的理解、判定及应用等方面存在一定的困难,究其原因就是对共线向量与共面向量的定理及推论把握不准确,回顾这节内容,发现有许多地方值得我们去好好地反思.1对共线向量定理的反思共线向量定理:对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件     

利用三点共线定理中参数的几何意义解题

<正>平面向量是连接代数和几何的桥梁,用向量知识常常能方便地解决一些几何问题.三点共线定理是其中常用的解题工具,一般的三点共线定理仅仅是使用相关的系数和为1来解题,然而利用本文所介绍的具有几何意义的三点共线定理就能够扩大定理的适用范围.下面举例说明.一、两个常用定理定理1 如图1,在同一平面内,若A,B,C三点共线,则对不同于这三点的任意点P,     

巧用三点共线的等价条件解题

<正>想要知道三点共线的等价条件有何妙用,那就看看下面的解读吧!由平面向量基本定理与共线向量定理可以推得:平面上三点共线的等价条件,即已知A、B是直线l上任意两点,O是直线l外任意一点。若对于平面上任意一点C满足:OC(向量)=mOA(向量)+nOB(向量)(其中m,n是唯一被确定的,这里的唯一性在解题中一定要引起足够的重视,它是我们建立方程求值的一     

斜角坐标系中的直线方程及其应用

以平面内任一组基底的两个基向量所在直线为x轴、y轴建立斜角平面坐标系,并借助平面共线向量定理建立直线方程,运用斜角坐标系中的直线方程解题,能使许多几何问题更趋代数化!     

解析几何教学改革的探索之旅

以向量射影与向量射影定理为理论基础,揭示建立坐标系的奥秘,并找到求轨迹参数方程的通法。例谈计算题、证明题、轨迹题的解法规律。无论哪种题解法的关键,都是根据已有直线垂直关系建立恰当的坐标系,以达到运用代数运算,实现论证几何问题的目的。利用向量射影与向量射影定理,介绍向量在坐标轴上的射影,获得向量在坐标轴上的射影公式,这是平面直角坐标系的基本定理,乃是解析几何发明本质本源之一,它将向量、坐标、三角函数融为一体,应用十分方便。例谈求轨迹参数方程的通法。运用实例阐述《解几辞典》所作改革的探索,概述利用对称、线性代数所取得的进展,末尾建立了在坐标系中确定的正负的定理,既为几何量与其符号化(即坐标系)奠定了理论基础又找到解二元一次不等式的通法。     

巧用三角形外心的一个向量性质破解一类客观题

在近两年的各种高考调研卷、模拟卷中经常出现一类与三角形外心有关的向量问题,解决此类问题一般可分为两种思路：一种是利用平面向量基本定理转化来优化计算,二是通过建立坐标系,用平面向量的坐标来解决.但用思路一有时出现的向量较多,不知怎么转化,解题缺乏方向性;用思路二有时不好建系.本文就针对这类问题提出如何应用三角形外心的一个向量性质来有效、快速破解问题.     

三角函数概念意象的构建

三角函数概念意象的构建,利用三角函数与力的正交分解的联系,用向量改造任意角三角函数的定义,与向量的坐标相结合从而构建三角函数的意象。同时把向量的基本定理,解析几何中的几何量转化成坐标系,从而使学生体会构建数学核心概念的意象的理论价值和实践意义。     

评说向量法求角的两个“陷阱”

立体几何主观题,在高考中是必出的一道综合题,其考查的重点是有关求角的题型。解决求角问题,主要是通过建立空间直角坐标系,用向量的手段来解决。这就往往要牵扯求平面的法向量,用法向量的方向来确定所求的角。同学们做题时要避开两个“陷阱”。     

浅谈向量知识在解析几何中的应用

解析几何在教学中体现了重要的数学思想"数形结合",能有效的培养学生的分析、解决问题的能力,同时解析几何与其它数学知识相结合,综合性强,难度大,解法灵活多变,学生学习上存在一定困难,如何解决这一问题呢?通过学习,向量也是数形结合的最佳载体,既有数的运算又有相应的几何意义.当解析几何问题中涉及到夹角、平行、垂直、共线、求动点轨迹等同题时可借助于向量进行解决.通过下面几个实例说明向量知识在解析几何中的应用.     

利用向量证明共线与共面问题

利用向量证明三点共线和四点共面问题,是现行高中教材中的基本要求.有些学生对这类问题无从下手,原因就在于对利用向量证明三点共线和四点共面的实质不理解,解决这类问题关键就是把证明三点共线和四点共面问题转化为证明向量共线和向量共面问题,其主要理论是两个定理和两个推论。