一个求最值问题的简解与推广

<数学通报>2009年第4期刊登的问题1785:"设0≤xi≤1(i=1,2,3,...,n),n∈N,n≥3,且n∑i=1xi=1.试求f(x1,x2,...,xn)=n∑i=1xi/(1+x2i)的最大值"的解答繁难复杂,不易发现和掌握.     

一道高考压轴题的思维过程

2014年高考江苏卷第20题为:设数列{an}的前n项和为若对任意正整数n,总存在正整数m,使得Sn=am,则称{an}是"H"数列.(1)若数列{an}的前n项和Sn=2n,证明:{an}是等差数列,首项a1=1,公差d<0,     

例析二项展开式的通项公式及应用

(a+b)n的展开式的通项为 Tr+1=Cnra(n-r)br(0≤r≤n). 应用通项公式Tr+1=Cnra(n-r)br时应注意以下几点:①通项公式是表示第"r+1"项,而不是 第r项;②展开式中第r+1项的二项式系数Cnr与第r+1项的系数不同;③通项公式中含有a, b,n,r.Tr+1五个元素,只要知道其中的四个元素,就可以求第五个元素,在有关二项式定理的问 题中,常遇到这五个元素中的若干个,求另外几个元素的问题,这类问题一般是利用通项公式, 把问题归蚋为解方程(或方程组),这里必须注意n是正整数,r是非负整数,且r≤n.下面就其应 用举例说明:     

第43届IM0预选题解答(下)

组合部分 1.本届IM0第1题. (哥伦比亚提供) 2.已知n×n(n是奇数)的棋盘上的每个单位正方形被黑白相间地染了色,且4个角上的单位正方形染的是黑色.将3个连在一起的单位正方形组成的一个L形图称为一块"多米诺".问n为何值时,所有的黑格可以用互不重叠的"多米诺"覆盖?     

三角函数解题中的常见误区

一、因概念不清而出现的误区例1已知α是第三象限角,则3α是A.第一象限角B.第三象限角C.第四象限角D.第一、第三或第四象限角错解A.错因分析有些同学混淆了象限角和区间角的概念,认为180°<α!<270°,则60°<α3<90°.正解∵α是第三象限角,∴k·360°+180°<α!相似文献   

图表形式的数列题分类解析

一、三角形式的图表例1图1是一个类似“杨辉三角”的图形,第n行共有n个数,且该行的第一个数和最后一个数都是n,中间任意一个数都等于第n-1行与之相邻的两个数的和.an,1,an,2,…,an,n(n=1,2,3,…)分别表示第n行的第一个数,第二个数,…,第n个数.求an,2(n≥2且n!N)的通项公式.解由     

数列题型的求解策略

2009年高考江西卷(文科)第21题是一道数列题:"数列{an}的通项an=n2(cos2nπ/3-sin2nπ/3),其前n项和为Sn.(1)求Sn;(2)令bn=S3n/n·4n,求数列{bn}的前n项和Tn".     

处理一道测试题的教学思考

1 提出问题笔者在"排列、组合和二项式定理"这一章的讲授即将完成时,进行了一次单元测试,其中的最后一道测试题是证明题,题目如下.证明:对于 n∈N~*,(1 1/n)~n<(1 1/(n 1))~(n 1).这道测试题本意是考查二项式定理中通项的应用及不等式证明的相关知识,难度较大,综合性也较强,考试结果令笔者大失所望.两个班90人中仅有五名学生完整地证出.由于利用晚自习考试,结束后就连夜评卷,第二天第一节课便对试卷进行讲评(这是笔者的一贯做法,试图有时效性吧).缺乏对问题的仔细推敲,笔者给出了如下证法.证明:欲证(1 1/n)~n<(1 1/(n 1))~(n 1),     

两类Stirling数和一个自然数阵

文[1]提出一个自然数阵,并证明了所有偶完全数均在该数阵的第1行,这里我们证明-S_1(n 1,n)和 S_2(n 2,n)(S_1和 S_2分别为第1类和第2类Stirling 数)也有类似性质.(1)我们知道,将阶乘函数展开     

利用数学归纳法证明不等式的基本技巧

数学归纳法是高中数学的重点、难点之一,也是培养学生形成"观察一归纳一猜想一证明"思维模式的重要载体.一方面是因为它是学生第一次接触到从有限到无限的认识方式,另一方面是因为学生初步意识到自然数的"后继"特征.这两个方面从认识上讲都有一定的难度,在高考和数学联赛试卷中体现得特别明显,其证题程序如下: (1)(归纳奠基)验证n取第一个值n0时结论正确; (2)(归纳奠基)假设n=k(k∈N*,n≥n0)时结论正确,证明当n=k+1时结论也正确.     

传表情

正适合人数:11人。游戏规则:1.选出1个小朋友当主持人,其他小朋友分成两组,每组5人。2.第一组小朋友排成纵(zònɡ)列,背对主持人。另一组小朋友则坐在一旁当观众。3.主持人在纸上写一个有关表情的成语,如"吹胡子瞪(dènɡ)眼"。游戏开始,主持人让背对自己的第一个小朋友转过身,看成语,然后让第二个小朋友转身,由第一个小朋友对他做出"吹胡子瞪眼"     

2010年湖北高考理科第20题的解法研究

2010年高考数学湖北卷理科第20题:"已知数列{an}满足a1＝1/2,3(1+an+1)/1-an＝2(1+an)/1-an+1,anan+1＜0(n≥1),数列{bn}满足bn＝a2n+1-a2n(n≥1),(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)证明:数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列.     

2013年高考数学新背景试题赏析

<正>一、以历史名题为背景的试题赏析例1(湖北卷)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,…中,第n个三角形数为n(n+1)/2=1/2n²+1/2n,记第n个k边形数为N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k边形的表达式:三角形数N(n,3)=1/2n2+1/2n,记第n个k边形数为N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k边形的表达式:三角形数N(n,3)=1/2n²+1/2n,     

一题多解,培养思维的灵活性和创造性

高中《代数》下册 P_(132·)第31题第(1)小题为:用数学归纳法证明1·2·3 2·3·4 … n(n 1)(n 2)=1/4n(n 1)(n 2)(n 3)(1).这一题除了用数学归纳法证明(思路1)外,是否还有其它方法呢?回答是肯定的.思路2 (裂项相消法)因为 n(n 1)(n 2)=     

辨析时间与时刻

1．第1秒末,第2秒末,第3秒末,…,第n秒末． 如图1,意义：时间轴上对应数值为n的一个点．     

《落花生》作业设计

作业内容人教版五年级上册第四单元第15课。一、基础性练习1.选择正确的读音或字。空(kōng kòng)地石榴(liú lǘ)便(biàn pián)宜开(避辟)分(辨辩)(尝偿)试2.用"然"组词并填入括号     

等差、等比数列的中间值性质及其应用

1 等差数列{an }前n项和Sn的算术平均数(Sn)/(n)叫做等差数列前n项的中间值.根据等差数列前n项和公式,显然有(Sn)/(n)=(a1 an)/(2),即等差数列的中间值等于第1项与第n项的等差中项.     

子母事件概率之间的关系

通过研究n个事件同时发生导致第n 1个事件发生的关系，推导出第n 1个事件的概率与前n个事件的概率之间的关系。     

形如an＋1=aan＋b/can＋d的递推数列通项的求法

江西省2009高考数学题第22题中(1)小题"各项均为正数的数列{an},a1=a,b1=b,且对满足m+n=p+q的正整数m、n、p、q都有am+an/(1+am)(1+an)=ap+aq/(1+ap)(1+aq).     

第Ⅱ类双色完全平方数的构造

《中学数学月刊》文[1]研究了2n位（不妨称为第Ⅰ类）双色完全平方数的构造,本文给出2n 1位（第Ⅱ类）双色完全平方数的定义及其构造。 定义 若2n l位自然数a_(2n 1)a_(2n)…a_2a_1（n∈N_ ）是一个完全平方数,且a_(2n 1)a(2n)…a(n 1) a_n…a_2a_1也是一个完全平方数,则称a_(2n 1)a_(2n)…a_2a_1