由一道中考压轴题引发的趣想

1原题再现2019年安徽省中考数学第23题为:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC.P为△ABC内部一点,且∠APB=∠BPC=135°.(1)求证:△PAB∽△PBC;(2)求证:PA=2 PC;(3)若点P到三角形的边AB,BC,CA的距离分别为h 1,h 2,h 3.求证:h 21=h 2·h 3.该题是全卷压轴题,与近几年安徽数学中考压轴题相比,难度不算大,计算量也比较小.该题条件简洁,蕴含的基本模型却很丰富,结论也很多.解法灵活多样,趣味无穷,思维含量颇高.     

操作型几何题

近几年来 ,全国各地中考试卷中出现了一些动手操作型几何题 ,此类题主要考查学生的实践操作能力 .本文撷取 2 0 0 2年中考试卷中较有代表性的此类试题 ,作归类简析 .1　折一折图 1　　例 1　如图 1 ,将矩形ＡＢＣＤ沿对角线ＢＤ折叠 ,使点Ｃ落在Ｃ′处 ,ＢＣ′交ＡＤ于点Ｅ .下列结论不一定成立的是 (　　 ) .(Ａ)ＡＤ =ＢＣ′(Ｂ)∠ＥＢＤ =∠ＥＤＢ(Ｃ)△ＡＢＥ∽ＣＢＤ(Ｄ)ｓｉｎ∠ＡＢＥ =ＡＥＥＤ( 2 0 0 2 ,黑龙江省中考题 )答案 :(Ｃ) .评析 :对于折叠问题 ,主要是发现折叠图形的秘密 :一是折痕两边折叠部分是全等的(包括线段、角、…     

解开放性题型思维根植初探

近年来,中考数学出现了一种新的题型——开放性题,今年中考数学卷的第24题正是此题型,原题摘录如下:“24.(本题8分)如图1,△ABC 中,D、E分别是 AC、AB 上的点.BD与 CE 交于点 O.给出下列四个条件:     

旋转相似之魅力

<正>旋转之运动美,相似之朦胧美,两者结合带给我们一种新的数学思考方式和解题途径．下面我们以一道2020年武汉中考数学压轴题为例,来一起感受旋转相似的魅力．一、试题呈现问题背景如图1,已知△ABC∽△ADE,求证:△ABD∽△ACE.     

简洁而丰富 简约而深刻——对2019年安徽中考第23题的赏析

1原题呈现(安徽23题)如图1,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC.P为△ABC内部一点,且∠APB=∠BPC=135°.(1)求证:△PAB∽△PBC;(2)求证:PA=2PC;(3)若点P到三角形的边AB,BC,CA的距离分别为h1,h2,h3,求证:h12=h2·h3.     

一道成功的几何拼图设计中考试题--安徽几何压轴题阅卷分析

今年安徽省中考试卷第23题(实为几何压轴题): 正方形通过剪切可以拼成三角形.方法如下:     

一道几何习题结论的演变

题目:;△ABC中,∠ABC的平分线与边BC和外接圆分别相交于点D和E.求证:△ABC∽△AEC.这是人教社编义务教育初中几何课本第三册习题7.1中A组第10题或原几何课本第二册95页上的16题.不少中考试题是以此题为原型演变结论编制而成的.本文汇集有关结论供同学们练习.一、     

多姿多彩的作图题

作图题是初中几何的传统题型 ,但近年来中考作图题已发生了实质性变化 ,更注重应用意识和创新能力的考查 ,每年都出现富有新意的试题 .本文从 2 0 0 2年的中考试题中选举几例进行分析 ,供参考 .1　设计型这类问题一般具有应用性和开放性 ,不限制人的思维 ,给学生提供自由想像的空间 ,学生可从不同的角度思考、解决问题 .解答时无固定模式可套 ,需要学生自己去探索、创造 .图 1图 2例 1　以给定的图形“、○○、△△” (两条平行线段、两个圆、两个三角形 )为构件 ,构思独特且有意义的图形 .举例 :如图 1是符合要求的一个图形 .你还能构思出…     

“母子圆”的性质

这里把经过另一圆心的圆叫“母圆” ,把圆心在另一圆上的圆叫“子圆” .下面介绍母子圆的性质和相应的中考题 .图 1如图 1,点A在母圆⊙O上 ,子圆⊙A与母圆⊙O交于B、C ,点P是母圆⊙OBC的上的任意一点 (不与点B、C重合 ,且点A、P在直线BC的两侧 ) ,PA交BC于D ,设子圆⊙A的半径为r ,则有下列结论成立 (此文中结论与所注中考原题在形式上略有不同 ,但本质相同 ) .1 PA平分∠BPC .证明 :因为AB =AC ,所以 AB =AC ,所以∠BPA =∠CPA .2 ( 1) .△ABD ∽△APB∽△CPD ;2 ( 2 ) .△ACD ∽△APC∽△BPD .3 .PB·PC =PD·P…     

忽视问题的存在性致错举例

因教学需要 ,笔者手头常备有几册数学题典及近年来全国各地的中考试卷 ,陆续发现其中一些数学题由于在命题时忽视问题的存在性而导致错误 .为引起大家对此问题的重视 ,避免误导学生 ,本文特择数例加以剖析 .例 1　已知直角三角形两条直角边的和为 7,面积为 10 ,则斜边的长为 (　 ) .(A)不能确定　 (B) 2 9(C) 3(D) 9题给答案为 C.设 Rt△直角边为 a,b,则 a+b=7,ab=2 0 .则 c= a2 +b2 =(a+b) 2 - 2 ab=49- 40 =9=3,故选 C.命题者忽视了勾股定理是在 Rt△存在的前提下适用的 .实际上 ,此题中符合题设的 Rt△是不存在的 .把 a,b看作方程 x2…     

几何图形计算的两大法宝——以2020年上海中考试题为例

<正>纵观近年来的中考试题,平面几何图形计算是数学中考中的必考题型,这类试题的解决途径都是运用转化的思想方法,要求学生自己猜想、探究、发现.笔者总结了几种常用的求线段长度的方法.而构造相似三角形和巧用勾股定理是平面几何图形计算的两大法宝.以下就以2020年上海中考数学25题为例,与同行一起探讨与切磋.一、原题呈现例1 (2020年上海中考第25题)如图1,在△ABC中,AB=AC,是△ABC的外接圆,BO的延长线交边AC于点D.     

对一道几何综合题的深层次思考

<正>2019年的中考已经落下帷幕,杭州市数学中考试卷中的第23题是一道几何综合题,具有综合、创新、解法多样的特点,其中该题的第(2)小题难住了很多考生,这引起了笔者的兴趣和思考.下面笔者就该题的第(2)小题谈谈自己的一些看法和思考,以求抛砖引玉,请各位专家、数学同仁不吝赐教!一、原题呈现如图1,锐角△ABC内接于⊙O(AB>AC),OD⊥BC于点D,连结AO.(1)若∠BAC=60°,①求证:②当OA=1时,求△     

一道课本习题的变身

课本相似三角形的判定一节中有这样一道习题:正方形ABCD中,E、F分别在BC、CD上,且BE=EC,DF=3FC(如图1),求证:△ABE∽△ECF·教学中我们发现,本题不仅有丰富的结论,而且将本题适当地变形变化,还能得到很多精彩的好题·近年的中考试卷中也不断出现以此题为蓝本而进行改编、创新的试题·以下选取几例来解析,让我们一起感受数学的精妙,沐浴数学思想的光辉·     

浅谈如何挖掘教材习题

中考复习，为了避免题海战术，数学课千遍一律枯燥无味，笔者认为深入挖掘教材习题，对教材习题的改编，发展学生智力，提高学生学习数学的兴趣是很有帮助的。下面就北师大版九年级上册的一道习题谈谈本人是怎样做的（原题第66页第2题）：如图（1），在RT△ABC中∠C=90°，点P，Q同时由A，B两点出发分别沿AC，BC方向，向点C匀速移动，它们的速度都是1m／s，几秒后△PCQ的面积为△ABC面积的一半？[第一段]     

关注思维发展 彰显素养导向

<正>1试题呈现(深圳中考第15题)如图1,在△ABC中,AB=AC,tan∠B=3/4,点D为BC上一动点,联结AD,将△ABD沿AD翻折得到△ADE,DE交AC于点G,GE△AGE/S_△ADG=______。2解法探究由题意知△ABD沿AD翻折得到△ADE,所以∠ABC=∠AED,因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB,所以∠ACB=∠AED。又因为∠AGE=∠DGC,所以△AGE∽△DGC。在下列解法中△AGE∽△DGC的结论不重复证明。     

体现新课标 追求新创意——2003年湖北省黄冈市中考数学试题评析

多年来黄冈市中考数学试题在湖北省中考试题评比中 ,都获得好评 ,在全国各地反响强烈 .其特点是 :现新课标 ,追求新创意 ,引领新趋向 .1　突出基础 ,要求学生人人掌握必需的数学中小学教育是基础教育 ,因此初中数学打基础任何时候都是非常重要的 .考查学生的基础知识与基本技能始终都是摆在突出的位置 ,对于学生终身学习有价值的数学基础知识 ,始终作为考查的重要内容 ,通过加强基础知识的考查 ,要求初中生人人掌握必需的数学 .2 2道题中共有 1 0道题考查学生基础知识掌握情况 ,约占 46% .如中考卷第 7题和第 1 5题 ,突出考查学生对基本概念…     

聚焦解题过程 深化数学思维——2020年浙江省宁波市中考数学第10题赏析

<正>中考能够公平而有效地评价学生的学科水平,对教学具有重要的导向性.笔者借宁波市2020中考数学选择题的压轴第10题,挖掘解法,探究本质,与读者交流探讨.1原题呈现△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形,将它们按如图1的方式放置在等边三角形ABC内.若求五边形DECHF的周长,则只需知道().     

对2002年天津市中考数学一试题的分析

2002年天津市中考试卷第一题的第10小题为:已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,若S△AOB=4,S△COD=9,则四边形ABCD的面积S国边形ABCD的最小值为 A.21 B.25 C.26 D.36     

对一道几何综合题的深层次思考

2019年的中考已经落下帷幕,杭州市数学中考试卷中的第23题是一道几何综合题,具有综合、创新、解法多样的特点,其中该题的第(2)小题难住了很多考生,这引起了笔者的兴趣和思考.下面笔者就该题的第(2)小题谈谈自己的一些看法和思考,以求抛砖引玉,请各位专家、数学同仁不吝赐教!     

新颖的中考画图题

数学课程标准指出 :“动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式 .”根据上述理念 ,近年来中考画图题的比例有所加大 .虽然基本要求无多大的变化 ,但题型变化却很大 .主要是鼓励学生动手操作、主动探索 .试题更具开放性、趣味性、应用性和综合性 .现以 2 0 0 2年中考试题为例说明如下 .1　开放性画图题例 1　如图 1 ,正方形网格中的每个小正方形边长都是 1 ,每个小格的顶点叫做格点 ,以格点为顶点分别按下列要求画三角形 .( 1 )使三角形的三边长分别为 3,2 2 ,5(在图 1 1中画一个即可 ) ;( 2 )使三角形为钝角三角形且面积为 4(…