由一道高考试题引发的思考

<正>题目(2013年全国高考大纲卷数学理科试题)椭圆C:x24+y23=1的左、右顶点分别为A1、A2,点P在C上且直线PA2的斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线PA1的斜率的取值范围是().A.[1/2,3/4] B.[3/8,3/4]C.[1/2,1] D.[3/4,1]解析:设P点坐标为(x,y),可得直线PA2的斜率k2=y/x-2,直线PA1的斜率k1=y/x+2.因为P点在椭圆上,可得     

由一道高考试题引发的思考

<正>1.问题提出题目(2009年辽宁高考理科数学试题)已知椭圆C过点A(1,32),两个焦点为(-1,0)和(1,0).(1)求椭圆C的方程;(2)E,F是椭圆上的两个动点,如果直线AE的斜率与直线AF的斜率互为相反数,证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值.本题第(1)问椭圆的标准方程为x²4+y24+y²3=1,第(2)问主要考查直线的方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查推     

椭圆中的内接三角形的性质探究

<正>当三角形的三个顶点都在椭圆上时,称此三角形为椭圆中内接三角形。笔者经过探究发现,椭圆的内接三角形具有以下性质。性质1:已知椭圆x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0),P,A,B为椭圆上的不同三点,若直线AB经过原点,且k_(PA),k_(PB)均存在,则k_(PA)·k_(PB)=-b2=1(a>b>0),P,A,B为椭圆上的不同三点,若直线AB经过原点,且k_(PA),k_(PB)均存在,则k_(PA)·k_(PB)=-b²/a2/a²。证:设A点坐标为(x_A,y_A),P点坐标为(x_P,y_P),因为B与A关于原点对称,则B     

一道南京市高三调研试题的探究

题目(2021年南京市高三数学调研试题第21题)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的左,右顶点分别为A,B,F是椭圆C的右焦点,且AF=3 FB,AF·FB=3.(1)求椭圆C的方程;(2)不过点A的直线l交椭圆C于M,N两点,记直线l,AM,AN的斜率分别为k,k₁,k₂,若k(k₁+k₂)=1,证明直线l过定点,并求出定点的坐标.     

关于椭圆外切平行四边形的一个几何不变量

<正>若椭圆的外切四边形的一条对角线的中点是椭圆的中心,根据图形的对称性,易知此四边形即为平行四边形(如图1).本文给出这个椭圆结构中蕴含的一个几何不变量.命题已知PA、PB均为椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的切线,A、B为切点,如图2.Q为椭圆上异于A、B的另外一点,过点Q的切线与直线PA、PB分别交于点C、D,点T为P关于椭圆中心O的对称点.则△TCD的面积为常数(与点Q的位置无关).     

圆锥曲线中一类由直线过定点引出的斜率定值

定值定点问题是直线与圆锥曲线位置关系中的常见问题,也是高考考查的重点问题.本文研究了圆锥曲线中一类由直线过定点引出的斜率定值问题,得出了几个重要的结论.一、两个引理引理1设O为坐标原点,椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0),A,B是椭圆上关于原点对称的两点,P是椭圆C上的任一点.     

解析几何中过定点问题的“另类”解法

<正>1.问题的提出已知点A是椭圆C:x²/8+y2/8+y²/r=1的上顶点,过点A且斜率为k_1,k_2(k_1≠k_2)的两条直线分别与椭圆另交于点P、Q。若k_1k_2=2,证明:直线PQ过定点。2.常用方法回顾该题一般的解法有以下两种:解法1:先通过对称性或利用一些特殊的直线先找到定点;再利用点斜式设出直线AP、BP的方程,分别和椭圆方程联立解出点P、Q的坐标;最后通过证明三点共线来证     

一道竞赛题结论的再推广

一、原题结论及其推广题目（2005年全国高中数学联赛天津赛区初赛试题）已知椭圆（x²）/（a²）+（y²）/（b²）=1（a>b>0）,其长轴为A₁A,P是椭圆上不同于点A₁A的一个动点,直线PA、PA₁分别与同一条准线l交于M、M₁两点,试证明:以线段MM₁为直径的圆必过椭圆外的一个定点.推广1已知椭圆（x²）/（a²）+（y²）/（b²）=1（a>b>0）（或双曲线（x²）/（a²）-（y²）/（b²）=1（a>0,b>0））其长轴（或实轴）为A₁A,P是椭圆（或双曲线）上不同于点A₁、A的一个动点,直线PA、PA₁分别与同一条准线l交于M、M₁两点,则以线段MM₁为直径的圆必过两定点（（a²-b²）/c,0）和（（a²+b²）/c,0）.     

一道高考题的解法、推广及启示

<正>一、试题呈现(2015年四川高考题)如图1,椭圆E:x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)的离心率是22=1(a>b>0)的离心率是2^(1/2)/2,过点P(0,1)的动直线l与椭圆相交于A,B两点,当直线l平行于x轴时,直线l被椭圆E截得的线段长为22(1/2)/2,过点P(0,1)的动直线l与椭圆相交于A,B两点,当直线l平行于x轴时,直线l被椭圆E截得的线段长为22^(1/2).(1)求椭圆E的方程;(2)在平面直角坐标系x Oy中,是否存在     

浅谈参数法求解定点问题

<正>证明直线过定点的基本思想是用参数表示直线方程,方程组的解坐标就是直线所过的定点,因此参数法是我们求解直线过定点问题的一种有效方法。例题已知椭圆C:x²/4+y2/4+y²=1,过椭圆右顶点A的两条斜率之积为-14的直线分别与椭圆交于点M,N。问:直线MN是否过定点D?若过定点D,求出点D的坐标;若不过定点D,请说明理由。解法一:直线MN恒过定点D(0,0)。     

似曾相识燕归来——解析几何相似题探究

<正>引例(2015年全国高考题)已知椭圆C:9x²+y2+y²=m2=m²(m>0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A、B,线段AB的中点为M.(1)证明:直线OM的斜率与l的斜率之积为定值;(2)若l过点(m/3,m)延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形?     

对一道高考题的探究、引申

题目已知椭圆（x²）/（a²）+（y²）/（b²）=1（a>b>0）的离心率为(2^1/2)/2,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F₁、F₂为顶点的三角形的周长为4(2^1/2+1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设P为该双曲线上异于顶点的任一点,直线PF₁和PF₂与椭圆的交点分别为A、B和C、D.（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程;（Ⅱ）设直线PF₁和PF₂的斜率分别为k₁、k₂.证明:k₁k₂=1;     

一道椭圆离心率问题的解法探究

<正>圆锥曲线中关于离心率的考查一直是热点问题.下面是扬州市的一道调研测试题,考查了椭圆的离心率,原题如下:如图1,斜率为1/3的直线l经过椭圆x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)左顶点A,且与椭圆交于另一个点B,若在y轴上存在点C使得△ABC是以点C为直角顶点的等腰直角三角形,则该椭圆的离心率为___.分析本题中直线与椭圆相交,在已知一个交点坐标的前提下求另一个点的坐标,     

研究2023年T8联考中的离心率问题

<正>一、题目呈现(2023年T8联考第8题)已知椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b> 0),直线l过原点O并交椭圆于P,Q两点(P在第一象限),点A是x轴正半轴上一点,其横坐标是点P横坐标的2倍,直线QA交椭圆于点B,若直线BP恰好是以PQ为直径的圆的切线,则该椭圆的离心率为()．     

一道联考题的命题背景及拓展

<正>一、考题再现题目(2022年T8联考第8题)已知椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a> b> 0),直线l过坐标原点并交椭圆于P,Q两点(P在第一象限),点A是x轴正半轴上一点,其横坐标是点P横坐标的2倍,直线QA交椭圆于点B,若直线BP恰好是以PQ为直径的圆的切线,则椭圆的离心率为()．     

一个解析几何结论的引申和应用

<正>原题已知椭圆方程是x2a2+by22=1(a>b>0),A1(-a,0)和A2(a,0)为椭圆的左、右顶点,点P为椭圆上除A1,A2外的任意一点,kPA1,kPA2分别为直线PA1,PA2的斜率,证明:     

设而不求巧解题

<正>1.圆锥曲线涉及中点弦求曲线方程和直线方程的问题,经常用点差法设而不求解题例1已知椭圆E:x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆E于A,B两点,若AB的中点坐标为(1,-1),求椭圆E的方程。解:设点A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),则(x_1-x_2)(x_1+x_2)/a2=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆E于A,B两点,若AB的中点坐标为(1,-1),求椭圆E的方程。解:设点A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),则(x_1-x_2)(x_1+x_2)/a²=-(y_1-y_2)(y_1+y_2)/b2=-(y_1-y_2)(y_1+y_2)/b²。     

浅谈椭圆的中点弦问题

<正>已知椭圆(x²)/(a2)/(a²)+(y2)+(y²)/(b2)/(b²)=1(a>b>0)与直线l相交于M,N两点,点P(x_0,y_0)是弦MN的中点,则由点差法可得直线l的斜率k=-(b2)=1(a>b>0)与直线l相交于M,N两点,点P(x_0,y_0)是弦MN的中点,则由点差法可得直线l的斜率k=-(b²)/(a2)/(a²)·(x_0)/(y_0)。这类涉及椭圆弦的中点问题就是中点弦问题,解决这类问题通常用点差法。本文就用具体的例子来谈谈这类问题的解法。例1已知椭圆(x2)·(x_0)/(y_0)。这类涉及椭圆弦的中点问题就是中点弦问题,解决这类问题通常用点差法。本文就用具体的例子来谈谈这类问题的解法。例1已知椭圆(x²)/(a2)/(a²)+(y2)+(y²)/(b2)/(b²)=1(a>b>0)的     

一道竞赛题的再推广

原题（2011年全国高中数学联合竞赛一试试题第11题）作斜率为1/3直线l与椭圆C:x2/36+y2/4=1交于A,B两点,且P(3 2^1/2,2^1/2在直线l的左上方.（1）证明:ΔPAB的内切圆的圆心在一条直线上;（2）略.文[1]将（1）的结论推广到一般情形:     

圆锥曲线的两个孪生命题

<正>命题1椭圆的中心在原点O,焦点在x轴上,斜率为k且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点,OA→+OB→与a=(m,n)共线,其中-1(1/2);若M为椭圆上任意一点,满足OM→=λOA→+μOB→(λ,μ∈R),且n/m=-k/2k(1/2);若M为椭圆上任意一点,满足OM→=λOA→+μOB→(λ,μ∈R),且n/m=-k/2k²+1,那么λ2+1,那么λ²+μ2+μ²=1.命题2双曲线的中心在原点O,焦点在x轴上,