《几何画板》在数学教学中的应用两例

1　定理“任意三角形的三条高相交于一点”的证明传统教学是利用直尺作出一个锐角三角形、一个直角三角形、一个钝角三角形 ,再分别作出它们的三条高得出结论 :“任意三角形的三条高相交于一点” ,然后给出证明 让学生从三个特殊图形的观察得出对所有图形都适用的几何规律 ,显然是十分抽象。而运用《几何画板》的动画功能 ,让三角形的大小与形状任意动起来 ,学生自己就可以发现规律 ,这样 ,学生必然会印象深刻 ,牢记不忘 ,提高了学习几何的兴趣。利用《几何画板》让三角形的大小与形状任意动起来的步骤如下 :图 1　　　　　　　　图 21 打…     

趣话线段的“倒数”

<正>我们对于线段的和(差)、倍(倍数关系)、分(分数关系)的相关结论或证明都比较熟悉.但我们在数学学习中,也常常会遇到线段的"倒数"及其相关的和(差)、倍(分)的证明(必须指出,这里所说的线段的"倒数",是指该线段长度的倒数,它是一个数).最为常见的一个问题是:任意三角形的三条高能否构成一个新的三角形?以任意三角形的三条高的"倒数"为长度的线段能否构成一个新的三角形?对于第一个问题,我们很容易举出一个反例来,例如,对于两腰很长而底边很短的一个等腰三角形来说,它的三条高显然不能构成三角形.但对于第二个问题,我们却可以十分肯定地讲:任意三角形的"三条高的倒数"一定能构成一个新的三角形,即这个新三角形的三边,就是由原三角形的"三     

由拿破仑三角形推广到任意三角形

在任意一个三角形的三条边上分别向外(内)作三个彼此相似的三角形,则这三个三角形的外心构成的三角形与向外(内)作的三个三角形相似.在此命题的证明过程中发现了九圆三线共于一点.     

由拿破仑三角形推广到任意三角形

在任意一个三角形的三条边上分别向外(内)作三个彼此相似的三角形,则这三个三角形的外心构成的三角形与向外(内)作的三个三角形相似.在此命题的证明过程中发现了九圆三线共于一点.     

三角形要点分析

三角形是平面图形中最基本的图形,它也是学习多边形的基础,所以要学好三角形这部分的知识.一、三角形的基本概念1.定义:三角形是由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结组成的图形.2.分类:按其最大内角与90°比较,可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形三类.3.三角形的三条重要线段:①三角形的三条角平分线均在三角形的内部且交于一点;②三角形的三条中线均在三角形内部且交于一点;③三角形的三条高,请按不同类型(锐角、直角、钝角)三角形画图自行归纳.二、三角形中的角的关系一个三角形有三个内角,三角形的内角和定理是一个十分重要的…     

平面基本图形浅说——初一数学竞赛系列讲座(7)

在平面内任意画出5条直线,最多可以把平面分成多少部分?这5条直线最多有几个交点?这是平面基本图形的一个典型问题:点、线、三角形是最基本的平面图形,值得认真研究.基本知识1.过两点有且只有一条直线;2.平行线的判定与性质;3.三角形的内角和等于180°.三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.三角形的任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.在同一个三角形中,等边所对的角相等,等角所对的边相等,大角所对的边较大.例1在平面内任意画出5条直线,最多可以把平面分成多少部分?分析两条直线相交时(设交点为O),把平面分成4…     

三角形

实质追索三角形是一种简单而又常见的基本图形 .在生产和生活中 ,形状为三角形结构的处处可见 .例如 ,大桥的钢梁 ,起重机的支架 ,房顶的框架 ,照相机的三脚支架等等 ,都给我们以三角形的具体形象 .因此 ,学习三角形将帮助我们更好地认识世界 ,从而给生产和生活带来莫大的好处 .本章比较系统地介绍了三角形的重要性质及其应用 .首先从认识三角形出发 ,介绍三角形是由三条线段围成的图形 ,它有三个顶点 ,三个内角 ,三条边 .这样就把点、线段、角、相交线联系在一起了 .进而指出不是任意的三条线段都能构成三角形 ,必须满足任意两条线段之和大…     

三角形的“美妙点”分相应线段成怎样的比?

任意三角形的三条中线必相交于一点 (此点称为三角形的重心 ) ,三条高也交于一点 (此点称为三角形的垂心 ) ,三条角平分线也交于一点 (此点称为三角形的内心 ) .应该说 ,这是非常美好的事 ,因此 ,俄罗斯人称这些点为三角形的“美妙点” .重心将三角形的每条中线分成两段 ,其长度之比都为 2∶1 ,这是大家熟知的事实 ,那么垂心和内心又将高、角平分线分成怎么样的比呢 ?俄罗斯杂志《中学数学》2 0 0 1年第 4期发表了Ａ .Л .帕拉甫金的题为《三角形的“美妙点”分相应线段成怎样的比》一文 ,文中用两个定理给出了两个比值 ,这两个比值的结构也…     

三角形巧合点真是巧合吗?

在欧氏几何中,任意三角形三中线相交于一点(重心),三高线相交于一点(垂心),……等等,这些点叫做三角形的巧合点,这类巧合点会有多少呢?其分布有什么规律呢?本文试作一些探究.     

俄罗斯萨温竞赛题选(五)

在历年的萨温数学竞赛题中,有不少涉及了图形面积.它们都要求证明所给的面积是否相等,证法也千变万化.现介绍几例:1.在任意凸四边形ABCD中取各边的中点,并与它相对的一个顶点连结,如图1所示.那么所围成的中央四边形面积与周围那4个阴影三角形的面积总和相等吗?2.在等边三角形内任意取一点,该点与3个顶点连线,又从该点向3条边作出垂线,如图2所示.这样图中的3个阴影三角形的面积总和与余下的3个三角形的面积总和相等吗?3.过正方形内某一点,先作出两条与正方形边平行的直线,再作两条与正方形对角线平行的直线,把正方形分割成8块,如图3所示.图…     

信息技术与数学学科教学的整合

1.用计算机进行课堂演示 在传统教学中,教师通过黑板、教具模型、投影片等媒体展示的各种信息,现在都可由计算机加工成文字、图形、影像等资料,并可随意进行一些必要的处理(如动画),在课堂上演示出来.例如,教学等腰三角形"三线合一"的课时,传统教学因较难展现其发现过程,学生不好理解.利用几何画板可以在屏幕上作出任意三角形ABC及其内角A的平分线、BC边的高线和中线,拖动点A,此时三角形ABC和"三线"在保持依存关系的前提下随之发生变化.在移动的过程中,学生就能直观地发现存在这样的点D,使得角平分线、高线和中线三线重合.再如,在教学"与圆有关的比例线段"一节时,利用几何画板作出圆0的两条相交弦AB与CD交于圆内一点P.通过对点P的拖动可以使学生看到相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理的内在联系.利用这种模式进行课堂教学,可以使抽象的数学知识作直观的演示,帮助学生进行思考知识间的联系,促进新的认知结构的形成.     

中线与中位线辨析

三角形的中线和中位线是三角形中的两条重要线段,也是初中几何中两个易混的概念(concept),可从下面几个方面区分. 一、从定义上区分在三角形中,连结一个顶点及其对边中点的线段叫做三角形的中线;连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形有三条中线,三条中线相交于一点,叫做三角形的重心.三角形也有三条中位线,     

三角形垂心的性质及应用

垂心是三角形中的重要一点,鉴于知识的条理化、系列化,本文将归纳涉及三角形垂心的诸多性质及其应用。先不加证明地给出有关的性质。性质1 三角形的三条高线相交于一点(这就是三角形的垂心定理)。性质2 H是锐角△ABC的垂心,AH交BC于D,交△ABC外接圆于L,有     

几何画板与数学教学

几何画板在数学教学中的优势 动态性用鼠标拖动图形上的任一元素（点、线、圆）,而事先给定的所有几何关系（即图形的基本性质1）都保持不变。比如,先在画板上任取3个点,然后用线段把它们依次连起来。这时,就可以拉动其中的一个点,同时图形的形状就会发生变化,但仍然保持是三角形。再进一步,还可以分别构造出三角形的3条中线。这时再拉动其中任一点时,三角形的形状同样会发生变化,但三条中线的性质永远保持不变。这样就可以在图形的变化中观察到不变的规律：任意三角形的3条中线交于一点。     

简证“与三角形角平分线相关的三条结论”

文[1]给出了与三角形角平分线相关的如下三条结论,并逐一加以了证明.结论1三角形的任意两条角平分线间的夹角等于第三个角的一半加上90°.结论2三角形的任一内角角平分线与它不相邻的任一外角的角平分线间的夹角等于第三个角的一半.结论3三角形的任意两个外角的角平分线间的夹角等于90°减去第三个角的一半.事实上,如果把这三个结论放在一个图形中来证明,     

三角形中位线的举与用

联结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形的中位线和三角形的中线要区别开：三角形的中位线的两个端点是三角形两条边的中点，三角形的中线的端点一个是顶点，一个是对边的中点；三角形的三条中位线围成了一个三角形，三角形的三条中线相交于三角形内一点．相同点：都有三条，都在三角形的内部，都是线段．     

巧用垂心解题

三角形三条高相交于一点，这点称为三角形的垂心。由此可得：△ABC任意两条高线AD、BE相交于H，则CH⊥AB。运用这个性质，可巧妙地解决一些几何问题。例1 CD是Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线AE交CD于H，交∠BCD的平分线CF于G，求证：FH∥BC。本题一般的证明思路是利用三角形的内角平分线的性质定理，得出DH∶HC=DF∶FB，推出HF∥BC。如果本题采用垂心性质来解，则别有味道，不失巧妙。证明：由AC⊥BC、CD⊥AB，得∠CAD=∠DCB，又因为∠DAH=∠CAH,∠DCF=∠BCF，因此，∠DCF=∠DAH,又∠ADH=Rt∠，得∠A…     

三角形的面积等分问题的探索

1　过三角形的顶点作直线等分三角形的面积由于“等 (同 )底等高 (同 )”三角形的面积相等 ,所以过三角形的顶点和对边中点所作的直线等分三角形的面积 .如图 1所示 ,直线AF、BE、CD都分别平分△ABC的面积 .2　过三角形一边上任意一点作直线等分三角形的面积如图 1,假设过直线AC上的任意一点作直线等分△ABC的面积 ,如果所经过的点在线段AE上 ,那么所作的直线一定与线段BF相交 ;同理 ,如果经过的点在线段EC上 ,那么所作的直线一定与线段BD相交 .下面以过线段AE上的任意一点G为例作出其等分△ABC的面积的直线GH .作法　 ( 1)连结…     

三角形内点的物理解释及其应用

数学中许多问题涉及到三角形的内点.本文试图对三角形的内点作出一个物理解释,并据此对这类问题设计一种有别于常规的解题思路. 众所周知,任意一个三角形的三条中线交于一点并称之为三角形的重心,这样称谓体现了这个几何点的物理含义.如果我们在三角形的三顶点上各放一个具有一定质量的质点使三角形成为质点三角形,     

三角形重心性质的有关推论及应用

三角形的三条中线相交于一点,这一点叫做三角形的重心.三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.以三角形重心的定义和性质为依据,可推导出三条结论:推论1三角形的三条中线将三角形分成面积相等的六部分.如图1,△ABC的三条中线AD,BE,GF交于点G,则△ABC被分成面积相等的六部分,即S₁=S₂