构造变系数线性微分方程组零解稳定性的某些反例的模型方程组

对于线性微分方程组ax/at=Ax,A=(a_ij(t))n×n,x=(x_1,…,x_n)~T,秦元勋等人以例(h=2,数学学报voL(21、NO、2(1978))说明,其零解的稳定性,当A是t的函数阵(非常数阵)时,不能象A是常数阵时那样,由方程det(A-λE)=0(E求n阶单位阵)的根来判断,甚至会出现相反的情况,文中未给出反例的构造方法及反例的求解法。李明曙(数学学报voL.25.NO.1(1982))给出反例的一种公式化的构造法,但方     

对常微分方程教材中一道例题的引申

教材文的第278面例1说明,变系数线性方程组当系数矩阵是函数阵时,不能象常数阵那样,由它的特征方程的根来判断其零解的稳定性,甚至会出现相反的情况。文并没有提供构造这种反例的方法。     

一类变系数线性方程组零解稳定性的反例的构造法

本文给出利用文[5j的方程组(1)构造零解渐近稳定,但特征方程det(A—λE)=0有一正根的线性方程组以及构造零解不稳定,但det(A—λE)=0的两个根的实部均为负数的线性方程组的简捷方法。     

一类变系数线性方程组零解稳定性的反例的构造法

本文给出利用文[5]的方程组（1）构造零解渐近稳定，但特征方程det(A-λE）=0的一正根的线性方程组以及构造零解不稳定，但det(A-λE）=0的两个根的实部均为负数的非线性方程组的简捷方法。     

几类二阶变系数线性方程组的稳定性

变系数线性方程组的稳定性的研究,先后有文献[1],[2]。对于线性方程组(1,1),当 A 为 t 的函数方阵(非常数方阵)时,不能象 A 是常数方阵那样,即由特征方程det(A-λE)=0的根来判断,甚至会出现相反的情况。木文研究特殊的二阶变系数线性方程组,构造出新的特征方程来判断变系数线性方程组的零解的稳定性,从而得到一些特殊的二阶变系数线性方程组的零解为全局渐近稳定的充要条件。     

对一个不等式猜想的探讨

文[2]、[3]的作者注意到,对充分大的n,不等式①并不成立,且分别给出了反例．文[2]的反例是n=19,a=0．1,b=0．2,c=0．7,文[3]的反例是n=9,a=0．1,b=0．3,c=0．6．但另一方面,对于较小的n,不等式①又是成立的．当n=1时,不等式①即为瓦西列夫不等式（参见[4]）,当n=2时,不等式①的正确性文[1]已证．那么,不等式①究竟对哪些n成立,又对哪些n不成立,就是一个颇耐人寻味的问题了．本文拟对此进行一些探讨．     

一类二阶时变线性方程组解的稳定性态

<正> 对于常系数线性微分方程组 dX/dt=AX (1)当特征方程, det(A-λE)=0 (2)的根均具有负实部时,则系统(1)的零解为全局渐近稳定。 对于变系数系统 dX/dt=A(t)X (3)来说,H·H·Rcsenbrcck,秦元勋、王联、王慕秋,叶彦谦,李明曙,均构造出反例说明其零解的稳定性态因A是t的函数阵,不能象A是常数矩阵那样,由方程 det(A(t)-λE)=0 (4)的根来判断。本文就形如 (x=ax+k_1e~(mt)y     

关于二阶变系数微分方程组解的稳定性与渐近稳定性

<正> 关于它的解的稳定性与渐近稳定性,当变系数Pij(t)(i,j=1,2)是周期函数时,[1]曾予研究。当变系数Pij(t)是任意函数时,李骊在文[2]中给出了较好的结论。但文[2]中给出的变换是依赖于特征方程之特征根的,而在临界情况下,文[2]中的变换将不复存在。本文将给出一种更方便且适用的变换,沿用文[2]的研究方法,讨论(0,1)的解的稳定性与渐近稳定性。     

一类变系数线性方程组的解法

我们知道,变系数线性方程组至今尚无一般的求解方法。本文给出一类变系数线性方程组的解法,以解决文[1]、[2]、[3]中有关变系数线性方程组的求解问题。 定理 假若变系数线性方程组 dx/dt=a_(11)(t)x a_(12)(t)y (1) dy/dt=a_(21)(t)x a_(22)(t)y (2)     

秩(AB)≤min[秩(A),秩(B)]的一种证法

关于矩阵乘积的秩,我们有定理1设A是数域P上nxm矩阵,B是数域P上mxs矩阵,于是秩(AB)≤min[秩(A),秩(B)],即乘积的秩不超过各因子的秩.此定理的证明方法有多种,可见[1][2][3].本文结合线性方程组给出一种简捷的证法.引理 如果线性方程组AX=θ的解都是BX=θ的解,则秩(A)≥秩(B).证明 不妨设AX=θ的基础解系含有n一秩(A)个线性无关解,BX=θ的基础解系含有n一秩(B)个线性无关解.     

不定方程1/x~2+1/y~2=1/A~2(A∈N)的正整数解

不定方程1/(x~2)+1/(y~2)=1/(A~2)(A∈N)是否有正整数解?文[1]给出“无正整数解”的论断;文[2]提出反例,并给出1/(x~2)+1/(y~2)=1/(A~2)有正整数解的一个条件:“对方程1/(x~2)+1/(y~2)=1/(A~2),如果对A的两个互质的约数A_1、z_1、存在正整数y_1满足y_1~2=A_1~2+z_1~2那么1/(x~2)+1/(y~2)=1/(A~2)有正整数解,且其解可表示为x=ry_1A_1,y=ry_1z_1,其中,A=rA_1z_1,r∈N”。试问A为何值时,方程才有正整数解?能否根据A的值直接判定方程有正整数解?本文将给出1/(x~2)+1/(y~2)=1/(A~2)(A∈N)有正整数解的充要条件;并把问题推     

《经济数学基础》期末复习要求及综合练习(2)

第八章 线性方程组1、理解并掌握线性方程组的有解判别定理,即AX=b 有解(=)秩(A)=秩(Ab)无解(=)秩(A)≠秩(Ab)在有解的前提下有下列结论AX=0 只有零解 秩(A)=n有非零解 秩(A)相似文献   

Siegel引理的证明及应用

<正>文[1]探讨了一类整系数齐次线性方程组的整数解存在性问题及其应用,其中涉及到著名的Siegel引理,并且给出了详细证明.本文给出该引理的另外一种形式,这种形式具有更一般性^[2].Siegel引理^[3]设整数1≤m相似文献   

利用线性方程组计算极小多项式

设n阶方阵A的特征多项式为∏(i=1,s)(λ-λi)^ci，λi对应的幂零阵Ai^h(h=0，1，…，ci-1)可通过解固定的n阶线性方程组求得．若Ai^ni=0而Ai^ni-1≠0，则A的极小多项式为∏(i=1,s)(λ-λi)^ni．     

自然数的互素平方差分拆

1 自然数的平方差分拆 文[1]给出了任意自然数的全部平方差分拆及其组数,即求出了 n=x~2-y~2(n是已知的任意自然数)①的全部自然数解及其组数,但定理结论的叙述有些零乱,可把文[1]的定理1、2及推论3综述为 定理1 (1)当2n且n>1时,①有自然数解,且全部自然数解为x=(1/2)(a b),y=(1/2)(a-b),其中.a,b∈N,ab=n,b相似文献   

一类非线性缓变系统零解的稳定性

文[1]用构造函数的方法给出了系统(1)零解稳定性的充分条件,并用显式确定其系数缓变的界限,以及非线性系统(2)的附加项的界限,本文在文[2]的基础上,用另一个函数明显地给出了系统(2)非线性附加项的界限。     

零阶行列式和零值行列式——对n阶行列式的定义和行列式性质的一点补充。

本文对n阶行列式的定义给予零阶行列式的补充规定,从而导出零阶方阵是非奇异的。此外,本文利用方阵、线性方程组以及行列式之间的相互联系(即对n阶方阵A,下列四款是等价的:(ⅰ)A是奇异的,(ⅱ)|A|=0,(ⅲ)齐次方程Ax=0有非零解,(ⅳ)A的行(列)线性相关总结出行列式值为零的充分必要条件,补充了行列式和方阵的重要性质。定义用n~2个元素a_(ij)(i=1,2,…n;j=1,2,…,n)所组成的记号     

一类求取值范围问题的解法新探

<正>对下述问题:"实数x、y满足Ax2+Bxy+Cy2=D≠0,求S=ax2+bxy+cy2(或S=ax+by)的取值范围",文[1]通过构造a=b2+c,解不等式a≥c,文[2]、[3]用三角代换,文[4]根据均值不等式a2+b2≥2|ab|,给出了不同解法认真研读后,针对这些方法的不尽人意之处(详     

不等式Пi=1^n（1/xi-xi）≥（n-1/n）^的一般化和初等证明

文[1]提出一个猜想:设xi>0(I=1,2,…,n),n≥3,n∑I=1xi=1,则∏n I=1(1/xi-xi)≥(n-1/n)n①. 文[2]用逐步调整法证明了①式.文[3]细致地探讨了①式的证明策略,用拆项法和磨光变换对①式给出了两种初等证明.     

线性方程组有解判别定理充分性的一个证法

线性方程组,sum from j=1 to n(a_1,x_1=b_1(i=1,2,…m))有解判别定理(即克朗南格定理)是线性方程理论中的一个基本定理。本文主要给出了此定理充分性的一个证法。设,线性方程组:sum from j=1 to n(a_1,x_1=b_1)(i=1,2,…m)…(1)记定理,(Kronecker)线性方程组(1)有解的充要条件是其系数矩阵A的秩r_A