一道值得回味的竞赛题

1986年江苏省初中数学竞赛有下面一道试题:“在平面上任意给定5个点,其中任何三点不在一条直线上,并且它们不是凸五边形的顶点。证明下列两个结论中必有一个成立: (1)存在以某四点为顶点的凸四边形,使得另一点在该四边形内;(2)存在以某三点为顶点的三角形,使得其余两点在该三角形内。”这道题仅仅涉及三角形、凸四边形与五边形等最基本的概念,证明所需要的几何知识也     

一道平面几何题的发现、证明和另一个结论

命题过一个凸四边形的三个顶点的直线均平分四边形的面积,则这三线共点的充要条件是四边形的一条对角线被另一条对角线平分.     

关于四边形内接矩形问题

近几年数学竞赛中常涉及的一个问题是: 设ABCD为凸四边形,是否存在矩形A_1B_1C_1D_1,使得顶点A_1、B_1C_1、D_1分别在边AB、BC、CD、DA上(但不在顶点)? 结论1 若凸四边形任一组对边所成的角大于或等于90°,则必不存在内接矩形. 结论2 在四边形ABCD中,如果∠DAC≥90°且∠DBC≥90°,则必不存在内接矩形. 以上是两个必要条件.还获得了若干充分条件: 结论3 对角线互相垂直的四边形,存     

几道全国联赛试题解法的讨论

本文给出了7道全国联赛试题不同于标准答案的解答,这些解答与标准答案相比,思路更清晰,解法更简捷.为节省篇幅,标准答案的原解法不再列出,读者可参阅相关资料进行对比.例1 设一凸四边形 ABCD,它的内角中仅有∠D是钝角,用一些直线段将该四边形分割成 n 个钝角三角形,但除去点 A,B,C,D 外,在该凸四边形的周界上,不含分割出的钝角三角形顶点,试证:应满足的充要条件是 n≥4. (1993年全国联赛试题加试)证明本题的充分性易用构造法证明.为证必要性,先对剖分法的剖分点进行分类:在凸四边形边界上的     

数学竞赛中的逆向思维

任何事物都有正反两方面,因此解题时逆向思维与正面推导同样重要,在竞赛中,借助逆向思维寻求解答的问题屡有出现,现举例说明如下。一、直接证明途径不明显,可用分析法或反推法例1 平面上给出n个点(n>4),其中无三点共线,证明:至少可找到C_u~2-3个以上述点为顶点的凸四边形(第11届国际竞赛题)。分析:求证有C_u~2-3个四边形,考虑从n-3个点中任取两个的组合,把问题转化     

面积的一个重要性质及其应用

凸四边形中有一个关于面积的重要性质:四边形一条对角线上任一点与另两个顶点的连线把四边形分为四个小三角形,其中对顶的两个三角形的面积之积相等。如图1,设这四个小三角形的面积为     

成果集锦

凸四边形上的最大点在四边形上 ,到各顶点距离之和为最大的点 ,就叫四边形的最大点 .引理 1　设P为凸四边形ABCD的边AD上一点 ,若DB DC≥AB AC ,则PB PC≤DB DC .过P以B、C为焦点作椭圆 ,则A、D至少有一点在椭圆外 ,由DB DC≥AB AC ,故D必在椭圆外 ,于是PB PC≤DB DC .引理 2　设P为凸四边形内一点 ,那么在四边形边上存在点P1,使h(P)≤h(P1) ,其中h(x) =xA xB xC xD .以A、D为焦点过P作椭圆 (图 1 ) ,过P作椭圆的切线交AB于Q ,DC于P1,则Q、P1均在椭圆之外 ,不妨设P1B P1C≥QB QC ,则由引理 1知PB …     

广义托勒玫定理

关于圆内接凸四边形的托勒玫定理已广为人知:“所有圆内接凸四边形的对边乘积之和等于它的村角线的乘积.” 我们研究广义的托勒玫定理.设有四个内切于同一圆且切点是该圆内接四边形的各个顶点的圆。A、B两个顶点间的距离可通过对应的圆。,、。B间的公切线长来度量。 (图1) 定理     

托勒密定理的推广和应用

定理一(托勒密定理) 圆内接凸四边形的两双对边的乘积的和等于两条对角线的乘积。如果把一点看成是(?)为零的圆,两点之间的线段长看成是两圆的外公切线长。这样,可以把这个四边形的四个顶点看成是分     

关于四边形的钝角三角剖分

一、1993年全国高中数学联赛两试第一题为: 设一凸四边形ABCD,它的内角中仅有∠D是钝角。用一些直线段将该四边形分割成n钝角三角形,但除去A,B,C,D外,在该凸四边形的周界上,不含分割出的钝角三角形顶点,试证n应该满足的充分必要条件是n≥4。本题对凸四边形加上仅有一个钝角的限制条件,对剖分加上周界上没有新剖分点的条件,去除这两限制条件,对凸四边形,讨论钝角三角形剖分问题,结论又将如何呢?本文给出上述问题的全面回答。二、一个引理     

凸四边形上的最大点

在四边形上，到各顶点距离之和为最大的点，就叫四边形的最大点．     

第22届全苏中学生数学奥林匹克试题及解答

第一天 I、年级 i。一本书由30篇小说组成,各篇分别有1,2,…,30页.小说从第一页开始刊载,每一篇小说都从新的一页开始.问:以奇数页开头的小说最多可以有多少篇? 答:23。 2。设ABcD是凸四边形.考虑两个凸四边形F:和FZ,其中每个四边形的两个对角顶点为ABcD对角线的中点,而另两个顶点分别为ABCD一组对边的中点.已知四边形F:与FZ的面积相等。试证:四边形ABCD的一条对角线平分其面积. 3.设x,;,‘为三个不同的自然数,而且它们中的任意两数的乘积能被第三个数整除.试证:方程x一百 z=1有无穷多组解。 证将所求的解表示为x=。,,;=:k,‘=mk的…     

四边形学习

阅读P119-P124，理解四边形、四边形的边、顶点、对角线、角以及凸四边形等概念；掌握四边形的内角和及外角和定理；了解四边形的不稳定性．     

探究与分点有关的两个正方形面积的比值

在正方形的四边上分别取一些点,使得这些点按相同的排列方式到四个顶点的距离相等,按照相同的方式依次与原正方形的顶点连起来,构造的四边形是正方形,本文运用三角形的相似进行论述,并且探究与分点有关的两个正方形面积的比值问题,供参考:     

凸四边形绝对值方程又一形式

②中给出凸四边形的一般形式.本文给出另一形式,它不含二重绝对值(符号). 引理若A(a,b),B(c,d),C(e,f),D(g,h)是凸四边形四顶点,令川刊川|川fd人尸‘g 一一 D弓.人,工‘.几bd召心g 一一 D 0. 笋D oD 事实上,因A,B;C,点,D:,D:非零且异号,0}D为凸四边形顶故,上︸.上‘.工11b d fh口c eg 一一 D D一}D,iDZ一}DZ}D,尹0. 定理凸四边形ABCD顶点为A(a,b),B(。,d),C(e,f),D(g,h).则其绝对值方程可写为 }a:x十b,y十‘,1+rlaZ二十饥y+。:}+a3x 十b3少十e3一0.(*) 其中a,,b,,。.,r(i~l,2,3)可由a,b,…,g,h确定. 可仿③定理l的证明.现举一…     

探索数据归纳在求格点图形面积中的应用

<正>我们把网格线的交点称为结点,如果多边形的顶点都在结点上,则称这样的多边形为格点多边形(如图1).同时,我们将位于多边形内部的结点称为内点,位于多边形边上的结点称为外点.本文探究五个格点(凸)多边形(即矩形、平行四边形、三角形、四边形、五边形)的面积,这些格点多边形的内点数、边点数与其面积有什么关系?能否将这些格     

一个与圆锥曲线切线有关的性质

圆锥曲线上的四点构成了一个四边形,文[1]中得到了四边形相邻顶点上的圆锥曲线切线的相关交点与该四边形对角线交点及两对边延长线交点共线的性质（共线点有2组）,作者分别给出了在椭圆及抛物线形式下的证明,在证明的过程中,作者主要是利用斜率相等这一思路来证明相应四点共线．注意到在文[1]中,所关注的是四边形相邻顶点所在的圆锥曲线切线的相关交点与四边形对角线交点及一组对边延长线交点的共线性,若考虑的是不相邻的顶点处的圆锥曲线切线的交点呢,     

谈直线均分多边形面积

文[1]对过四边形边上任意一点作直线等分已知四边形面积的问题进行了讨论;文[2]从合理选择顶点,通过降边转化成等面积的凸四边形的角度     

凸四边形内勃罗卡角的一个计算公式

若在凸四边形ABCD内,存在点P使得∠PAB=∠PBC=∠PCD=∠PDA=α,那么点P叫做凸四边形的勃罗卡点,而角α称为凸四边形的勃罗卡角.(见图)关于四边形内勃罗卡点的存在性问题在文[1]中有详细的讨论,在假设所讨论凸四边形的勃罗卡点总是存在的前提下,我们给出勃罗卡角的一个计算公式.为了叙述方     

俄罗斯萨温竞赛题选(五)

在历年的萨温数学竞赛题中,有不少涉及了图形面积.它们都要求证明所给的面积是否相等,证法也千变万化.现介绍几例:1.在任意凸四边形ABCD中取各边的中点,并与它相对的一个顶点连结,如图1所示.那么所围成的中央四边形面积与周围那4个阴影三角形的面积总和相等吗?2.在等边三角形内任意取一点,该点与3个顶点连线,又从该点向3条边作出垂线,如图2所示.这样图中的3个阴影三角形的面积总和与余下的3个三角形的面积总和相等吗?3.过正方形内某一点,先作出两条与正方形边平行的直线,再作两条与正方形对角线平行的直线,把正方形分割成8块,如图3所示.图…