浅谈现行中学几何教材公理体系

欧几里得的《几何原本》作为数学与逻辑结合的典范,包含了中学平面几何、立体几何的主要内容和论证方法,但《几何原本》在逻辑结构上,有不少缺欠和不足,由此引起对“几何基础”的深入探讨,借助“几何基础”课的学习,比较希尔伯特公理法和现行中学几何教材公理系统的异同,并阐述如何看待中学几何教材的公理化系统。一、几何学公理法和希尔伯特公理法所谓几何学公理法就是把教学中推理的原始依据归结为少数几个基本概念和几组公理,以此为依据,把数学中某一学科的知识,通过逻辑规则,整理成为一个演绎体系的方法。公元前3世纪,《几何原本》是用…     

浅议立体几何公理教学的策略

<正>高中立体几何公理教学,由于其抽象性,历来是高中数学教学的难点.本文在概述高中立体几何公理教学困境的基础上,从四个方面提出了立体几何公理教学的策略.一、当前高中立体几何公理教学困境在高中教育阶段,立体几何这一科目,相对而言具有一定重要性,其直接影响着数学成绩,甚至有不少学生发出"得几何者,得数学"的感慨,由此足见立体几何对高中学生学业成绩的重要性.据现有研究,立体几何教学,较大的难点     

深入研读课程教材，切实把握教学要求，努力提高教学质量（续）——对高中课标数学A版教材回访中若干问题的思考

3立体几何的结构体系、知识内容、处理方式、呈现形式有很大变化,如何适应这种变化 比较突出的是《数学2》中立体几何初步的内容．与传统的立体几何的结构体系相比,新课程中的立体几何的结构体系有重大改革．传统的立体几何内容,常从研究构成空间几何体的基本要素：点、直线和平面开始,讲述平面及其基本性质,点、直线、平面之间位置关系和有关公理、定理,再研究由它们组成的几何体,     

论希尔伯特几何公理的综合性质

受时代局限,康德基于欧氏几何宣称几何命题的先天综合性质.欧氏几何的现代数学表达为希尔伯特几何公理系统,并且后者可以方便地演化出非欧几何.于是,论证希尔伯特几何公理的先天综合性质可以在现代数学的背景中为一般几何命题的先天综合性质提供支持.希尔伯特几何公理的先天性不言而喻.继反驳石里克对希尔伯特几何系统的公理定义所作的分析性论证之后,对希尔伯特几何公理的综合性质的正面论证在于,阐明蕴涵定义超出分析性程序的方法论本质,揭示希尔伯特几何公理对业已被证明为先天综合知识的算术的双重依赖,并利用多种几何并存的局面展示享有唯一性地位的算术系统所不能彰显的先天综合知识的独特模态.     

几何教学中的几种“结合”

一、实践(或数学实验)与理论相结合欧氏几何是一个公理系统,我国的几何教材基本上是按这个体系编写的。学生学习这样的几何,有利于掌握较系统的几何知识,也有利于逻辑思维能力的形成和发展。因此,人们特别重视推理在几何中的作用。但是,因为它是从公理出发,用演绎推理的方法展开的,所以内容庞杂,难度也比较大。目前义务教育的几何教材对这个公理系统进行了较大的改造,扩大了公理系统,删减了一些定理,从而使教材的内容有所减少,难度有所降低。即便如此,教材中也仍有     

立体几何教学应注意什么?

立体几何是平面几何的发展和深化。因此在立体几何教学中,教师应注意引导学生完成平面思维向空间思维的跨越,发展学生的空间思维能力。 一、搞好平面几何向立体几何的过渡 1.把立体几何与平面几何知识有机的衔接起来。如学习平面的基本性质[公理1]时,可提     

浅析高中数学立体几何的学习

同学们在小学和初中阶段都已经接触到几何知识,但是这两个阶段的学习都仅仅是了解平面几何的相关内容。然而,高中阶段同学们所接触的数学几何知识已经转换成立体几何知识,与之前所学的几何知识相比,在难度上有很大提升。所以,同学们在学习高中数学立体几何的知识时,一定要找到适合自己的学习方法,明确在学习中的困难并逐个攻破,以做到切实掌握高中立体几何知识。下面就高中立体几何的学习做一些简单分析,以期帮助同学们更好地学习这一知识模块。     

公理法的哲学断想

现行初中几何课本中,直线形部分,有两条公理:“有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等”;“有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等”。 这两个命题在欧几里德公理系统中,均为定理,课本中为什么把它列为公理?这样做有什么好处?有什么问题?立体几何课本中也有类似的问题。中学数学里有不少问题都     

《几何画板》在立体几何教学中的应用

正立体几何是在学生已有的平面图形知识的基础上讨论空间图形的性质,它所用的研究方法是以公理为基础,直接依据图形的点、线、面的关系来研究图形的性质。从平面图形到空间图形,从平面观念过渡到立体观念,无疑是认识上的一次飞跃。     

公理·模型·BIB

几何学的演绎基础是公理.不同的公理系统演绎出不同的几何体系.例如,根据希尔伯特的五组(?)十条公理(关联公理八条,顺序公理四条,合同公理五条,连续公理二条,平行公理一条)可以得到一个完整的欧几里得几何体系.改变希尔伯特的平行公理又可得到罗巴切夫斯基几何或黎曼几何.更一般的几何——射影几何,也可以建立在严格的公理基础之上.     

小学数学课堂教学方法的研究

"几何几何,想破脑壳。"这句话是对小学几何知识难度之大的精辟概括。小学几何又分平面几何、立体几何,立体几何是小学几何的难点,主要体现在两个方面:让学生在大脑中构建几何模型、培养空间立体感是一难,培养学生的空间思维、解决生活中的实际问题是二难。如何让学生突破立体几何的难点,不怕立体几何、爱上几何,是值得小学数学教师思考的问题。解决这一问题,通过画图分析是一种行之有效的好方法。     

从最短路线谈类比转化思想

从最短路线谈类比转化思想郭宝林石慧生关于“距离”的知识，初一年级几何课本中给出了关于线段的公理：“两点之间线段最短”。依此定义了“连结两点的线段的长度叫做两点之间的距离”。以后初二的几何直到高一立体几何、高二解析几何中各类“距离”的概念的实质，就是“...     

小学立体几何建模中的两点做法

<正>立体几何是小学数学教学的一个重要组成部分,也是小学阶段几何知识中的一个难点。这部分知识主要涉及长方体、正方体、圆柱体、圆锥体等立体几何知识。这部分知识对于学生来说比较抽象,为了让学生系统地掌握这部分知识,更好地构建起立体几何模型。下面我就谈一下自己在立体几何建模中的两点做法:一、多媒体演示在构建模型中的重要作用几何知识的学习是引导学生由最初的点、线、面到体的思维认     

师专几何基础教学应结合中学几何教材

师专几何基础教学应结合中学几何教材李秀云师专几何基础所讨论的主要内容就是希尔伯特公理系统，这是一个完整的欧氏几何公理系统。在这个系统里，希尔伯特采用公理法，自然地将欧氏几何的公理划分，并且可以用逻辑推理导出欧氏几何的所有内容。教材中详细讨论了在这个系...     

用向量法解决空间几何问题归类

用向量法解决立体几何问题,不仅摆脱了几何问题中的作辅助线的困难,而且免去了寻找满足定理、公理所依据的条件这个繁杂过程,使计算、证明更简化;尤其在容易确立空间直角坐标系时,利用向量的坐标进行运算,对于证明空间中线与面平行、线与线垂直、线与面垂直更加方便;     

立体几何的共点、共线、共面问题

在立体几何的开头部分，三个公理及三个推论、公理4，是立体几何理论的基石，是将立体几何问题转化为平面几何问题的理论依据．这些公理及推论的典型应用，就是判断和证明共点、共线和共面问题．[第一段]     

立体几何入门要学数学方法

和平面几何一样 ,立体几何中的推理多为演绎法 ,但在入门阶段学习立几时 ,推理仍然会遇到许多困难 ,其原因是多方面的 ,如公理、定理不会运用 ,几何符号语言如何理解 ,对图形缺乏空间想象力等 .更重要的是立体几何的推理还有许多和平面几何不同的地方 ,这里介绍立体几何入门学习常用的数学方法 ,以供同学们学习时参考 .一、反证法立体几何入门阶段 ,反证法是应用较多的一种证法 ,一般地 ,当命题直接证明有困难时常用反证法 ,其步骤是 :(1)反设 :作出与命题论证相反的假设 ;(2 )归谬 :从假设出发与已知条件一起进行推理 ,导出不合理 (与已知…     

深入研读课程教材,切实把握教学要求,努力提高教学质量(续)——对高中课标数学A版教材回访中若干问题的思考

3 立体几何的结构体系、知识内容、处理方式、呈现形式有很大变化,如何适应这种变化比较突出的是《数学2》中立体几何初步的内容.与传统的立体几何的结构体系相比,新课程中的立体几何的结构体系有重大改革.传统的立体几何内容,常从研究构成空间几何体的基本要素:点、直线和平面开始,讲述平面及其基本性质,点、直线、平面之间位置关系和有关公理、定理,再研究由它们组成的几     

一个小型公理系统的例子及中学几何公理系统的水平

几何学的对象是对物质世界的对象加以理想化、抽象化而得出的。几何学作为一种逻辑的演绎结构的组织,是以一组不加以证明的公理,即基本对象和关系的最初假定为基础的。而公理是几何对象在客观世界具体对象的性质的一种抽象表达。因此公理系统作为逻辑推理的基础,不能随心所欲地构筑,公理化不是搞无意义的游戏。关于公理系统的基本问题,就是一个完善的公理系统应该满足的条件。 希尔伯特认为:公理的选取要符合三条要求。即①相容性。②独立性。③完备性。相容性是指公理的集合应是无矛盾的,独立性是指公理之间不能互相推出,完备性是指对这个系统不能再增加独立的新公理。 希尔伯特给出的欧氏几何公理系统是相容的、独立的、完备的。但要具体证明欧氏几何     

有限射影几何

本文是从公理系统出发介绍有限几何的,有限几何的公理系统∑由6条公理即A_1,A_2,A_3,A_4,A_5,A_6组成,通过模型证明了公理系统∑满足无矛盾性和独立性,从存在∑的不同构的模型说明公理系统∑不满足完备性。文章第二部分叙述的6个定理是为了证明有限几何的对偶性作准备的,在第三部分中较详细地介绍了七点射影几何,最后简略地介绍13点、21点、31点、57点射影几何。