由通法的局限性谈“差别式法”

“判别式法”是初中和高中数学中最常见的一种通法，也是最基本、最重要的一种通法．主要解决有关二次（一元二次方程、一元二次不等式和二次函数）题目中求参数取值范围的问题，但根据通法的局限性，我们必须明确：何时二次问题可以运用“判别式法”，何时不能运用“判别式法”．本文首先给出2个错例和2个正例，并对每个错例和正例题进行分析，其次针对高中范围内有关二次问题，如何运用“判别式法”，列出较系统的“清单”．     

突破点差法解双曲线中点弦问题的难点

圆锥曲线的“中点弦”问题，习惯的处理方式是对椭圆和抛物线的问题优先用“点差法”（或说代点相减法），对双曲线问题优先用“判别式法”（先设出直线方程与抛物线方程联立，消去一元后得到二次方程，然后运用根的判别式等知识求解）．但在实际中，许多学生习惯于开始都采用“点差法”，因而在求解某些双曲线问题时，又不得不放弃原来的思路而改用“判别式法”．下面笔者提供2种突破方法，以供参考．     

点差法与中点弦

运用点差法或“和、差设点式”点差法,可以解决下列两种类型的“中点弦”问题,其特点是可回避一元二次方程的实根判别式．1．二次曲线的“中点弦”的存在性     

当“判别式法”失效的时候

众所周知,对于函数y=ax2 bx cdx2 ex f(ad≠0)(不妨称为“二次分式函数”)值域的探求问题常利用“主元思想”采取“判别式法”求解.然而“判别式法”不是万能的,如果对上式中的“x”附加了范围限制,则“判别式法”就可能失效.那么,一旦“判别式法”失效了,我们该如何求解此类函     

例谈通法与特法在教学中的合理运用

“通法”是指解决某类问题的基本方法，具有一定的“通用性”．在教学中强调“通解通法”为的是有利于学生掌握相关知识内容最本质的东西，有利于学生形成基础的知识结构和网络，也易于消除多数学生对数学的恐惧心理，能够增强学生学好数学的信心．而“特法”是指抓住问题所具的“个性”特质，融会贯通地运用所学知识，思维具有一定的灵活性，能对学生进行创造思维训练，有利于调动学生学习的积极性．下面通过实例说明教学中如何处理“通法”和“特法”的关系．     

用判别式法求分式函数值域

用判别式法求二次分式函数的值域实质上是利用方程思想、等价转化思想将二次分式函数变形为关于自变量的一元二次方程，然后借助方程的判别式求值域．根据函数的定义域的不同，一般可分为三种类型。     

判别式法。想说爱你不容易

1判别式的“前世今生” 实系数一元二次方程ax^2＋bx＋c=0（a≠0）有实数根的充要条件是其判别式△=b^2-4ac≥0,根据一元二次方程的这一性质,我们常可根据题设条件构造一个二次方程,利用判别式间接求解,它在求函数值域（或最值）,证明不等式,圆锥曲线、三角函数、数列等问题上有广泛应用[1]．用判别式解题的方法,姑且称之为判别式法．这种方法在中学里历经坎坷,让学生接受并能灵活运用并非易事．     

对判别式法讨论曲线交点方法的反思

用判别式法讨论二次曲线交点容易发生错解，刊物上不断有对此提出新的解决方法．尽管人们在处理这类问题时比较谨慎，由于方法依赖于几何直观，仍易发生错解．为彻底解决该类问题，我们来探讨一下解此类问题的通法——判别式法．下面先简略谈谈判别式法造成的错误，然后对这一方法实质作进一步分析．     

谈“判别式法”等在教学中的几个疵点

“判别式法”、“三角函数值有界法”等是求函数值域常用方法,尽管这类解法教学上日益完善,但决非尽善尽美。本文就有关这方面,谈些粗浅看法。一、“判别式法”求函数值域解法实质是什么有关资料表明,在中学数学教学中存在:“判别式法”仅仅使用一元二次方程根的判别式的偏面认识,有些(如文[1][2][3])甚至基于这一认识,得出“判别式法”并不可靠,仅在一定范围内使用结论,文[1][2]提出的理由是求解过程中,函数式(看作关于x方程)变形不都是同解变形,仅仅用1≥0,可能扩大y的取值范围。诚然,我们可以把“判别式法”运用局限于函数式变形为同解变形的函数范围内,但这无疑是作茧自缚,因为不加约束条件     

先通法 后巧法

异分母的分式加减法是分式运算的重点，必须认真学好．其学法是先通法，后巧法．一、掌握运算步骤，学好通法异分母的分式加减法的一般步骤是：（1）把各式的分母分解困式；（2）确定各分母的最简公分母；（3）利用分式的基本性质化异分母为同分母；（4）进行计算，最后结果化为最简分式．二、抓住特点，运用巧法有些异分母的分式加减法题目，若按通法，则计算过程繁杂；若抓住其特点，运用技巧，可化繁为简．常用技巧有：1．逐次通分．分步计算2．分离常数，分组通分”3．逆用通分法则，化积为差先通法　后巧法@赵建勋$河北正定中学!050800…     

不可盲目使用判别式法

对于形如y=(ax^2 bx c)/(dx^2 ex f)的二次有理分式函数的值域，一般是要用判别式法求解的．但应注意，利用判别式法求上述函数的值域是有先决条件的(你知道先决条件是什么吗?)，如忽略了先决条件而盲目使用判别式法，将极易造成解题出错．如下题.     

“判别式法”求函数值域的错解剖析

关于函数值问题,解法较多,其中“判别式法”是最常用的方法之一,然而,由于解题过程中的非等价变换,往往会出现错解.本文就“判别式法”求函数值域时常见错误进行剖析.     

巧用构造法解题

借用一类问题的性质来研究另一类问题的思考方法是数学解题中的一个重要原则,而构造法便是这个原则的一种体现．所谓构造法,就是在解题过程中,由于某种需要,要么把题设条件中的关系构造出来;要么将这些关系设想在某个模型上得到实现;要么把题设条件经适当的逻辑组合而构成一种新的形式,从而使数学问题获得能决,在这个过程中思维的创造活动的特点是‘构造”,称之为构造性思维运用构造性思维解题的方法,称这为构造法这是培养学生的创造思维的一种有效的方法．l构造一元H次方程利用一元二次方程的根或判别式的性质寻找解决问题的方…     

巧用判别式法

一元二次方程根的判别式是初中数学学习的重点,是解数学题的重要工具和方法,也是各地中考的必考知识点,因此,判别式法是初中数学应用最广泛的方法之一,一元二次方程根的判别式在方程、函数等的运用中比较广泛,同学们如果能够正确运用,必将有利于能力的培养,使思路更开阔。     

对用判别式求分式函数最值的异议

有不少文章提出用判别式求分式函数的最值或值域,又有不少文章对这类解法提出“辨析”、“商讨”。这已持续了十多年,本文想就中学教材及学生实际,对这个问题提出几点看法。一、用判别式求分式函数最值或值域,无可靠的理论依据。即使侥幸得到正确结果,也只仅对某些特定函数。因此,作为解这类问题的一种方法,不能得到认可。用判别式求最值,对分式函数基本是如下程序,已知函数y=f(x)/g(x) ① (其中f(x)及g(x)是不高于二次的多项式且连续,或是双二次式) 化为yg(x)=f(x)。②     

判别式法与函数的值域

函数的值域是函数的三要素之一,它是函数的一条重要性质,对求最值、求参变量的取值范围、求反函数都有一定的制约作用,由此可见其重要性．求值域的方法中常用的有换元法、函数的单调性法和判别式法等．在使用判别式法求值域时,一定要谨慎．     

判别式法求函数值域怎样剔除多余的值

求函数值域的问题是高中数学中的一个重点和难点，而利用判别式求值域是最常用的方法，但使用不当则容易出错．由于“△≥0”是二次方程在未知数取值范围内有根的必要条件，故用判别式法往往会扩大函数y的取值范围，如何剔除多余的y值，是解题者易忽视之处，下面略举几例说明之．     

无理函数值域的常见求法

在解题过程中,同学们遇到无理函数的值域问题时,普遍采用的是“判别式法”,但由于无理函数的定义域一般不为R,所以在解题过程中容易扩大自变量的取值范围,使用“判别式法”失效．本文将对常见的无理函数类型及解法作一归纳,使得在求无理函数的值域时避开“判别式法”,尽快求出正确答案．     

求范围问题中的一种通法

在高考试题中经常出现“以含参数的不等式恒成立为条件，求参数范围问题”，这种问题大部分可以利用一种通法解决，即“分离参数法”．下面就此通法的有关原理，给出说明并列举几道典型的例题．     

用“△”法求函数值域应注意什么

将函数化为关于自变量x的一元二次方程，把函数y看成常数，用判别式△来求函数的值域的方法叫做“△”法．“△”法是求函数值域的一种基本方法，但必须注意方程未知数的取值范围．下面举几例予以说明．