浅谈(a~(1/2))~2与(a~2)~(1/2)的异同

1 .相同点( 1 )它们都是二次根式 ;( 2 )它们都是非负数 ;( 3)当a≥ 0时 ,(a) 2 =a2 =a .2 .不同点( 1 )写法不同 :(a) 2 有括号 ,a2 没有括号 ;( 2 )读法不同 :(a) 2 读作a的算术平方根的平方 ,a2 读作a的平方的算术平方根 ;( 3)意义不同 :(a) 2 表示非负数a的算术平方根的平方 ;a2 表示实数a的平方的算术平方根 ;( 4 )取值不同 :(a) 2 中的a为非负数 ,a2 中的a为一切实数 ;( 5)运算顺序不同 :(a) 2 是先求a的算术平方根 ,再求它算术平方根的平方 ;a2是先求a的平方 ,再求平方后的算术根 ;( 6 )计算结果不同 :(a) 2 =a ,a2 =|a| =a(a≥ 0 ) …     

《数的开方》学习问答

问本章的重点、难点是什么？学习本章的关键何在？答本章的重点是平方根、算术平方根的概念及求法。难点是算术平方根的概念和实数的概念．学习本章的关键在于透彻理解平方根。算术平方根、无理数、实数等主要概念．问怎样理解平方根和算术平方根？答回到定义去．先看平方根的定义：如果一个数的平方等于a,这个数就叫做a的平方根,意即如果x2＝a,那么x就叫做a的平方根,记作±．因为不论x是正数、0或负数,总有x2≥0,所以。a≥0．可见当a是正数或O时,它才有平方根。而,否则而就没有意义．由于任何数的平方都不等于负数,所以负数没有…     

从x~2≥0到平均不等式

1从实数的性质说起由于实数有“大小可比性”,因此才有关于实数的“不等式”.由于实数的平方有“不负性”,因此才有了正数的“平均不等式”.设x∈R,则有x~2≥0,令x=a-b,则有(a-b)2≥0a~2 b~2≥2ab,用a替代a~2,用b替代b~2,则有a b≥2ab,于是得到(a b)/2≥ab(a=b时等号成立).这就是著名的平均不等式:2个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.显然,要证明这个不等式的正确性,可用配方法回到“实数平方的不负性”上.证明因为a2 b-ab=a-22ab b=12(a-b)2≥0a 2b≥ab.图解在平均不等式a2 b≥ab中,视a2 b和ab分别为2条线段长,可以解释它们之间的…     

巧用“a^2＋6^2≥2ab”简化方程组的解法

我们知道,对于任意的实数a和b,有a2+ b2≥2ab(1)当且仅当a=b时取等号,若ab >0,在(1)的两边同除以ab,即得a/b+b/a≥2(2),当且仅当a=b时取等号. 在(1)中,若令u=a2,v=b2,显然u≥0, v≥0。则有,当且仅当u=v时取等号,现在我们利用这些重要不等式来解一     

由基本不等式“a~2 b~2≥2ab”想到的

下面是各类中学数学教材中一个重要的定理: 如果a、b都是实数,那么 a~2 b~2≥2ab (*)(当且仅当a=b时取等号) 笔者对此定理的结构特点很感兴趣,因为a~2 b~2≥2ab=ab ba,对实数a、b来说具有对称美——不等式(*)左右两边字母、项数及次数均相同.由此,极易产生如下普遍化联想。     

《实数》考点例析

考点1:平方根、算术平方根、立方根的概念例1如果A=a-2b$+3a+3b为a+3b的算术平方根,B=2a-b-11-a2$为1-a2的立方根,求A+B的平方根.分析:由A是a+3b的算术平方根,可知根指数a-2b+3=2,B是1-a2的立方根,可知根指数2a-b-1=3,从而建立方程组求出a、b的值,分别代入两个根式A、B,再求A+B的平方根.解:由题意,得a-2b+3=2,2a-b-1=3%.解得ab==32,%.所以A=$!a+3b=3,B=31-a2$=-2.故±$!A+B=±$!3-2=±1,即A+B的平方根为±1.考点2:已知一个数,求它的平方根、算术平方根、立方根例2(1)(2005年无锡市)4的平方根是;(2)(2004年江苏镇江市)-8的立方根是;(3…     

(a~(1/2))~2与(a~2)~(1/2)辨析及运用

在学习二次根式时,部分同学常将(a)2与a2混为一谈,误认为(a)2=a2,其实,二者并不一样,现从以下几个方面加以辨析:1、写法不同:(a)2中平方在根号外;而(a2)中平方在根号内。2、读法不同:(a)2读作a的算术平方根的平方;a2读作a的平方的算术平方根。3、运算顺序不同:(a)2是先求a的算术平方根,然后再求这个算术平方根的平方;而a2先求a的平方,再求a2的算术平方根。4、取值范围不同:在(a)2中,a的取值范围是非负实数,即a≥0;当a<0时,无意义;而在a2中,a的取值范围是全体实数。5、结果不同:(a)2=a(a≥0)(a2)=|a|=a(a≥0)-a(a<0)在具体计算时,(a)2(a≥0)…     

略谈一个不等式的应用

设 x,y为正实数 ,则由均值不等式得(x y) 3=(12 x 12 x y) 3≥ (3·314x2 y) 3=2 74x2 y.∴ (x y) 3 ≥ 2 74x2 y(* ) ,当且仅当 y=12 x时不等式取等号 .不等式 (* )形式简单 ,但在不等式证明中往往有独到的作用 ,下面举例说明之 .例 1　已知 a,b,c∈R .求证 :(a 1 ) 3b (b 1 ) 3c (c 1 ) 3a ≥ 814.(《中等数学》2 0 0 0年第 4期数学奥林匹克问题 91 )证明　由 (* )式得(a 1 ) 3≥ 2 74a,(b 1 ) 3≥ 2 74b,(c 1 ) 3≥ 2 74c,∴ (a 1 ) 3b (b 1 ) 3c (c 1 ) 3a ≥ 2 74(ab bc ca)≥ 2 74· 3·3ab· bc· ca=814.例 2　已知实数 a>1 ,b…     

浅谈(a~(1/2))2与(a~2)~(1/2)的联系与区别

(!a)2=a(a≥0)①和!a2=a=-a(a(a≥a<00)&)②是二次根式中的两个很重要的公式,是进行根式化简运算的基础.不少同学对这两个公式理解不够深刻,常常混为一谈,因而在应用时常出现许多错误,其实这两个公式之间既有联系又有区别.一、两式所表示的意义不同(!a)2表示a的算术平方根的平方;而!a2表示a平方的算术平方根.二、两式的运算顺序不同(!a)2先算a的算术平方根,再算!a的平方;而!a2先算a的平方,再算a2的算术平方根.例如(!4)2=22=4,而!42=!16=4,!(-4)2=!16=4.三、两式中字母a的取值范围不同在(!a)2中,a的取值范围是a≥0;而在!a2中,a的取值范围是一…     

二次根式除法运算的三种思维方法

1.直接用商的算术平方根的性质把 ab=ab (a≥ 0 ,b>0 )反过来 ,得 ab= ab(a≥ 0 ,b>0 )。当被除式的被开方数能被除式的被开方数整除时 ,可以运用 ab=ab(a≥0 ,b>0 )进行二次根式的除法运算。例 1 .计算下列各式 :(1 ) - 1 23÷ 56;(2 ) 2 x2 y2z3 ÷ (- xy2 z)。解 :(1 ) - 1 23÷ 56=- 1 23÷ 56= - 53× 65=- 2。(2 ) 2 x2 y2z3 ÷ (- xy2 z) =- 2 x2 y2z3 × 2 zxy= - 4 xyz2 =- 2z xy。说明 :这种方法对于一般情况不完全适用。对于一般情况 ,通常采用分母有理化的方法。2 .分母有理化分母有理化 ,即把分母中的根号化去。如计算3÷ 5 ,…     

(a~(1/2))~2与(a~2)~(1/2)的关系及运用

有些同学在学习二次根式时，将与混为一谈，误认为其实．二者并不是一回事．为了帮助这些同学纠正这一错误认识，现将与的区别与关系归纳如下．与的区别有以下几点：1．形式不同：中平方号在根号外，而中平方号在根号内．2．意义不同：表示a的算术平方根的平方，而表示a的平方的算术平方根．3．运算顺序不同：是先求a的算术平方根，然后再求这个算术平方根的平方，而是先求a的平方，再求a2的算术平方根．4.a的取植范围不同：在中，a的取值范围是非负实数，即a≥0；而在中，a的取值范围是全体实数．5.得出计算结果的依据不同：是根据平方根的…     

浅析(a~(1/2))~2与(a~2)~(1/2)

二次根式中两个重要公式．不少同学对这两个公式常混为一谈，因而在解题中时常出现这样或那样的错误．其实这两个公式既有联系又有区别．一、两式中字母a的取值范围不同两式中有两个不同的二次根式人和M，因为它们都是算术平方根，所以被开方数都应该是一件负数．即中a≥0，中≥0．由于a2一定是非负数，所以中a可取一切实数．例如：无意义，而则有意足．又如中，只有当x≥3时才有意义，而根式中，x无论取什么数都成立．二、两式的左边表示的意义不同表示算术平方根后再平方，而In表示先平方再算水平方根，因此它们的运算顺序不同．例如：（…     

掌握根与系数关系定理的着眼点

一、理解根与系数关系的本质特征一元二次方程根与系数的关系 ,教材从两个方面进行了研究。一方面从一元二次方程的求根公式出发 ,揭示出两根和及积与系数的关系 ,即 :ax2 bx c=0 (a≠ 0 )的两个根是 x1、x2 ,则 x1 x2 =- ba,x1· x2 =ca。运用这个关系式可不解方程而从一元二次方程的一般形式求出它的两根之和与两根之积 ;另一方面可由两个数来得到一个以这两个数为根的一元二次方程。1.由已知一元二次方程求它的两根和与两根积。例 1.已知实数 a、b满足 a2 =2 - 2 a,b2 =2 -2 b,且 a≠ b,试确定 a b与 ab的值。分析 :整理 ,得 a2 2 a- 2…     

二次根式的乘除法教学谈

一、会区分二次根式的乘除法与二次根式的加减法。( 1)二次根式相乘 ,用被开方数的积作被开方数 ,同时根号外的因式也要相乘。如 :m a· n b =mn ab ( a≥ 0 ,b≥ 0 )。二次根式的加减 ,类似于整式加减中的合并同类项 ,是合并同类二次根式 ,合并时 ,只合并根号外的因式 ,被开方数不变。( 2 )二次根式加减是先把每个二次根式化成最简二次根式 ,然后再加减 ,而二次根式相乘时就不必化成最简二次根式。二、二次根式的除法是先写成分式的形式 ,然后再考虑 :1逆用商的算术平方根的性质 ab=ab( a≥ 0 ,b>0 ) ;2直接约分 ;3分母有理化。例 1.计算 :…     

点击均值不等式的4个层次

均值不等式√ab≤a＋b/2（a≥0,b≥0）,其中a＋b/2称为a、b的算术平均数，√ab称为a、b的几何平均数，因而该定理又可叙述为：2个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，其中等号成立的前提是a=b．     

多动脑 证法巧

问题1 关于x的方程(a2 b2 c2)x2-2(ab bc ca)x a2 b2 c2=0有两个实数根,其中abc≠0.求证:a∶b=b∶c=c∶a. 证法1:∵方程有两个实数根, ∴△=[-2(ab bc ca)]2-4(a2 b2 c2)2≥0. 展开得a4 b4 c4-2a2bc-2ab2c-2abc2 a2b2 b2c2 c2a2≤0.     

叠加帮你巧妙解题

叠加是指将几个等式的左边与左边、右边与右边相加起来解题的一种方法·对于某些多元有关的问题,考虑利用叠加这种方法,能把分散的条件集中,从而使解题简便易行·例1(“希望杯”初二数学竞赛题)已知a、b、c为实数,aa+bb=31,b b+cc=14,c c+aa=15,则ab+abbcc+ca的值是·解:由已知三等式,得a+bab=3,①b+cbc=4,②c+aca=5·③①+②+③,得c(a+b)+a(b+c)+b(c+a)abc=12,所以ab+abbcc+ca=6,从而ab+abbcc+ca=61·例2(“新蕾杯”初二数学竞赛试题)若a、b、c是不全相等的任意实数,且x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x、y、z满足()(A)都不小于0(B)都不大于0(…     

平方根和算术平方根的区别与联系

平方根和算术平方根是两个重要概念 ,它们之间很容易混淆 ,只有注意它们之间的区别和联系 ,才能更好地应用它们解题。一、区别1.定义不同 :如果 x2 =a,那么 x就叫做 a的平方根 ;如果 x2= a,且 x≥ 0 ,那么 x叫做 a的算术平方根。2 .个数不同 :一个正数的平方根有两个 ;一个正数的算术平方根只有一个。3.表示不同 ,读法不同 :正数 a的平方根表示为± a ,读作“正、负根号 a”;正数 a的算术平方根表示为 a ,读作“根号a”。4 .结果性质不同 :非负数的平方根是一对相反数 ;非负数的算术平方根一定是非负数。二、联系1.包含关系 :平方根中包含算…     

1999年天津市初中毕业高中招生考试数学试题

一、填空题(每空3分,共36分) 1.若a、b两实数互为倒数,则ab=__________. 2.如果F=(GmM)/(d~2)(G≠0,M≠0),那么m为________. 3.64的算术平方根是________. 4.若代数式(2x 1_)~2的值为9,则x的值为__________. 5.如果方程(1/3)(x~2)-2x a=0有实数根,     

代数初步知识试题精选

一、填空题。1.学校买来a个足球,每个b元;又买来9个篮球,每个45元。ab表示();ab 9×45表示()。2.一本故事书有a页,小华每天看8页,看了b天,还剩()页未看。3.如果a=3b(a、b都是不为0的自然数),那么a和b的最大公约数是(),最小公倍数是()。4.摆1个正方形需要4根小棒,摆2个需要7根小