抛物线在平面直角坐标系中的变换

在不改变抛物线y=ax^2＋bx＋c形状的情况下,可将抛物线的位置作平移和对称变换．了解并掌握抛物线的这些位置变换,对加深和理解二次函数的性质是大有好处的．     

与二次函数图象有关的不等式

二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠o）的图象是一条抛物线．抛物线在平面直角坐标系中的位置不同,其系数间的关系也相应地变化．以图1为例,我们来探讨通过二次函数的图象可以获得哪些信息：     

抛物线上的五个特殊点及其应用

二次函数y=ax^2＋bx＋c（a≠0）在平面直角坐标系中的图象是一条抛物线．如图1所示．可见二次函数y=ax^2＋bx＋c（0≠0）中的常数c表示抛物线与纵坐标轴Y轴相交于正半轴或负半轴或原点的位置．故而有：①若c〉0,抛物线与Y轴的交点在Y轴的正半轴;②若c〈0,抛物线与Y轴的交点在Y轴的负半轴;③若c=0,则抛物线过原点．     

二次函数顶点坐标的妙用

初中教材对二次函数y=ax^2＋bx＋c（a≠0）的图像从开口方向、对称轴和顶点三个方面进行了细致探讨．学习二次函数的关键是抓住顶点坐标（-b/ca,4ac-b^2/4a）．求解抛物线的最高点或最低点、函数的最大值或最小值、抛物线与x轴的位置关系,以及二次函数的实际应用题等全都与顶点有关．本文谈谈二次函数顶点坐标的妙用,供参考．     

二次函数的系数与图象

二次函数y=ax^2＋bx＋c（a≠0）系数的符号与它的图象有着非常紧密的联系,我们既可以根据a,b,c的符号来确定抛物线的大致位置,也可以根据抛物线的大致位置确定a,b,c的符号（或关系）．现从2009年中考试题中选出数例,将其常见的关系归纳如下,供同学们学习时参考．     

探究抛物线的平移、对称与旋转

二次函数Y=ax 2 ＋bx＋c（a≠0）的图象是一条抛物线．抛物线与Y=ax2的形状相同,只是位置不同．把抛物线Y=ax2向左（或向右）平移h个单位,再向上（或向下）平移k个单位就可得抛物线Y=a（x＋h）2＋k的图象．“h值正负,左、右移,K值正负,上、下移;”简记为：左加右减,上加下减．解题时,应根据具体情况、具体分析,根据需要选用恰当解析式的可使思路清晰、运算简便、事半功倍．     

3.5二次函数的图象和性质

第1课时二次函数的概念和性质 1．二次函数的概念 一般地,称y=ax^2＋bx＋c（a≠0,a,b,c为常数）表示的函数为二次函数． 2．二次函数的图象和性质 （1）二次函数的顶点式为y=a（x-h）^2＋k（a≠0）,它的图象是对称轴平行于y轴的抛物线．     

二次函数学习指要

y＝ax２＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠０）是二次函数的一般形式，图象是抛物线．通过配方，可以把二次函数表示成y＝a（x－h）２＋k的形式，此时h＝－b２a，k＝４ac－b２４a．由此可以确定这条抛物线的对称轴是直线x＝－b２a，顶点坐标是（－b２a，４ac－b２４a）．当a＞０时，抛物线开口向上；当a＜０时，抛物线开口向下．如果知道一条抛物线上三点的坐标，那么可用待定系数法求出相应的二次函数的解析式．关于二次函数的图象，教科书１３．７节用了很大篇幅讲述了用平移法作出y＝ax２＋bx＋c的图象（即由抛物线y＝ax２左右上下平移得到）…     

抛物线对称性的妙用

学习了二次函数及其图象后,同学们都知道,抛物线y＝αx2＋bx＋c是轴对称图形,它的对称轴是直线x,抛物线的顶点在对称轴上．解决有关二次函数的问题时,若能充分应用抛物线的对称性,则可给出特别简捷的解法．例1已知抛物线的对称轴为X＝－2抛物线与X轴两交点间的距离为2,交y轴于点（O,2）,求此抛物线的解析式．（1997年,苏村1市）分析设抛物线的解析式为y一一’＋bx＋c,按照常规解法,需要解关于a、入c的三元二次方程组,从而求得a、入c的值．这种解法,运算过程是相当繁杂的．若利用抛物线的对称性,解法就简捷了．因为抛物线的…     

二次函数解析式在对称变换下的变化规律

<正>求二次函数平移和对称后的解析式是中考热点问题．对于二次函数平移，我们熟知，先将抛物线通过配方化成顶点式y=a(xh)²+k(a≠0)，再根据平移规律:左加右减，上加下减，可求得其解析式．显然抛物线无论作何种对称变换，其形状没有发生变化，即|a|不变．因此要求抛物线经过对称变换后的解析式，我们可先确定原抛物线的顶点坐标及开口方向，再根据两抛物线顶点对称的规律，来确定二次函数的三个参数a,h,k变化规律;我们还可以根据坐标对称的特征，归纳出二次函数的一般式y=ax²+bx+c(a≠0)对称后的解析式及a,b,c的变化规律．现分类阐释抛物线经不同对称变换后的解析式的变化规律，供大家参考．     

初中二次函数单元训练要点

训练要求：掌握二次函数的有关概念、图像及性质。认陈内容：二次函数的定义及有关概念;二次函数的图像及性质;抛物线y＝ax2与y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的变换关系;二次函数y＝ax’＋bx＋c与二次方程ax’＋bX＋X＝0间的关系。例1．求抛物线y＝－7x‘－x＋3的开D万向、顶“““”‘“”“””“”～’6“““—”“”“““”“””点坐标、对称轴方程,并画出略图。此例考查二次函数的基本性质和图像。解：（略）评注：解此类题,先把国数方程式的右边配方,再解答比较简便;画略图只需确定顶点坐标,图像与坐标轴的交点,对称轴即可。例2…     

中考题中抛物线顶点问题的浅析

二次函数图象的顶点是二次函数的重点内容．它涉及的知识面广,是中考试卷中的热门题．现以1997年中考题为例介绍如下．一、顶点与抛物线解析式例1已知二次函数y＝（m2－2）x2－4mx＋n的图象的对称轴是x＝2,且图象的最高点在反比例函数的图象上,求此二次函数/的解析式．（1997年贵州省中考题）解析对称轴与的图象相交,把X＝2代入得抛物线的顶点（2,1）．再由对称轴求得m1＝－1,m2＝2舍去,因抛物线有最高点,a＜0）,’．解析式为y＝－（x－Z）’＋l,即y＝－x’＋4x－3．二、顶点与抛物线的平移例2一条抛物线是由y＝－xZ的图象经过…     

平移后的二次函数图象解析式问题

平移后的二次函数图象解析式问题．综合考查了函数图象平移知识．函数解析式求法，抛物线中几何图形性质等．知识覆盖面广．综合性强．是近几年常见的中考综合题型．我们知道，二次函数图象平移后与原来的二次函数图象形状相同（即a不变），R是位置改变．最能反映它们位置变化特征的是其顶点坐标．一般平移前要把函数解析式写成顶点式y=。（。＋｝。V＋k．若图象向左平移h（儿）0）个单位，自变量括号内加地．即y一。（x＋h十几V十八．若图象向右平移地（儿）0）个单位，自变量括号内减地·即），一Q（。、＋h一凡）’＋k；若图象向上平移…     

例谈抛物线平移中顶点的妙用

在二次函数的图象和性质的教学过程中,有关二次函数y=a（x＋h）2＋k的平移问题,同学们普遍感到闲难．其关键在于h、k的符号与平移方向之间的关系难以记清,解题时也容易出现错误．实际上,由于抛物线的移动是整体平移,利用顶点的平移就可反映出抛物线的平移情况．     

用好抛物线的对称性

二次函数y=ax＋bx＋c（a≠0）的图象是一条关于轴对称的抛物线,当我们面对有关抛物线的问题时如果能用好它的对称性,则能化繁为简,迅速求解．     

系数符号和抛物线

二次函数y=ax^2＋6x＋c（a≠0）的图像是抛物线,抛物线的对称轴是x=-b/2a,顶点坐标为（-b/2a,4ac-b^2/4a）系数a、b、c的符号与抛物线的位置之间有如下关系     

学习二次函数要注重应用

二次函数是初中数学重点内容之一．复习时，既要掌握二次函数的图象及性质，更要注重它的应用．任何二次函数y＝ax２＋bx＋c（a≠０）通过配方，总可以变成y＝a（x＋b２a）２＋４ac－b２４a的形式．由于它的图象是抛物线，故可知：（１）抛物线以直线x＝－b２a为对称轴；（２）抛物线的顶点是（－b２a，４ac－b２４a）；（３）当a＞０时，抛物线开口向上，在x＝－b２a处取得函数最小值，y最小＝４ac－b２４a；当a＜０时，抛物线开口向下，在x＝－b２a处函数有最大值，y最大＝４ac－b２４a．学习的目的在于应用．能否运用二次函数解决实际问…     

中考函数知识综合题

函数知识综合题，一直是中考命题热点．它以《函数及其图象》一章知识为核心，以二次函数为纽带，综合较多知识点，不仅考查函数基础知识，更考查数形结合等思想方法的运用能力，丰富的分析、推理、变换能力．虽然这类题近年来难度下降，但还有许多地方将它放在压轴的位置上．例１如图１，已知二次函数y＝ax２＋bx＋c的图象经过原点O，并且与一次函数y＝kx＋４的图象相交于A（１，３）、B（２，２）两点．（１）分别求出一次函数、二次函数的解析式；（２）若C为x轴上一点，问：在x轴上方的抛物线上是否存在点D，使S△OCD＝９１６S△OC…     

第3课时 二次函数与一元二次方程

知识梳理 1．二次函数与一元二次方程之间的关系． （1）抛物线y=ax^2＋bx＋c（a≠0）与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax^2＋bx＋c=0的根． （2）一元二次方程ax^2＋bx＋c=0的根可以看做抛物线y=ax^2与直线y=-bx-c交点的横坐标．     

如何充分利用抛物线图象所提供的信息

图象也是一种语言,二次函数的图象是一条抛物线．但它在直角坐标的位置不同,带给我们的信息也千变万化．准确分析图象的性质,是学好二次函数的关键．