一道赛题的拓展与简证

题目:圆内接凸四边形 ABCD 的面积记为S,AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,证明:(1)S=((p-a)(p-b)(p-c)(p-d))~(1/2),其中 p:(a b c d)/2;(2)如果四边形 ABCD 同时具有外接圆和内切圆,则 S=abcd~(1/2).(2005年北京市高一赛题)本题可作如下拓展:定理:任意凸四边形 ABCD 的面积是 S=     

平面凸四边形的一个恒等式

下面两个定理是大家所熟悉的:定理1平面凸四边形ABCD的四边长为AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,面积为S,则当此四边形ABCD内接于圆时,其面积最大,即有     

四边形的一组新面积公式及其应用

本文借助于向量的数量积给出平面任意四边形的一组新面积公式,并举例介绍其应用.引理1对平面任意四边形ABCD,有SABCD=12AC·BD·sinα(其中,α是对角线AC、BD所成的角)图1证明:(1)如图1,若四边形ABCD是凸四边形,则SABCD=S△PAB S△PBC S△PCD S△PDA=12PA·PB·sin∠APB 12PB·     

平面凸四边形的一个恒等式

下面两个定理是大家所熟悉的：定理1 平面凸四边形ABCD的四边长为AB=a,BC=b,CD=C,DA=d,面积为S,则当此四边形ABCD内接于圆时,其面积最大,即有4S≤√（-a＋b＋c＋d）（a-b＋c＋d）（a＋b-c＋d）（a＋b＋c-d） （1）,当且仅当四边形ABCD内接于圆时,式（1）取等号．     

凸四边形面积公式的证明及推广

对△ＡＢＣ ,记ＢＣ =ａ ,ＣＡ =ｂ,ＡＢ =ｃ,ｓ=(ａ ｂ ｃ) /2 ,△为其面积 ,则有海伦定理 :Δ =ｓ(ｓ-ａ) (ｓ-ｂ) (ｓ-ｃ)。对上述定理 ,有熟知的推广 :定理 1　对圆的内接四边形ＡＢＣＤ ,若ＡＢ =ａ ,ＢＣ =ｂ ,ＣＤ =ｃ ,ＤＡ =ｄ ,ｓ=(ａ ｂ ｃ ｄ) /2 ,△是其面积 ,则Δ =ｓ(ｓ-ａ) (ｓ-ｂ) (ｓ-ｃ) (ｓ-ｄ)。当ｄ =0时 ,我们得到海伦定理。文 [1 ]给出了一个凸四边形的面积公式如下 :定理 2　对凸四边形ＡＢＣＤ ,若ＡＢ =ａ ,ＢＣ =ｂ ,ＣＤ =ｃ,ＤＡ =ｄ ,ｓ=(ａ ｂ ｃ ｄ) /2 ,四边形ＡＢＣＤ的一组对角和为 2ｕ ,△是其…     

“余弦定理在四边形的一个推广”的一个注释

文 [1 ]的定理给出了余弦定理在四边形的一个推广 ,但该定理的题设是凸四边形 ,实际上 ,该定理可以推广到任意四边形 .定理　记四边形 ABCD(可以是凸的、凹的 ,也可以退化成三角形——即有一个角是平角的情形 )的四边长 AB=a,BC=b,CD= c,DA=d,两对角线长 AC=p,BD=q,则cos( B+ D) =( ac) 2 + ( bd) 2 - ( pq) 22 abcd .( A,B,C,D分别表示四边形 ABCD的相应内角 )证明　文 [1 ]已证出凸四边形的情形 ,该证明完全适合退化成三角形的情形 ,下面再证凹四边形的情形 (只证图 1的情形 ) .图 1在图 1中 ,AC与 BD的延长线交于点 O,∠ A…     

关于双心四边形一个命题的补充

文[1]指出:在双心四边形 ABCD 中,若其外接圆半径为 R,面积为 S,内切圆半径为 r,则(16r~2)/S≤cotA/2 cotB/2 cotC/2 cotD/2≤(8R~2)/S(1)笔者经研究发现,在双心 n 边形中也有定理在双心 n 边形 A_1A_2…A_n 中,若其外接圆半径为 R,内切圆半径为 r,面积为 S,则有     

等分线段的图形中的有趣性质——从2000年征解问题5.1中得到的启示

问题1如图1,凸四边形ABCD的两双对边的中点连线EF、GH相交于O,那么,图中阴影部分的两个四边形面积的和是四边形ABCI〕的面积的几分之几?请证明你的结论. (江苏省第十五届初二(一试)赛题改编) 猜想利用特例猜想.如果四边形ABCD是一个正方形,那么图1中,四个四边形全等,这时,‘。,一合“四边形A贺二 证连结OA、OB、OC、OD,这样将四边形分成八个小三角形,分别标上数字①、②、③、④、⑤、⑥、⑦、⑧(见图2),由于等底同高的三角形面积相等,所以S①一S忿,S③~S④,S⑤一S⑥,S⑦一S⑧,于是S麟一S。:+S⑧十。.01,。.0.,。.。S。+S,…     

四边形的勃罗卡角范围

<正>如图,凸四边形ABCD中,点P满足∠PAB=∠PBC=∠PCD=∠PDA=θ,则称点P是四边形ABCD的勃罗卡点,而θ叫四边形ABCD的勃罗卡角.本文给出四边形勃罗卡角的范围,并利用文[1][2]的结论,给出几个有趣几何不等式.定理若凸四边形ABCD的勃罗卡角为θ,     

有关圆内接四边形的两个新结论

给出圆内接四边形一个新的性质定理和判定一个凸四边形是圆内接四边形的充要条件.     

一组三角不等式的加强与推广

文[1]给出了一组和圆内接四边形有关的三角不等式,笔者研读后,发现对于文件可[1]的后两个定理条以加强为任意凸四边形.现给出证明并作适当推广.     

关于四边形的一个不等式

定理 设,,,abcd和S分别表示四边形的四边长和面积,,,,tuvw为正实数,则 44(1)(1)tuabuvwvwt 44(1)(1)vwcdwtutuv 216.3S ()* 当且仅当tuvw===且四边形为正方形时,上式等号成立. 证明 注意到,在边长给定的四边形中,以其内接于圆时的面     

四边形边长与面积间的一个不等式

定理设凸四边形ABCD的边长和面积分别为a,b,c,d和△,则有(a2 b2)(c2 d2)(b2 c2)(d2 a2)≥16△4.(1) 证明设四边形ABCD的对角线AC,BD的长分别为m,n,AC,BD交于O,夹角为θ,则ac bd≥mn.     

圆内接四边形有旁切圆的一个充要条件——兼擂题(112)解答

<正>1问题的提出一个既有外接圆又有内切圆的四边形被称为双心四边形,文[1]给出一个双心四边形的充要条件如下.定理设ABCD是一个圆的内接凸四边形,对角线AC和BD相交于点X,则ABCD是双心四边形当且仅当下列两个条件同时成立(i)点B与点D在AC的垂足平分线的     

关于四边形的钝角三角剖分

一、1993年全国高中数学联赛两试第一题为: 设一凸四边形ABCD,它的内角中仅有∠D是钝角。用一些直线段将该四边形分割成n钝角三角形,但除去A,B,C,D外,在该凸四边形的周界上,不含分割出的钝角三角形顶点,试证n应该满足的充分必要条件是n≥4。本题对凸四边形加上仅有一个钝角的限制条件,对剖分加上周界上没有新剖分点的条件,去除这两限制条件,对凸四边形,讨论钝角三角形剖分问题,结论又将如何呢?本文给出上述问题的全面回答。二、一个引理     

1982年联合数学竞赛试题的其他解法和试卷简析

这里首先给出第一大题的详解。一、选择题 1.如果凸n边形F(n≥4)的所有对角线都相等,那么(A)F∈{四边形},(B)F∈{五边形),(C)F∈{四边形}∪{五边形},(D)F∈{边相等的多边形}∪{内角相等的多边形}。解:注意到对角线都相等的凸四边形存在,故结论(B)不成立;同样,对角线都相等的凸五边形存在,故结论(∧)也不成立;进一步可找到对角线都相等,而边不相等,内角也不相等的凸四边形,如等腰梯形,故结论(D)也不成立。所以结论(C)成立。     

两个著名定理的等价性

本文给出两个著名定理:西姆松线定理与托勒密定理等价性的证明.为方便,将两个定理写在下面:托勒密定理:若四边形ABCD是圆内接四边形,则AB·CD AD·BC=AC·BD.西姆松线定理:三角形外接圆上任一点在三边所在直线上的射影共线.1 用西姆松线定理证明托勒密定理文[1]已给出证明,简述如下:证明 ABCD是任一凸四边形,连接AC,如图,过D向△ABC各边作垂线,垂足分别为 C_1、A_1、B_1,连结C_1B_1,B_1A_1,由西姆松线定理得:     

凸四边形的一个性质及其应用

<正>初中数学中的面积问题,一直是数学教学中必须面对的问题之一.尤其是涉及非特殊四边形面积问题(多涉及不规则图形面积的计算),无疑增加了解题的难度.为化解难点,本文介绍凸四边形的一个性质及其应用.一、性质如图1,已知凸四边形ABCD,对角线AC     

初中毕业班数学辅导与练习

一、复习要点:(1)弄清垂线、斜线、四种命题、外心、内心、垂心、重心、外切、内切等基本概念。(2)要围绕公理和定理进行复习,如三角形中的公理、定理,各种特殊四边形的性质和定理,相似三角形的有关定理,在圆中,弧弦角的定理,切线割线的定理,与多边形的关系定理。(3)掌握计算公式,如三角形而积 S=1/2ah_a=1/2absinC,正、长方形面积,平行四边形面积 S=ah_a=absinα(α为 a·b夹角),菱形面积 S=aha=a~2sinα=1/2L_1L_2     

四边形面积的一个性质及其推论的应用

定理凸四边形的两条对角线把四边形划分成的四个小三角形中,两组对顶的两个三角形面积之积相等。证明如图1,记∠AOB=a,△AOB、△COD、△AOD和△BOC的面积分别为S_1、S_2、S_3和S_4,则由三角形面积公式,有