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一、分段函数的反函数分段函数的反函数一定也是分段函数,具体求时,一般是把每一段当作单个函数来求,最后写成分段函数的形式.在这个过程中要注意函数的定义域、值域与其反函数的值域、定义域的对应关系.例1设函数f(x)=-log3(x 1),x∈(6, ∞),3x-6,x∈(-∞,6]的反函数为f-1(x),若f-119=a,则f(a 4)=.解当x>6时f(x)<0,x≤6时f(x)>0.又f-119=a,∴f(a)=91,∴3a-6=91,解得a=4,∴f(a 4)=f(8)=-log3(8 1)=-2.例2求函数f(x)=x2-1,x∈[0,1),239-x2,x∈[-3,0)的反函数.解由y=x2-1(0≤x<1),解得x=1 y(-1≤y<0).又由y=239-x2(-3≤x<0)得x=-9-49y2(0≤y<2… 相似文献
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李广修 《数学大世界(高中辅导)》2006,(11)
有这样一道测试题:若函数f(x)=x3-12x在区间(-∞,a]上存在反函数,求a的最大值.同学们的解法大致有以下三种:解法1:∵f(x)=x3-12x∴f′(x)=3x2-12,∴由f′(x)>0,得x∈(-∞,-2)∪(2, ∞);由f′(x)<0,得x∈(-2,2).∴函数f(x)=x3-12x的单调增区间为(-∞,-2]、[2, ∞),单调减区间为[ 相似文献
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《高中数学教与学》2017,(17)
<正>题目(2017年全国高考题)已知函数f(x)=ax~2-ax-xln x,且f(x)≥0.(1)求a;(2)证明:f(x)存在唯一的极大值点x_0,且e~(-2)相似文献
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在利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性时,有以下几种常见错误。1.概念不清例1.判断函数f(x)=3x~2,x∈(-2,2)的奇偶性。错解:∵f(-x)=3(-x)~2=3x~2=f(x),∴题给函数是偶函数。剖析:由奇(偶)函数的定义,“对于函数定 相似文献
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冯国明 《数理天地(高中版)》2006,(11)
在数学竞赛中,许多方程问题都是通过构造函数而解得.本文通过几个实例,给出根据题目特征构造奇函数来解竞赛题的方法.例1设f(x)=x~3-3x~2 6x-6,若f(a)=1,f(b)=-5,则a b=( ) 相似文献
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画函数的图象、求函数的极值、判断函数的奇偶性、确定函数的单调区间等,一般都要以解析式y=f(x)为基础。因之,求出f(x)是必要的。下面介绍几种求法。一待定系数法例1.已知:f(x)为有理整函数且 f(2x)+f(3x+1)=13x~2+6x-1 求:f(x) 解:设f(x)=ax~2+bx+c 则f(2x)+f(3x+1) =13ax~2+(6a+5b)x+a+b+2c ∵ 13ax~2+(6a+5b)x+(a+b+2c) =13x~2+6x-1比较系数得则f(x)=x~2-1。二换元法例2若:f[f(x)]=(x+1)/(x+2)求:f(x) 相似文献
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扬莉 《数理天地(高中版)》2006,(11)
导数是近些年来高中课程加入的新内容,是一元微分学的核心部分.本文就谈谈导数在一元不等式中的应用.例1已知x∈(0,π/2),求证:sinx<x<tanx.证明构造函数f(x)=x-sinx,g(x)=tanx-x,x∈(0,π/2),则f′(x)=1-cosx>0,g′(x)=sec~2x-1>0.所以f(x),g(x)在(0,π/2)内是单调递增函数, 相似文献
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文献[1]提供了一道奥赛题,这是一个三元对称不等式:题目设正实数 a,b,c 满足 a b c=1.证明:10(a~3 b~3 c~3)-9(a~5 b~5 c~5)≥1.(1)1 不等式的另证引理已知函数 f(x)=x 3x~2-x~3-3x~4,则当1≥x y≥x≥y≥0时,f(x)≥f(y)≥0.(2)证明当1≥x y≥x≥y≥0时,首先f(y)=y 3y~2-y~3-3y~4=y(1 3y)(1-y~2)≥0;其次f(x)-f(y)=(x-y) 3(x~2-y~2)-(x~3-y~3)-3(x~4-y~4)=(x-y){1-(x~2 xy y~2) 3(x y)[1-(x~2 y~2)]}.因为 x-y≥0,又1-(x~2 xy y~2)≥(x y)~2-(x~2 xy y~2)=xy≥0,1-(x~2 y~2)≥(x y)~2-(x~2-y~2)=2xy≥0,所以 f(x)-f(y)≥0,即 f(x)≥f(y)≥0.不等式《1)的证明为方便起见,记f(x)=x 3x~2-x~3-3x~4 相似文献
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第 3 1届西班牙数学奥林匹克第 2题为 :证明 :如果 (x x2 1) (y y2 1) =1,那么x y =0 .1 利用绝对值的性质证明 由已知得x x2 1=1y2 1 y,∴x x2 1=y2 1-y ,∴x y =y2 1-x2 1,∴x y =(y -x) (y x)y2 1 x2 1,∴ (x y) (1 x -yx2 1 y2 1) =0 .∵x2 1>|x| ,y2 1>|y| ,∴x2 1 y2 1>|x| |y|≥ |x -y| ,∴ |x -y|x2 1 y2 1<1,∴ 1 x -yx2 1 y2 1≠ 0 ,∴x y =0 .2 利用函数的性质证明 构造函数f(x) =lg(x x2 1)(x∈R) .可以证明函数f(x)在R上是奇函数且单调递增 .∵ (x x2 1) (y … 相似文献
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1994年全国高考理科数学第(22)题为: 已知函数f(x)=tgx,x∈(0,π/2),若x_1,x_2∈(0,π/2),且x_1≠x_2,证明1/2〔f(x_1) f(x_2)〕>f(X_1 X_2/2)。 其实,该题可以加强为: 已知函数f(x)=tgx,x∈(0,π/2), 相似文献
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高考数学信息题是从所给材料中获取信息,并用于新问题解决的一类新题型.由于这类题立意新颖、构思精巧、解法灵活,能突出对考生的阅读理解能力、观察能力、获取信息与处理信息能力和独立研究探索问题能力的考查,因此一直是高考中的热点,备受命题者的青睐.本文结合实例对数学信息题进行分类解读.一、表格型信息题表格能集中给出解题信息,简洁明了.理解表中内容,根据数据特征找出数量关系进行计算或推理,是求解表格信息题的关键.【例1】函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的部分数值如下:x-3-2-10123456y-80-2404001660144280则函数y=lgf(x)的定义域为.解析观察表中有三个x值使f(x)=0,联想二次函数的零点解析式y=a(x-x1)(x-x2),因而不难设出f(x)的解析式,进而求之,再解高次不等式即可求出函数y=lgf(x)的定义域.设f(x)=a(x+1)(x-1)(x-2),而f(0)=4,∴a=2,∴f(x)=2(x+1)(x-1)(x-2).要使y=lgf(x)有意义,则有f(x)=2(x+1)(x-1)(x-2)>0,由数轴标根法解得-12.∴函数y=lgf(x)的定义域... 相似文献
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赵建中 《数学大世界(高中辅导)》2005,(5):17-18
函数在每年高考试题中都占有相当大的比重,从2004年高考题目中又可见到有拓宽函数命题领域的趋向.本文浅析高考函数命题的新趋势.一、三次函数闪亮登场由于导数的出现使三次函数问题呈现出新奇的亮点.【例1】已知函数f(x)=ax3-3x2-x-1在R上是减函数,求a的取值范围.解:由f(x)x∈R是减函数.故f′(x)=3ax2-6x-1<0当3ax2-6x-1<0]a<0且Δ=36 12a≤0∴a≤-3,即a∈(-∞,-3).【例2】已知函数f(x)=ax3 bx2-3x在x=±1处取得极值.(Ⅰ)讨论f(1)和f(-1)是函数f(x)的极大值还是极小值;(Ⅱ)过点A(0,16)作曲线y=f(x)的切线,求此切线方程.解:(Ⅰ)f′(x)=3ax… 相似文献
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2008高考山东卷第21题第二问是这样的:已知函数f(x)=1/(1-x)n ln(x-1),证明:对任意正整数n,当x≥2时,有f(x)≤x-1,其证明的方法是构造函数,但标准答案分n为奇数、偶数讨论,有些嗦, 相似文献
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田华 《第二课堂(小学)》2007,(1)
一、分离参数法例1设不等式mx2-x 1>0在区间(1,3)上对一切x恒成立,求实数m的取值范围.解析不等式mx2-x 1>0在(1,3)上恒成立,即m>xx-21当x∈(1,3)时恒成立.设g(x)=xx-21=-(1x-12)2 41,x∈(1,3),∴当1x=12,即x=2时,g(x)max=14,∴m>41.例2已知函数y=1 2x m·4x"的定义域是(-∞,1), 相似文献