由一个堆积问题引出的两类数列的求和公式

数列求和中的堆积问题,是应用初等数学方法来解决数列求和问题中的难点,将此问题进行总结推广,给出了等差数列与等比数列中堆积问题求和的两个公式:Sn=C1na1 C2nd与Sn=(a1)/(1-q)n-(q-qn 1)/(1-q)(q≠1).但对于一般数列求和中的堆积问题,仍有待于深入地探索与研究.     

谈数列拆项求和

数列求和问题是初等数学重要内容之一。数列求和的题目,往往形式比较复杂,不少学生束手无策。数列求和的方法可直接利用等差、等比数列求和公式来求;或通过某些方法(如加、减、拆、错位相减……等方法)把某些不是等差、等比数列的数列“转化”为等差等比数列,来求和;对某些不易转化为等差、等比数列的数列“拆项求和法”是一种最常用的方法。本文仅对中学数学常见的几种类型的拆项求和作一些介绍。所谓拆项求和是指:如果一个数列的每     

等差数列平方求和的计算公式

本文利用数列求和中常用的方法——“拆项求和法”,把自然数平方求和问题n∑ k=1 k^2推广到k为等差数列的情形,给出一个实用的计算公式,从而得到一类求和问题的一个统一表达式。     

浅析“裂项”法求和

在数列求和中“裂项”法是一种常用的方法,即把数列的一项分裂成另一个数列的相邻两项之差,然后用“错位相加法”而得出数列之和.下面举出几例加以说明:例1 求和1·2·3 2·3·4 3·4·5 …… n(n 1)(n 2)解:研究此数列的一般项 a_k,有a_k=k(k 1)(k 2)=-1/4[(k-1)·k(k 1)(k 2)-k(k 1)(k 2)(k 3)]令 k=1,2,3……n 得     

数列求和的常用方法

数列求和是数列基本内容之一 .由于数列求和题型多样、技巧性强 ,是数列学习的一大难点 .下面通过一些实例 ,对数列求和的常用方法作一归纳 ,借以进一步提高数列求和能力 .一、直接求和法把前 n项直接相加或直接应用等比、等差、自然数方幂等数列求和公式得出结果的一种方法 .例 1　求数列 1,( 3+ 5) ,( 7+ 9+ 11) ,( 13+ 15+ 17+ 19) ,… ,前 n项的和 .解 :本题实质是一个求奇数数列的和 .在前 n项中共有 1+ 2 + 3+… + n =12 n( n + 1)个奇数 ,故最后一个奇数为 2 . 12 n( n + 1) - 1=n2 + n - 1.因此所求数列前 n项和为∴ Sn =12 n( n +…     

拆项求和琐谈

翻阅案头几本有关高中代数的书刊。发现凡介绍数列求和者,均未忘记介绍“拆项求和”一法。油然生趣。遂对此法加以归纳探讨。略有收益,笔录如下。一拆项的手段 (一) 利用乘法公式例1。求和 S_n=1~2+2~2+3~2+…+n~2。略解:∵(k+1)~3=k~3+3k~2+3k+1, ∴k~2=1/3[(k+1)~3-k~3-3k-1]。     

求和型不等式证明的常用方法

高考重视能力考查,重视在知识网络交汇点命题.作为主干内容的数列部分,其前n项求和型不等式sum from k=1 to n a_k≤f(n)(或)sum from k=1 to n a_k≥f(n)因为能较好综合数列知识及不等式证明技巧,较好地考查学生的基     

微积分在数列求和中的应用

数列求和是中学阶段数列部分的重要内容之一,有许多初等解决方法．本文探讨的是运用微积分知识进行数列求和的基本方法,从中可见高等数学与初等数学的密切联系．     

数列求和方法

数列求和是数列中的重要内容,特殊数列如等差、等比数列可用求和公式。其他数列的求和就比较困难,以下介绍几种常用的数列求和的方法。一、拆项相消法如果数列{a_n}的通项能拆成两项之差即a_n=f(n 1)-f(n),则     

三角数列的求和

本文就有关正弦、余弦数列求和问题作一统一处理,先运用复数与棣美弗定理证得一个基本(或一般)公式,然后由此公式出发,导出其它一些求和公式。我们知道,当z≠1时,由等比数列求和公式 1+z+z~2+…+z~n=(z~(n+1)-1)/(z-1) (1) 令z=r(cosx+isinx),则z~k=r~k(coskx+isinkx),k=1,2,…,n代入(1)得左边 1+rcosx+r~2cos2x+…+r~ncosnx+i(rsinx+r~2sin2x+…+r~nsinnx) (1)式右边     

自然数k次方的求和

自然数的求和以及自然数平方的求和 ,在普通高中教材中均有详细的证明过程 ,并给出了相应的求和公式 ,而自然数的更高次方的求和 ,在一些专业性较强的文献资料中也给出了一些求和公式 .但自然数k(k为自然数 )次方的求和 ,是否能用一个统一的公式来表示呢 ?笔者经过长时间的探索 ,得出的结论是 :自然数k次方的求和公式能够用一个统一的求和公式来表示 ,用这个公式可以求出自然数k次方的前N项和 .下面先给出求和公式 ,然后加以证明 .Sk=1k + 1 [( 1 +n) k+1-(n + 1 ) -(C2 k+1Sk- 1+C3k+1·Sk- 2 +C4 k+1Sk- 3+… +Ck- 2k+1S3+Ck - 1к+1…     

一类级数的求和公式

本文探讨了级数sum from n=1 to ∞(1/[n(n 1)…(n k)]~m)(其中k≥0为整数,m=1,2,3且m=1时k≠0)的求和方法.给出了m=1时级数的部分和与级数和公式;分别给出了m=2,3时的求和递推公式.同时求出了一些级数的和值.     

一道组合习题与一串数列求和题

习题是数学的心脏,数学课本习题是数学教材的重要组成部分。刻意探讨习题在解题中的应用,能帮助学生学会课本知识,又为指导学生提高解题能力开辟了一条有效的途径。高中代数(甲种本)第三册P.83,18(2)求证:C_(n-1)~m C_(n-2)~m … C_(m-1)~m C_m~m =C_n~(m 1) 这道习题的结论可来巧妙地解一些数列求和题。例1 求下列数列的和: (1)1 2 3 4 … n; (2)1·2 2·3 3·4 … n(n 1); (3)sum from k=1 to n k(k 1)(k 2)(k 3)…(k p-1)。解:(1)1 2 3 4 … n。     

再论一类数列的求和

在求某些离散型随机变量的数学期望时,我们会遇到一类数列的求和问题.将这类问题归纳、拓展为由两个等差数列对应项之积组成的数列的前n项的求和问题及两个等差数列、一个等比数列对应项之积组成的数列的求和问题.利用求和符号及初等数学方法得到这类问题的处理方法、结论及应用的实例.     

浅谈数列求和的方法

<正>数列是高中数学的重要内容之一,也是高考考查的重点知识.数列求和又是数列的重要部分,高中教材安排了等差和等比数列求和内容,但数列的形式复杂,绝大多数数列既非等差,也非等比,因此,我们要掌握一些简单数列的求和方法.数列求和常用方法有:(1)公式法;(2)倒序相加法;(3)分组转化法;(4)错位相减法;(5)裂项相消法.     

数列求和问题例析

一、倒序相加求和例1已知f(x)=4x4x+2,求S=1000k=1移f(k1001).解S=f(11001)+f(21001)+f(31001)+…+f(10001001).①∵f(x)+f(1-x)=4x4x+2+41-x41-x+2=1,把①式右边倒转过来,得S=f(10001001)+f(9991001)+f(9981001)+…+f(11001).②①式加上②式,得2S=眼f(11001)+f(10001001)演+眼f(21001)+f(9991001)演+眼f(31001)+f(9981001)演+…+眼f(10001001)+f(11001)演=1000.∴S=1000k=1移f(k1001)=500.二、错位相减求和形如邀a1b1,a2b2,…,anbn,…妖的数列中,若邀an妖为等差数列,邀bn妖为等比数列,那么数列邀anbn妖的前n项和Sn的求法,通常用错位相减…     

数列求和方法大全

<正>数列求和是数列的重要内容之一,除等差数列和等比数列有求和公式外,大部分数列的求和都需要一定的方法和技巧。下面结合实例具体谈谈数列求和的基本方法和技巧。1.公式法例1在等比数列{a_n}中,公比为q,S_n是其前n项和,若a_1=2,a_3=a_2+4,求S_n。解析:由题得2q²=2q+4,即q2=2q+4,即q²-q-2=0,解得q=2或q=-1。     

数列求和的若干种方法

对于等差数列、等比数列 ,教材中给出了明确的求和公式 ,但对于非等差、非等比的数列 ,我们如何求它们的和呢 ?本文总结介绍一些常见的特殊数列的求和基本方法 ,供同学们在学习中参考 .1　公式法这种方法就是利用现成的公式直接求数列的和 .除了教材中已有的等差数列、等比数列求和公式外 ,常用的公式还有 :自然数的平方和公式 12 2 2 32 … n2 =16 (n 1) .(2 n 1) ;自然数的立方和公式 13 2 3 33 … n3 =(1 2 3 … n) 2 =[n(n 1) ]24等等 .对于能转化为具有这种结构的数列 ,我们可直接利用这些公式进行求和 .例 1　已知数列 { an…     

组合数公式与一类数列求和

利用组合数性质不难证明公式: 用∑表示为用它求一类数列的和甚 为方便。 1.求连结自然数积的和 这类数列通项的特点是可直接用组合数表示。 例1 求和:1·2 2·3 3·4 … n（n 1）。 解　∵a_k=k(k 1)=2C_~2_(k 1).     

抓通项找规律——某些特殊数列求和基本思路

对于非等差、等比的特殊数列求和,没有一般公式可用,“抓通项,找规律”是解决这类问题的基本思路。所谓“抓通项,找规律”,即对数列的通项公式进行适当的变换,以寻求其规律,从而解决求和问题。例1 求数列1 1/2,3 1/4,5 1/8,…的前n项的和。解∵a_k=(2k-1)+1/2k(k=1,2,3,…)。可见,各项的整数部分成等差数列,而分数部分成等比数列。因此整数部分与分数