欧拉不等式的任意隔离

本文约定△ABC的几何元素如下:以a、b、c表示△ABC的三边;s、r、R、△分别表示△ABC的半周长、内切圆半径、外接圆半径、面积;三条中     

借助数轴确定三角形第三边的范围

[题目]已知△ABC的三边长分别是2、3、x.①当△ABC为任意三角形时,求第三边x的取值范围.②当△ABC为直角三角形时,求第三边x.③当△ABC为锐角三角形时,求第三边x的取值范围.④当△ABC为钝角三角形时,求第三边x的取值范围.分析与解:①由三角形的三边关系易得     

垂足三角形的性质与应用

AD、BE、CF 是锐角△ABC 的三条高,则△DEF 为△ABC 的垂足三角形(如图1),用S_(△ABC)、R 分别表示△ABC 的面积和外接圆半径.用 S_(△ABC)、L_(△DEF)分别表示△DEF 的面积和周长,则垂足三角形有如下性质:     

Janic不等式的推广及逆向不等式

本文约定:△ABC的三边长,外接圆半径,内切圆半径,面积以及三边对应的旁切圆半径分别为a、b、c,R、r,D,ar、br、cr,对△''ABC、△111ABC、△222ABC有类似表示. 1967年,RRJanic曾建立如下不等式[1]: 在△ABC中,有 2224bccbababcrrrrrr++? (1) GATsintsifas将(1)推广到两个三角形[2]: 在△ABC及△''ABC中,有 2224''''bccbababcrrrrrrD++矰. (2) 本文将其推广到三个三角形并得出推广结果的逆向不等式. 命题 在△111ABC、△222ABC及△''ABC中,有 121212121224''''bccbabaabbccRRrrrrrrrDD?+.(3) …     

三角形中一个不等式的应用

命题:△ABC的外接圆半径R与内切圆半径间成立不等式:R≥2r。证:(见原文图)过△ABC的顶点作对边的平行线,三直线围成△A′B′C′,则△ABC∽△A′B′C′,K=AB/A′B′=1/2。作外接圆的三条切线,分别平行于△A′B′C′的三边,围成△A″B″C″,(使△ABC的外接圆在为△A″B″C″的内切圆),△ABC∽△A″B″C″、     

三角形内等斜角三角形及其性质

已知△ABC,∠A、∠B、∠C所对的三条边分别记作a、b、c。今从三顶点A、B、C分别引对边的斜线AA_1、BB_1、CC_1,使得在保持同一顺序之下,有∠AA_1C=∠BB_1A=∠CC_1B=θ。则由三斜线AA_1、BB_1、CC_1相交所得的三角形△HJK称为原三角形△ABC的等斜角三角形。(图1) 定理1 设△HJK是△ABC的等斜角三角形,S_(△HJK)与S_(△ABC)分别表示△HJK与△ABC的面积,则有     

对一道竞赛题的再思考

课余小明解一道初中数学竞赛题:如图1,△ABC内有一点O,过O作各边的平行线,把△ABC分成三个三角形和三个平行四边形.若三个三角形的面积分别是1,1,2,求△ABC的面积.(2004,四川)他的解答过程如下:如图2,易知三个三角形与△ABC均相似.记△ABC的面积为S,则√S1√S √S2√S √√S S3     

与三角形垂心有关的两个不等式

定理 设非钝角△ABC的垂心为H,AH、BH、CH与△ABC的外接圆的另一个交点分别为A′、B′、C′,记△ABC的三边长为     

难题征解

52.锐角△ABC中,AD、BE、CF是三条高,H为垂心,记△ABC、△HBC、△HCA、△HAB的外接圆半径之和为m,内接圆半径之和为n,求证m+n=△ABC周长。 (安徽怀中黄全福提供) 53 设△ABC的旁切圆半径和面积分别为r_a、r_b、r_c、△,△A′B′C′的三边和面积分别为a′、b′、c′、△′。证明或否定r_a/a′+r_b/b′+r_c/c′≥3 3~(1/2)/2 (△/△′)~(1/2)等号当且仅当△ABC与△A′B′C′均为正三角形时成     

从Σsin(A/2)cos(B/2)的上下界谈起

设A、B、C表示△ABC的三个内角,s、R、r分别表示△ABC的半周长、外接圆半径和内切圆半径,表示循环和.定理1在△ABC中,有33sincos2224sABR澹,(1)当且仅当△ABC为正三角形时等号成立.证明不失一般性,无妨设,ABC#由A、B、C为△ABC的三个内角,则,,(0,)2222ABCp.由于在区间(0,/2)p内     

一道几何不等式的推广

我们在《几何不等式》([荷兰]O.Bottema等著,单尊译)一书中.见有下述一道命题:将△ABC分为四个较小的小三角形,中间的那一个△DEF内接于△ABC,其余三个在△DEF的三边上,则△DEF的面积≥min(△AEF的面积,△BDF的面积,△CED的面积) ①当且仅当D、E、F为△ABC三边中点时,等号成立.     

两个几何不等式猜想的证明

文[1]中,胡如松先生提出了若干猜想,由于多数猜想不难证明或否定,现仅对其中两个猜想予以证明. 设△DEF 为△ ABC 内接三角形(如图).并设△ ABC的三内角为 A、B、C;三边 BC = a、CA = b、AB = c ;EF = a0、FD =b0、DE = c0 .分别设△ ABC 、△ DEF 、△ AEF 、△ BDF 、△     

三角形内一个不等式的证明

定义:设△ABC的三内角为A、B、C,△A_1B_1C_1的三内角为90°-A/2、90°-B/2、90°-C/2,则称△A_1B_1C_1为△ABC的切点三角形(因为△A_1B_1C_1的几何意义是连接△ABC的内切圆与三边的切点所得的三角形,故取此名)。 下面叙述并证明本文中的定理。     

三角形中一组有趣的关系式

在三角形中,关于三角形中诸元素的等式屡见不鲜.本文给出一组有趣的关系式.设G是△ABC的重心,AD、BE、CF分别为三边上的高.∠A、∠B、∠C所对三边为a、b、c,α为△ABC中最大的内角,O、H分别为△ABC的外心、垂心,R为△ABC的外接圆半径.可得出下面几个命题.     

三角形“四心”到各边距离的不等式链

设△ABC的垂心H、内心I、重心G、外心O到三边的距离之和分别为∑HD_1,∑ID_2,∑GD_3,∑OD_4,我们有 以上不等式链中,①对锐角△ABC成立,而②,③对任意△ABC成立(等号当且仅当△ABC为正三角形时成立). 证明:设R、r与s分别为△ABC的外接圆、内切圆半径与半周长,则有     

有趣的“外心”与“垂心”

三角形的“外心”、“垂心”、“重心”共线,该直线称为欧拉线。欧拉线反映了三心之间的一种内在联系。三角形的“外心”、“垂心”、“重心”之间还有许多有趣的性质。 一、若△ABC的外心为O、重心为G、垂心为H,容易证明这三心之间的距离具有度量关系GH=2OG 二、若锐角△ABC的三边中点分别为D、E、F,△DEF的高线足分别为D′、E′、F′,容易证明△ABC的外心O是△DEF的垂心,又是△D′E′F′的内心;若△ABC是钝角三角形,则△ABC的外心O是△DEF的垂心,又是△D′E′F′的一个傍心。     

一道可商榷的立几题

《立体几何》甲种本p52.题18(2)如下: [题] 平面ABC外一点P到△ABC三边的距离相等,O是△ABC的内心.求征:OP⊥平面ABC. 该题通常是这样证明的(简述);由P到△ABC三边的距离相等:PD=PE=PF,根据三垂线定理     

巧用面积守恒法求内切圆半径

<正>苏科版教材九年级上册《中心对称图形(二)》中有这样一道练习题:如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB、BC、CA的长分别为5、3、4.求△ABC的内切圆半径r.分析连结OA、OB、OC,将△ABC分成三个小三角形△ABO、△BCO和△ACO(如图2).这三个三角形都具有下列特征:即分别以△ABC的三边AB、BC、AC为底,其边上的高都为内切圆的半径r,则可用面积守恒来解决问题.     

一个四边形的面积引发的思考

<正>原题如图1,△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,△ABD,△ACE,△BFC都是等边三角形,求四边形ADFE的面积.分析由已知得△ABC为直角三角形,由等边三角形的性质易得△DBF≌△ABC≌△EFC.解法1最外沿大五边形等于一个正三角形+两个直角三角形,故可求其面积;用大五边形面积减去三个三角形面积即可求得结果(△ABD、△ACE、△ABC);     

欧拉不等式的一种隔离

命题 设从△ABC的外接圆中截去△ABC所剩三弓形的高分别为h_1,h_2,h_3,△ABC的内切圆半径为r,外接圆半径为R。则