再探矩形格中的最短路径与杨辉三角

文[1]提供了一道小学数学题:如图1,田字格中由4×5条线段组成,试求从点A到点B的最短路径共有几条? 文[1]通过研究得到的结论是:对于m×n阶矩形格(m、n分别为竖线和横线数,且m、n≥2),点A到点B的最短路径数等于杨辉三角中直线M和N交叉处的数字(如图2),此数字可用组合数C(m+n-2)(m-1)表     

计数时常用的一个结论

<正> 基本结论:在一条线段内任取(n-2)个点,共能组成n(n-1)/2条线段. 证法一枚举法标明的点数线段的条数(包括两端) 3 2+1=3 4 3+2+1=6 5 4+3+2+1=10     

完全三部图k(m,n,r)色唯一性的几个结果

令K(m ,n ,r)表示完全三部图 ,本文证明了 :1.若k≥ 0 ,l≥ 0 ,m >k2 -k(l+1) +l(l- 1) +2 (k2 -kl+l2 ) 1 2 ,则k(m ,m+l,m +k)是色唯一的 .2 .若k≥ 0 ,l≥ 0 ,m -k≥ 2 ,m -l≥ 2 ,m >2 (k2 -kl+l2 ) 1 2 +k2 -k(l- 1) +l(l+1)3,则k(m -k ,m -l,m)是色唯一的 .3.若k≥ 0 ,l≥ 0 ,m >2 (k2 +kl+l2 ) 1 2 +k(k +1) +kl+l(l- 1)3,则k(m -k ,m ,m +l)是色唯一图 .4 .若k≥ 0 ,l≥ 0 ,m -k≥ 2 ,m >2 (3k2 +l2 ) 1 2 +3k2 +l(l- 1)3,则k(m -k ,m +l,m +k)中色唯一的 .本文也推广了文 [1]推论中所涉及的几类完全三部图的色性的结论 .     

一个有趣的规律及其应用

求线段的条数(1)如图l，数一数有几条线段? L__1___l月BC图1简析:图中有线段AB、ACBC，共3条. (2)如图2，数一数有几条线段? L—_1 Ll AB〔D图2简析:图中有线段AB、AC、AD、BC刀。、C刀，共6条. (3)如图3，线段A!A。上有n个点(包括点A:、A。，且n〕2)，图中应有多少条线段? L一     

八年级数学第14章检测题

一、选择题: 1.下列图形中,轴对称图形有() ①角,②三角形,③圆,④线段,⑤正方形,⑥扇形,⑦平行四边形,⑧等腰梯形. A .3个B.4个C.5个D.6个 2.如图1所示,只有两条对称轴的是(). 孚☆O塞丫夕 镶 (l)(2)(3)(4)(5)(6) 图l A.(l)和(3)B.(3)和(4)C.(4)和(6)D.(4)、(5)和(6) 3.如图2所示,在乙AOB内部有一点尸,点M、N分别 是点尸关于OA、oB的对称点,衬N分别交OA、OB于C、D. 若△代刃的周长是20 em,则线段耐刃的长为(). A .5 em B.10 em C.20 em D.40 em 4.等腰三角形的周长为13。m,其一边长为3Cm,则该 等腰三角形的底边长为(). A .7 em…     

皮克定理的推广

由[1]我们知道格点多边形的面积公式,即:皮克定理如果格点多边形A1A2A3An面积为A,内部格点数和边上格点数分别为N和L,则12A=N L?.本文试将上述公式推广到格点广义回形折线.定义若广义回形折线的顶点全是格点,则称之为格点广义回形折线.(关于格点广义回形折线及其面积等概念,请参看文[2])定理若k环n边的格点广义回形折线A1A2A3An A1(简记为A(n)k)的同侧域至少包含一个格点,则该广义回形折线的面积为1()(1)2njk jjLA n N=?=∑ ?其中N j、L j分别为A(n)k的第j层多边形内部和边上格点数.证明如图,设格点M是封闭折线A(n)k的同侧点.由文…     

计算等腰直角三角形个数——从一道全国初中联赛试题谈起

2004年全国初中数学联赛有这样一道试题:例1如图1,在2×3的矩形方格纸上,各个小正方形的顶点称为格点,则以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为().(A)24(B)38(C)46(D)50图1解法1以格点为顶点的线段长度可取的数值有1,2,2,5,22,3,10,13等8种情形1以这些线段组成的等腰直角三角形的3条边长有如下4种情况:1,1,2;2,2,2;2,2,22;5,5,101现分类枚举如下:(1)当腰长为1时的等腰直角三角形有24个(因为每个小正方形内有4个,而小正方形有6个,所以有4×6=24个)1(2)当腰长为2时的等腰直角三角形有14个(因为每个2×1的长方形内有2个腰长为2的小三角形,而2…     

2007年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修+选修Ⅰ)(乙卷)

.考公式如果事件A、B互斥，那么只乃+B)毕(A)+只B)如果事件A、B相互独立，那么八注.B)二八月)·只B)如果事件A在一次实验中发生的概率是p，那么。次独立重复实验中事件A恰好发生k次的概率_‘*_.、_b二。:，。)议a，b任长，果甘11，a+b，a矛二tU，一力卜州b一a二(A)1 (B)一l (C)2 (D)一2 (6)下面给出的四个点中，到直线x寸+l二o的距离为入里2且位于x+y一I<0，x一y+l>0表示的平面区域内的点是只(k)二C之p‘(l，)”一‘(k二0，l，2，…，n球的表面积公式(A)(l，l)(B)(一l，l) (C)(一l，一l)(D)(l，一l) (7)如图l，正四棱柱A召C’D一…     

线段平移化繁为简

当长方形的边长增减变化时,变化量的简便计算,仍可以用长方形周长计算公式进行,其原理可用线段平移后组成的图形表示出来。例学校操场原来长100米,宽50米。现在准备扩建,使长增加20米,宽增长10米。扩建后操场的周长比原来长多少米?一般解法:求操场原周长,运用长方形周长公式(长+宽)×2,得(100+50)×2=300(米)。扩建后操场的周长得(100+20+50+10)×2=360(米)。扩建后操场的周长比原来长360-300=60(米)。简便解法:我们根据题意画出下图:从图1至图2可以看出,通过线段平移,扩建后的操场实际上比原来操场增加了一个小长方形的周长,而这个小长方形…     

数线段的规律及其应用

同学们初学几何时,都会遇到数线段的问题,如下题:例1如图1,已知线段AE上有B、C、D三点,那么图中可读的线段共有多少条?解答上题有三种方法:一是无规则地数:如线段AB,CD,BD,…,这样很可能重复或遗漏.二是自左至右逐条数:如线段AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE,这样就不容易出错.三是结合推理进行计算:线段AE上的每一点都可以与其余四点组成线段,共可组成5×4=20(条)线段,但每条线段都重复计算了一次(如线段AB与线段BA是同一条线段),因此实际线段总条数为20÷2=10(条).显然第三种解法简便而准确,尤其在点数很多的情况…     

一道高考模拟题引发的思考

广州市高考模拟考试中有这样一道题:过点M(-2,0)的直线l与椭圆x2+2y2=2交P1,P2两点,线段P1P2的中点为P,设直线l的斜率为k1(k1≠0),直线OP的斜率为k2,则k1k2的值等于( ).     

数学单元测试题（四）

一、填空题 (每小题 2分 ,共 2 0分 )1.当 m 时 ,方程 -( m-1) x+( m+3 ) y=1为关于 x、y的二元一次方程 .2 .当 k时 ,方程组 3 kx+2 y+1=0 ,9x-2 y=0 有一个解 .3 .方程组 ax+by=4,bx+ay=5 的解是 x=2 ,y=1,则 a+b=.BAC DFE4.方程 4x+3 y=-2 0的所有负整数解为 .5 .如图 ,AF =+EF,DE=+EF,若 AE=DF,则 AFDE.6.C是线段 AB上一点 ,M、N分别是 AC、BC的中点 ,若 AC=5 ,BC=3 ,则 MN=.A C D E B7.如图 ,点 C、D、E是线段 AB的四等分点 ,那么点 D既同是线段和的中点 ,又同是线段和的三等分点 .D CBA8.如图 ,线段 AB=1.2 cm,…     

直线和圆的错解评析

一忽视“斜率不存在”致错例1 已知两点M(-3,4),N(3,2),过点P(2,-1)的直线l与线段MN有公共点.求直线l斜率k和倾斜角α的取值范围. 错解:∵kPN=(4-(-1))/(-3-2)=-1,kPN=(2-(-1)/(3-2)=3 ∴直线PM的倾斜角等于(3/4)π,直线PN的倾斜角等于arctan3. 由图1知.直线l与线段MN有公共点,则直线l的斜率k的取值范围是-1≤k≤3;直     

2013年山东高考数学试题理科22题

题目 椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F1,F2,离心率为√3/2,过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段为1. (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)点P是椭圆C上除长轴端点外任一点,连接PF1,PF2,设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0),求m的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过点P作斜率为k的直线l,使得l与椭圆C有且只有一个公共点.设直线PFl,PF2的斜率分别为k1,k2,若k≠0,试证明1/kk1+1/kk2为定值,并求出这个定值.     

四元数矩阵的奇异值的几个不等式

本文证明了长方四元数矩阵奇异值的一些不等式:设H为四元数体,A∈H~(n×m),B∈H~(m×k),S=min{n,k},1≤l≤s,则 sum from i=1 to l σ_i(AB)≤sum from i=1 to l σ_i(A)σ_i(B) (ⅰ) sum from i=1 to l σ_s _(i+1)(AB)≥sum from i+j=m+s-l+1 σ_i(A)σ_j(B) (ⅱ) multiply from i=1 to l σ_i(A)σ_(m-i+1) (B)≤multiply from i=1 to l σ_i(AB)≤multiply from i=1 to l σ_i(A)σ_i(B) (ⅲ) 其中,σ_1(A)≥σ_2(A)≥…≥σ_m(A)≥0是A的从大到小的奇异值,当i>m时,σ_1(A)(?)0。不等式(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)包含或加强了文[3]、[4]、[5]的一些基本结果。     

C_n~0+C_n~k+C_n~(2k)+…+C_n~(lk)的计算方法

对于形如C_n~0+C_n~k+C_n~(2k)+…+C_n~(lk)(其中k、l∈N。n-k相似文献   

有关线段上一点的最值

性质1 线段AB上一点P,当点P为线段AB的中点时,AP·PB最大. 证明1 如图1,取AB的中点M,有 AP·PB=(AM+MP)(BM-MP)=(AM+MP)(AM-MP)=AM2-MP2. 要使AP·PB最大,只要MP2=0就行了,从而MP=0,即P点与M点重合时MP=0. 所以当点P为线段AB的中点时,AP·PB最大. 证明2 设AB=l,AP=x,则PB=l-x,所以AP·PB=x(l-x)=-x2+lx.     

一道竞赛题的潜在结论及应用

1993年全国初中数学联赛试题中有这样一道题: 设x是实数,y一}二一11+}x+1}.下列四个结论: (I)y没有最小值; (五)只有一个二使y取到最小值; (l)有有限多个(不止一个)x使y取到最小值; (IV)有无穷多个x使y取到最小值,其中正确的是(). (A)(I)(B)(正)(C)(皿)(D)(川) 解{x一l}和}x+lj分别表示数轴上点x到点1和点一1的距离,一一-曰匕--~一---J一、Leseseses一.一L一一 一l一1 由上图易知,若点x在以点一1和点1为端点的线段上,则点x与两端点的距离之和为2,即y一2;若点x在此线段外,则两距离之和大于2,即y>2.所以y的最小值是2,且以点一1和点1为端…     

2014浙江高考理数第21题的分析与巧解

2014浙江高考理数第21题:如图,设椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0),动直线l与椭圆C只有一个公共点P,且点P在第一象限.(1)已知直线l的斜率为k,用a,b,k表示点P的坐标.(2)若过原点O的直线l1与l垂直,证明:点P到直线l1的距离的最大值为a-b.标准答案:(1)设直线l的方程为y=kx+m(k<0),由     

构建不定方程模型解决计数问题

<正>许多组合问题看似与方程无关,若能去伪存真,转换思维角度,转化为不定方程整数解的模型,则往往能化繁为简、柳暗花明.1不定方程整数解的有关结论定理1不定方程x_1+x_2+…+x_k=n(k,n∈N+)的非负整数解的个数为C_(n+k-1)ⁿ.证法1将不定方程x_1+x_2+…+x_k=n的任意一组非负整数解(x_1,x_2,…,x_k)对应于一个由n个圆