n阶常系数非齐线性方程特解的系数公式

对n阶常系数非齐线性方程:(d~nX)/(dt~n)+a_(n-1)((d~(n-1)X)/(dt~(n-1)))+a_1(dX/dt)+aoX=f(t)(A)这里a_1(i=0,1,…,n-1)是常数,f(t)是连续函数,求解(A)的关键是找出(A)的一个特解.当f(t)具有某些特殊形状时,我们已知道可以使用“比较系数法”、“拉甫拉斯法” 等来求得(A)的特解,本文进一步讨论了(A)的特解与f(t)的相互依赖关系,得到了若干较好的结果.     

应用“比较系数法”求解n阶常系数非齐线性方程时的一点粗浅想法

这里a_i(i=1,2,…,n)是常数,f(t)是连续函数,当f(t)具有某种特殊形状时,可以使用“比较系数法”来求得(A)的特解。这就是下面的定理:对于(A),     

n阶常系数非齐线性微分方程特解的简便算法

求n阶常系数非齐线性微分方程特解的常用方法一般有待定系数法、算子法、拉氏变换法和常数交易法。本文介绍求一类n阶常系数非齐线性微分方程特解的公式,可望使计算得到简化。 设P_0y~((n)) P_1y~((n-1)) P_2y~((n-2)) …… P_ny=f_k(t)e~(αt)(1)其中f_k(t)为k次多项式,α为复常数。将(1)写为L(D)y=f_k(t)e~(αt)(2)     

一个很有价值的分析问题

设f(t)是定义在R_1上的实值函数,对任意的t_1,t_2∈R_1,满足f(t_1+t_2)=f(t_1)f(t_2)。且f(t)在任意有限区间上有界,若f(1)≠0,则不存在常数r,使f(t)=e~(-r) 证明:先证t=m/n的情形,     

介绍一种解方程组X''''=AX的方法

设常系数齐线性微分方程组为 X/=AX。一v,二。。、T,,,,头甲,人“气灿,幻,’”人n夕人’=‘山‘,勺’,”、 (x))T是。xl拒阵,\|lles︸./nn二n 1,比na a ..a … .… .… 1,-na卜‘引a之a二,‘ l曰二n但11阵1..1饱A=是nxn常数矩阵. 我们定义矩阵指数e,A(或。A)为 00 AK_~_A一奋;二~~”.二.1,…1‘_.七入P八=山入里=乃十八十不丁一八‘十…十—找u十”’ ,_-一‘百们. 版=O’一‘(2)其中,E为n阶单位矩阵,A”是矩阵A的n次幕。又规定A。二E,。!=1,易证矩阵级数(2。)对所有的A都是收敛的.因而,expA是一个确定的矩阵. 可以证明,矩阵 中(t)=…     

一类非线性系统有界解的存在性

考虑非线性系统x′=A(t)x+f(t,x)有界解的存在性,其中线性系统x′=A(t)x满足指数型二分性.在f(t,x)关于x不满足Lipschitz条件的情况下,应用Leray-Shauder不动点定理和Arzela-Ascoli定理给出一个有界连续解存在的充分条件.即若f(t,x)∶R×Rn→Rn连续;存在常数m>0及R+=[0,∞)上的连续递增函数g(t)满足limt→∞(g(t))/t=0,使得|f(t,x)|≤m+g(|x|),(t,x)∈R×Rn,则该系统x′=A(t)x+f(t,x)存在有界连续解.     

一类线性非齐次微分方程的新解

对于线性非齐次微分方程L(y)=f(x),当函数f(x)=amemx+am-1e(m-1)x+…+a2e2x+a1ex+a0(m为整数,ai为常数,i=1,2,……,m)时,可通过自变量变换ex=t,将线性非齐次微分方程L(y)=f(x)化为方程L(y)=amtm+am-1tm-1+…+a2t2+a1t+a0直接求其特解。     

线性非齐次方程快速待定系数法

其中F(D)=a_0~(?) a_1D … a_(n-1)D_m~(n-1) a_nD~n,D=d/dt,求其特解的方法很多,待定系数法,方法简单但计算工作量大,算子解法则需要一套理论准备,我们现在提出的解法是介于这二者之间,特别是当f(l)=P_m(t)为m次多项式时,求(1)的特解转化为做一个除法,把求导、代入等过程都省去了。类型IF(D)x=P_m(t)(2)分两种情形讨论。第一种情形为a_0≠0,此时方程(2)应有m次多项式的特解,为了简化计算我们取     

关于整体利普希茨（Lipschitz）常数

本文得到任给Xn={X_1,X_2,…,Xn_(+2)}∈(-1,1)都存在f∈(-1,1),以X_n为交错组,且λn(f)≤A_(1≤j≤n+2)~(min){Λ_(n+1)~j}λn(f)、A_(n+1)~j分别为整体利普希茨常数和勒贝格常数。     

几道不等式竞赛题的一种证法

本文给出几道不等式竞赛题的一种证法,这些不等式为涉及和的对称不等式,形如“已知(?)g(x_i)=A,求证(?)f(x_i)≥B (或≤B)”,具体证明步骤如下：①设待定常数λ,使f(x_i)-B/n≥(或≤)λ[g(x_i)-A/n];②将f(x_i)-B/n=λ[g(x_i)-A/n]两边分解因式并约去两边的公因式,再取满足g(x_i)     

高阶常系数线性非齐次微分方程特解几种非常规解法

关于高阶常系数非齐次线性微分方程y(n)+a1y(n-1)+…+an-1y′+any=f(x)特解的求法,通常采用待定系数法、常数变易法、算子法、Laplace变化法进行求解,下面介绍了除了这些方法以外的一些非常规解法,仅供教学参考.     

求y″ py′ qy=Ae~(ax)cos~βx(或 Be~(dx)sin~βx)型微分方程特解的代数方法

一个微分方程可以刻划某系统的运动状态,其通解可以反映该系统所发生的无数不同的过程,而每一个过程又只与一个特解相对应,所以求一个微分方程的通解和特解就显得十分重要。依线性微分方程解的结构定理知,欲求二阶常系数非齐次线性微分方程y″ py′ gy=f(x) (p,q 是常数)的通解,需求(1)的一个特解 y*,再求相应的齐次线性微分方程y″ py′ qy=0的通解 Y,则(1)的通解即为 y=y* Y.     

高阶变系数线性微分方程求特解的方法

对于n阶线性做分方程1997年赵白云对常系数几（t）方程（1）给出一种解法“‘．今对变系数a小）方程（1）给出特解的求法．不妨弓队做分算子D一如,并记F（D）一Za;（t）H,则方程（1）表示为引理在式F（D）中,对常数人有关系F（D）［e“xj一e“F（D＋A）［习．（3）定理方程（l）有型如x一e“。（J为常数）特解的先要条件是于是,方程（l）有待解x一e“z的充要条件是（4）成立．此时,取函数Z一／（是为常数）,则当j＞在时,D卜」一0,于是（）等价于推论1方程（1）有持解x—x‘e“（k,A为常数）的充要条件是（）成立．现若令人…     

常系数线按非齐次微分方程和Euler方程通解的一种显示表达

一、引言 对n阶常系数线性非齐次微分方程 y~(n) p_1y~(n-1) p_2y~(n-2) … P_(n-1)y~/ P_ny=f(X)(1)其中p_1,p_2…,p_n为常数,若能求出其对应齐次方程的n个特征根,则很容易写出该齐次方程的通解Y(x)的显式表达式。 (i)当方程(1)的右端f(x)=c~(ax)[g(x)cosbx h(x)sinbx]时,其中a、b为实数,g(x)和h(x)是x的多项式,可用待定系数法求出(1)的一个特解y~*(x),从而得(1)的通解为y=r)x) y~*(x)。     

妙用f(x)+n/(f(x))=c+n/c的解(初三)

可以证明:形如f(x) n/f(x)=c n/c(其中f(x)为一个含有x的代数式,c,n是不为零的常数)的方程的解为f(x)=c或f(x)=n/c(本文将此重要结论记为(*)).下面通过数例说明如何妙用f(x) n/f(x)=c n/c的解.     

常数变易法求解三阶常系数非齐次线性微分方程

用解一阶微分方程的常数交易法求解三阶常系数非齐次线性微分方程y^m py^n qy′ sy=f(x)，其优点是无需求特解，无须求基本解组，但可求通解，并且给出了一个通用的公式。     

高阶常系数线性差分方程一种解法

解差分方程通常是先求对应齐次方程的通解再与非齐方程的特解叠加,对高阶(n≥2)来说寻求非齐方程的特解是困难的。本文将给出一种高阶线性差分方程的方法。 、主要内容:本文给出下面定理 定理:若r_1,r_2…r_(m-1),r_m是m(m≥2)阶常系数线性差分方程     

“根的分布”中一个值得注意的问题

在一元二次方程实根分布的有关问题中,有一类题型是“已知方程ax~2 bx c=0(a≠0)在区间(m,n)内有且只有一个实根,求参数的取值范围”,学生往往是只解f(m)·f(n)<0,其中f(x)=ax~2 bx c(a≠0)。其实这里有一个不易觉察的错误,这是由于“f(m)·f(n)<0”是“方程ax~2 bx c=0(a≠0)在区间(m,n)内有且只有一个实根”的充分不必要条件,因而由     

2005届高考模拟试题

一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共计60分)11设函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t)成立,在函数值f(-1),f(1),f(2),f(3)中,最大的一个是()A1f(-1)B1f(1)C1f(2)D1f(3)21函数y=loga(｜x｜+1)(a>1)的图象大致是()31当z=i-21时,z100+z50+1的值等于()A11B1-1C1i D1-i41lni→m∞C1n+C2n+3Cn3n+…+Cnn等于()A1-1B10C11D1不存在51过双曲线xa22-by22=1上任意一点P,引与实轴平行的直线,交两渐近线于M、N两点,则PM·PN的值为()图1A1a2B1b2C12ab D1a2+b261如图1所示,正三棱锥A-BCD中,E,F分别为棱AB,CD的中点,设α为…     

一类不定方程解法探讨

=l)取户(任 设a,月任N,i=1,…,,之,(a:aZ…a.,L试求方程二补+…+一r:.一了的正整数解.令,~口,…a.,k一—,l口.,2,…,,:.,:个正整数扩1,…,护.,记f一才+…十砂(B为待定正整参数).取一T一花f)“气,i一r,.…n.刃一f‘(A为待定正整数).代入(l)得 (。If)”““,+(。Zf)召‘:“2+…+(尸。/.)刀‘月‘· 一尸」,即尸‘(e介十…十砂)一尸‘一’~f阳.由于(、,月)一1,故方程 月/1一51了=1.②有A一A。十st,B=B。+尸t.(z任Z)了|之、、其中(A。.B。)为②一组特解,t>max(一 B。、A。一尸求出A,B,再代入x,,y的表达式即可. 例.求方程式+式+式二少的…