互为反函数图象的交点只在y=x上吗

对这个问题需要作进一步的分析,才可回答.例如函数y=-x+b和y=a+x1-a,它们的反函数是其本身,它们图象上的任一点,都是它和它的反函数的图象的交点,在y=x以外还有无数个公共点.如果一个函数的反函数不是它的本身时,且它与它的反函数图象又有交点,那么其交点只在y=x上吗?许多同学往往会作出错误判断,认为这时互为反函数图象的交点只会在y=x上.下面用一个实例来回答这个问题.例在P(1,1)、Q(1,2)、M(2,3)、N12,41四个点中,函数y=ax(a>0且a≠1)与它的反函数图象的交点是().A.NB.QC.MD.P解析:显然函数y=ax的反函数是y=logax(x>0).由对数函数的…     

2020年上海春考反函数压轴题引发的思考

反函数是上海高中教材中比较重要的一个知识点,也经常出现在上海高考的压轴题位置.本文对2020年上海春考数学试题第12题进行展开,分析y=f(x)与其反函数y=f^-1(x)的图象交点个数与交点位置问题,并在此基础上讨论高中阶段比较重要的两类函数指数函数y=ax(a>0且a≠1)与其反函数对数函数y=log ax的图象交点问题.     

探讨函数y=ax与y=logxa的图象的交点情况

根据原函数与反函数图象的性质,引进第三个函数y=X,利用"导数应用",通过讨论函数y=ax与y=x的图象的交点情况,得到函数y=ax图象的交点情况.     

函数与反函数图象交点的探究

由函数与反函数图象性质可知,其交点问题遵循如下规律: 定理一y=f(x)与y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称. 定理二若y=f(x)在其定义域上为连续函数,则y=f(x)与y=f-1(x)的图象存在交点的充要条件是y=f(x)的图象与直线y=x有交点. 证明:充分性)设y=f(x)的图象与直线y=x有一个交点(a,a).     

对一道高考试题的再研究

题目 :在P( 1,1)、Q( 1,2 )、M ( 2 ,3)和N( 12 ,14 )四点中 ,函数 y =ax 的图象与其反函数的图象的公共点只可能是点 (　　 ) .(A)P　 (B)Q　 (C)M　 (D)N( 2 0 0 3年上海卷 ·文史类 )答案为D .此时a =116 ,也就是说点 ( 12 ,14 )是函数 y =( 116 ) x 与 y =log 11 6x图象的交点 .又因为函数y=( 116 ) x 与y =log 11 6x图象关于直线y=x对称 ,所以点 ( 14 ,12 )也是两图象的交点 .又函数y =( 116 ) x 与 y =log11 6x图象与直线 y =x有一交点 ,所以函数 y =( 116 ) x与 y =log11 6x的图象有三个交点 .那么函数y=ax 与y=logax的图象在…     

探讨函数y=a~x与y=log_a~x的图象的交点情况

根据原函数与反函数图象的性质,引进第三个函数y=X,利用"导数应用",通过讨论函数y=ax与y=x的图象的交点情况,得到函数y=ax图象的交点情况。     

函数中两个容易混淆的问题

误解1:函数y=f(x)和它的反函数y=f-1(x)的图象的交点在直线y=x上. 教材上例题涉及的函数及我们接触的函数的图象与其反函数的图象的交点大多 直线y=x上,所以不少同学就认为函数若与其反函数不是同一函数,且函数与其反函 的图象有交点,则交点必在直线y=x上,但这种观点是错误的.现举两例,希望同学们 明确这个问题._ 如函数y=7-3x,其图象过(2,1)点,其反函数y= 7-x2 3(x≥0)的图象也过(2,1)点,故函数y=7-3x与其 反函数图象的一个交点为(2,1)点.又由函数与其反函数的 图象关于直线y=x对称,故点(2,1)关于直线y=x的对称 点(1,2)也是函数y=7-3…     

深入思考,增知提智(高一、高二)

题已知函数y一了盯十b的图象与它的反函数的图象有一个交点M(l,2),则两个函数图象交点的个数是() (A)1.(B)2.(C)3.(D)4. (第12届“希望杯”高二培训) 这道题可以培养我们提出问题、分析问题和解决问题的能力, 问题1在什么条件下,互为反函数的两个图象的公共点必在直线y~x上? 设某函数图象过点M(a,a),且反函数存在,则其反函数图象也过点M(a,a),即M(a,a)为原、反函数的两个图象的公共点,从而公共点必在直线y一x上. 结论1若某函数与直线y一x有n个交点,且其反函数存在,则这两个函数的图象有且只有n个公共点. 问题2互为反函数的两个图象的公…     

浅谈指数函数y=ax(a＞1)与对数函数y=logax(a＞1)的图象交点个数

探讨对数函数后,在探究"互为反函数的两个函数的图象之间的关系"[1]时,很多学生有这样一个错误的认识,认为指数函数y=ax(a＞1)与对数函数y=logax(a＞1)的图象无交点.     

方程f(x)=f~(-1)(x)与f(x)=x同解吗?

有些资料上,在处理方程f(x)=f_(-1)时,往往转化成解方程f(x)=x,这种转化的根据是:“两个函数若互为反函数,则它们的交点在直线y=x上”,事实上,这个结论是错误的,因为互为反函数的函数图象关于直线y=x对称,若y=f(x)与y=f_(-1)(x)的图象有交点M(a,b)(其中a≠b),则M’(b,a)是它们的另一交点.一般地,有如下性质:     

从“函数与其反函数的图象的交点”说起

在反函数的教学中,一个有趣的问题是:函数y=f(x)与其反函数y=f-1(x)的图象如果有交点,交点是否都在直线y=x上?有不少人认为答案是肯定的.但是显然,函数f(x)=1/x(x∈R)与其反函数的图象的交点并不都在直线y=x上.又如f(x)=     

超越方程a~x=x~α根的个数

1问题研究关于x的方程ax=xα(a>0且a≠1,α≠0,x>0)根的个数.为了研究方便,这里我们仅考虑x>0时的情况.下面给出两个处理方案:方案1转化为研究指数函数y=ax与幂函数y=xα(x>0)图象的交点个数.     

f(x)和f~(-1)图象交点的一个定理(高一、高二、高三)

大家知道,函数f(x)和它的反函数f-1(x)的图象关于直线y=x对称;两个图象不一定有交点,有交点时,交点也未必都在直线y=x上.但有下面的     

互为反函数图象交点的性质及应用

互为反函数图象的性质指出：互为反函数的两图象关于直线y=z对称．但据此认为：互为反函数的两图象交点在直线y=z上，那就错了．例如函数f(x)=1/x的反函数就是他自身，它们有无数个交点，除了(1，1)、     

用一个公式求二次函数的解析式

用设二次函数y=ax2 bx c的图象与x轴的两个交点为A和B,则两交点的横坐标分别是方程ax2 bx c=0的两个根x1、x2,易求得线段A B=∣x1-x2∣=(x1 x2)姨2-4x1x2=(-ba)2-4ca姨=姨b2-4ac∣a∣.若已知或易求得二次函数的图象与x轴的两个交点之间的距离,则可以用这个公式来求二次函数的解析式.请看下面几道例题.例1以(1,2)为顶点的抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点M.已知A B=4,求这条抛物线的解析式.解:因为抛物线的顶点为(1,2),故设这条抛物线的解析式为y=a(x-1)2 2=ax2-2ax a 2.设A、B两点的坐标分别为(x1,0)、(x2,0),则A B=4a2-4a(a 2)姨…     

论原函数与其反函数图像的公共点

我们知道,单调函数都存在反函数,且反函数与原函数具有相同的增减性,互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x对称,但是它们的图像不一定有公共点,如果有公共点,那么公共点是否一定在直线y=x上呢?如果曲线与其轴对称曲线有公共点,那么公共点是否一定在对称轴上? 定理1 函数y=f(x)与它的反函数y=f~(-1)(x)的图像的交点,或者在直线y=x上,或者关于直线y=x对称地成对出现. 证明:设点P(a,b)是函数y=f(x)与y=f~(-1)(x)的图像的交点. (1)若a=b,则点P(a,b)在直线y=x     

让学生真正成为学习的主人——一道习题变式的教学实录

课堂教学实录高三复习反函数一节时 ,我举了以下例题 :问题 :若点 (1 ,2 )既在函数 y =ax + b的图像上 ,又在其反函数的图像上 ,求 a、b的值 .这本是一道高考题 ,选题的目的是复习互为反函数的两个函数的图像关系 .一种解法是先求出 y =ax + b的反函数 y =1a(x2 -b) ,然后把 (1 ,2 )点分别代入两个函数解析式中求解 ,另一种解法是考虑到 (1 ,2 )和 (2 ,1 )点同时在函数 y =ax + b上 ,因此 ,把 (1 ,2 )和(2 ,1 )点的坐标都代入函数 y =ax + b的解析式中求解 .变式 :若函数 y =x -m与其反函数的图像有公共点 ,求实数 m的取值范围 .教师 :同前…     

函数y=a~x与y=log_ax(a>0,且a≠1)的图象到底有几个交点?

情形1底数a>1的情况通过画板演示指数函数y=ax与对数函数y=logax(a>1)的图象关系有如下几种情况如图:通过几何画板演示认真观察,发现当a取(1,2)内的某一个值时两图象恰好相切,这时它们只有一个交点.我们不妨设该值为a0,当a=a0时,指数函数y=ax与对数函数y=logax(a>1)的图象和直线y=x彼此相切于一点.     

函数y＝ax与y＝logax(a＞0且a≠1)的图象何时有公共点

1.2003年某高三联考数学卷上有这样一道选择题: 已知函数y＝ax(a＞0且a≠1)的图象与其反函数的图象有交点,则a的取值范围是:     

易被误解的当a＞1时指、对数函数图象的位置关系

教材必修1第二章[函数概念与基本初等函数Ⅰ]第三节[对数函数],有一张用计算器通过列表描点的方法作出的指、对数函数的图象(底a为2),指、对数函数图象无交点.大概是熟视无睹的缘故,我们常常误认为:当a>1时函数y=logax的图象与函数y=ax的图象无交点.真的是这样吗?答案是否定的.举个例子:当x=2时函数y=1.1x的图象与直线y