杨辉三角的变换与自然数方幂和

(d±6)~n展式系数三角分别记为△_1,与△_2,△_1各数减去△_2对应数再乘以2,然后划去左边0斜边,补上右侧0斜边得△_3,△_1与△_2对应数相加得△_4,△_3与△_4对应数相加得△_5:     

一个与三角形相关的向量等式的讨论(续)

如果定义T_(△HKG)=S_(△KHG),当△KHG 与△ABC 有公共内点,—S_(△KHG),当△KHG 与△ABG 无公共内点,则有如下定理:定理3 设点 O 与△ABC 共面,则T_(△BOC)+T(△AOC)+T_(△AOB)=0, (15)且 T_(△BOC)+T_(△AOC)+T_(△AOB)=S_(△ABC). (16)证明:按点 O 所在的位置讨论如下:(Ⅰ)当点 O 在△ABC 的内部或边界上时,△ABC 被分割为△BOC,△AOC 和△AOB(当 O 在边界上时,当中有的是退化三角形),所以有T_(△BOC)=S_(△BOC),T_(△AOC)=S_(△AOC),T_(△AOB)=S_(△AOB),且其和等于 S_(△ABC),即得(16)式,且根据定理2的结论1,得     

我在算术教学中是怎样运用直观原则的

我在教学工作中,是根据学生的接受能力,掌握由浅入深,由具体到抽象的原则,并运用实物、图解、表演等方法,形象化地教学。让儿童通过实际观察,找出规律,得到结论。现在我举几个例子和大家谈谈。例如:六年级算术课本中“和、差、积、商的变化”一节,要说明加、减法中因为加数、被减数(或减数)的变化,而影响“和”与“差”的变化规律,我在黑板上画出这样的一些图形让学生观察。△△△△+△△=△△△△△△加数加数和数△△△△+△△△=△△△△△△△一个加数不变,另一个加数加多少,和数也增加多少。△△△△+△=△△△△△一个加数不变,另一个加数减少多少,和数也减少多少。△△△+△△△=△△△△△△一个加数减少,一个加数增加同样的数,和不变。     

一个与三角形相关的向量等式的讨论（续）

如果定义 T△HKG ={S△KHG，当△KHG与△ABC有公共内点，—S△KHG，当△KHG与△ABG无公共内点，则有如下定理：     

“变”字当关,乐在其中——一道中考题的拓展思考

(2006·辽宁锦州)点P是△ABC中AB边上的一点,过P作直线(不与直线AB重合) 截△ABC,使截得的三角形与△ABC相似,满足这样条件的直线最多有____条. 解析:画任意△ABC(三边互不相等,无直角),如图. 若以∠A为公共角,可画△APE～△ABC,△APF∽△ACB; 若以∠B为公共角,可画△BPG～△BAC,△BPH～△BCA; 所以满足题目条件的直线最多有4条. 拓展变式: 特殊化思考:如果△ABC是特殊三角形呢?     

由一道习题得出一个重要结论

如图1,已知△ABC,P是边AB上的一点,连结CP,当△ACP满足什么条件时,△ACP∽△ABC?图1分析:∵∠A=∠A∴当∠ACP=∠ABC时,△ACP∽△ABC·于是AACB=AACP=CPBC·注意比例式AACP=CPCB中的四条线段,其中AP与AC是△ACP的∠1与∠2的对边,PC与CB是△PBC的∠3与∠4的对边,而∠1=∠3,∠2 ∠     

一道课本例题变式探究教学之刍议

<正>一、原题再现图1例题 (人教版教材八年级上册P83第12题或九年级上册P63第10题)如图1,△ABD,△AEC都是等边三角形,求证：BE=CD.分析:欲证BE=DE,可联想到△ADC与△ABE全等.对于△ADC≌△ABE的证明,可从两个角度分析：(1)从动态的角度来观察,把△ABE绕点A顺时针旋转60°,点B与点D,点E与点C重合,得到△ADC,所以△ADC≌△ABE.     

5月份《30分钟智力冲浪》参考答案

1 .3 6.　 2 .1 5或 1 7.　 3 .正确 .　 [提示 ]　 ( 1 )先说明△ABE ≌△DCF;( 2 )再由△DCE≌△ABF得　AF=DE ,再说明△AEF≌△DFE ,有∠AFE =∠DEF .　 4.( 1 )AE =CD .　 [提示 ]在Rt△ACE与Rt△CBD中 ,AC =CB .　又因为∠EFC是直角 ,故∠BCD =90° -∠AEC =∠CAE .　可推得Rt△ACE ≌Rt△CBD .　 ( 2 )BD =8cm .　 5 .相等 .　理由 :连结BD、CE ,则在△ABD与△ACE中 ,　因为AB =AC ,AD =AE ,∠DAB =∠EAC ,所以　△ABD ≌△ACE .故BD =CE ,∠DBA =∠ECA .　又在△ADC与△AEB中 ,因为AD…     

参考答案

<轴对称>单元测试题(一) 　　1.B 2.B 3.D 4.AC 5.C 6.C 7.4 △ABE与△ACF,△ABD与△ACD.AAED 与△AFD.△ABF与△ACE 8.23cm 9.冀A3075 10.(出) 11.连接BC,因AB=AC,DB=DC,故点A在BC的中垂线上,点D在BC的中垂线上.所以直线AD足线段RC的中垂线.PB=PC又因为AB=AC,AP=AP,所以△ABP≌△ACP(SSS).于是∠ABP=∠ACP.……     

参考答案

<轴对称>单元测试题(一) 　　1.B 2.B 3.D 4.AC 5.C 6.C 7.4 △ABE与△ACF,△ABD与△ACD.AAED 与△AFD.△ABF与△ACE 8.23cm 9.冀A3075 10.(出) 11.连接BC,因AB=AC,DB=DC,故点A在BC的中垂线上,点D在BC的中垂线上.所以直线AD足线段RC的中垂线.PB=PC又因为AB=AC,AP=AP,所以△ABP≌△ACP(SSS).于是∠ABP=∠ACP.……     

对一道几何题的证明的看法

题:在△ABC中,O是AB边的中点,E、F分别在AC、BC上。求证:△DEF的面积不超过△ADE与△BDF的面积之和。有一本初中数学复习资料对这题作如下的分析和证明。分析要证△DEF的面积不超过△ADE与△BDF的面积之和,只要证 S_(△ADE)+S_(△BDF)>S_(△DEF)…证明延长ED到G,使DG=ED。连结BG和FG,又AD=BD,(已知) ∠ADE=∠BDG,(对顶角相等) ∴△ADE≌     

关于三角形面积的一个关系式

设锐角△ABC的三条高分别为AD,BE,CF,∠A,∠B,∠C的平分线分别与EF,FD,DE交于点P,Q,R,记△ABC,△DEF,△PQR的面积分别为△,△0,△1,则有△·△1≥△02.证明:设BC,CA,AB的长度分别记为a,b,c,半周长为s,外接圆半径为R,内切圆半径为r.因为△ABC的三条高分别为AD,     

共高三角形与相似三角形性质的综合应用

共高三角形的性质:共高三角形的面积比等于对应底边的比.题目:如图1,S△ABD=12BD·h,S△ADC=12DC·h,从而S△ABD S△ADC=12BD·h12DC·h=BD DC.特别地,当AD为△ABC中线时,S△ABD=S△ADC.在相似三角形的学习中,此性质常与相似三角形面积比等于相似比的平方这一性质综合使用,现举两例说明.例1如图2,△ABC与△DEC重叠的情形,其中E在BC上,AC交DE于F点,且AB//DE.若△ABC与△DEC的面积相等,     

关于勃罗卡点的两个命题

本文介绍与勃罗卡点相关的三角形、双圆四边形中的两个命题. 命题1 设P是△ABC的勃罗卡点(如图),△BPC、△CPQ、△APB的内切圆半径和面积分别为r_a、r_b、r_c,△_a、△_b、△_c,△ABC的内切圆半径和面积为r、     

对电磁感应定律表达式的理解及教学建议

一、从加速度的定义式a=△y/△t说起 根据加速度的定义式a=△y/△t加速度的方向与速度变化量△v的方向相同,     

与梯形面积有关的几个结论

探索:如图1,将梯形ABCD沿它的两条对角线剪开,得四个小三角形.这四个三角形之间、它们与梯形之间有着怎样的联系? 发现一:在梯形ABCD中,AB∥CD, 得S△ABC=S△ABC. 而S△ABC-S△ABO=S△ABD-S△ABO, 有S△BCO=S△ADO. 发现二:利用高相等的两个三角形面积之比等于底之比,DO/BO=S△CDO/A△CBO=S△ADO/S△ABO.不妨设S△CBO=S△ADO=x,     

问题3．11参考答案

分析与解要想探求Rt△PQR的最大面积,只需寻求一个三角形与Rt△PQR有某种固定的面积关系．为此,作RS//PQ,交⊙O于S,连结PS,则△PRS为圆内接三角形,且当△PRS为正三角形时,它具有最大面积作PM⊥RS,则Rt△PRM≌Rt△PQR．     

全等三角形思路揭示与扩展

问题：已知：如图1，AB＝AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点，求证：BF=CF．揭示思路：本例要证BF=CF，要看BF与CF在哪两个三角形中，即将问题转化为证明全等三角形问题，结合图形可发现BF与CF在△ABF与△ACF或／△BDF与△CDF中，只要证△ABR≌△ACF或△BDF≌△CDF，     

学数学要善于“退”和“变”

问题1 已知△ABC,问是否存在一点P,使得△PAB、△PCA的面积相等? 思考:我们先考虑问题的特殊情况:是否存在一点P,使△PAB与△PCA的面积相等,联想到三角形中线的性质,作BC边上的中线AD,则有S_(△ABD)=S_(△ACD),于是D就是所求的点P(如图1),进一步观察图形发现△ABD与△ACD有相同的底边AD,∵S_(△ABD)=S_(△ACD),∴点B、C到AD的距离相等,从而我们得出更完整的结论:在射线AD上任取一点(A点除外)P都有     

第48届IMO试题4的简证

2007年第48届IMO试题的第4题为：在△ABC中,△BCA的平分线与△ABC的外接圆交于点尺,与边BC的垂直平分线交于点P,与边AC的垂直平分线交于点Q,设K,L分别是边BC,AC的中点．求证：△RPK和△RQL的面积相等．