一个包含新可加函数的混合均值估计

对任意正整数n,素因数和函数H(n)为H(1)=1,当n>1且n的标准分解式为n=pα11pα22…pαkk时,H(n)=1/p1+1/p2+…+1/pk.本文用初等方法研究了可加函数H(n)及H(n)与Smarandache因子数积函数的混合均值H(Pd(n))及H(q(n))的值分布,得到了四个较强的渐近公式及相应有关的极限计算问题。     

关于一个代数定理的证明

由代数基本定理知:“n次复系数方程一定有n个根”.与之对应的一个定理:“如果一个n次有理整函数有多于n个的值使它为零,那么各项系数必定都是零”.它的证明如下,设f(x)表示这个函数,且为f(x)=p0xn+p1xn-1+p2xn-2+…+pn,并设x为a1,a2,…,an时,f(x)为零,则f(x)=p0(x-a1)(x-a2)…(x-an),令c是使f(x)为零的而不同于ai(i=1,2,…,n)的值,由于f(c)=0,而有p0(c-a1)(c-a2)…(c-an)=0.但是,由假设c不等于ai(i=1,2,…,n),所以,c-ai≠0(i=1,2,…,n).因而,p0=0.于是原函数变为g(x)=p1xn-1+p2xn-2+…+pn.根据归纳假设,用同样的方法可以求得g(x)=p1(x-a1)(x…     

第53届普特南数学竞赛

A-1.证明f(n)=1-n是唯一的定义在整数上且满足下述条件的整值函数: (i)对一切整数n,f(f(n))=n。 (ii)对一切整数n,f(f(n 2) 2)=n。 (iii)f(0)=1。     

一类整除问题的通解方法

(一)问题的提出在不少数学资料和一些试题中,经常出现这样一类有关整除性的问题:设p(n)=a_0n~k a_1n~(k-1) …… a_k(a_0≠0)…………………(i) 是一个关于整数n的多项式(其中,k为正整数,a_0,a_1,……a_k均为整数)。需要判定p(n)是否能够被整数m(m≠0和1)整除?(所谓整除,是指对一切整数n,p(n)均能被m整除)。例如 (1)试证:n~3-3n~2 2n-6能被6整     

问疑答难

1.设g(x)是定义在R上的一个给定的函数,另一个函数g(x)=Cnof(o/n)x0·(1-x)n+C1nf(1/n)c(1-x)n-1+…+Cnnf(n/n)xn(1-x)0.(1)当f(x)=1时,求g(x).     

关于不定方程(n∏(k=1))(k~2+1)=pm~2

设p为奇素数.对于不定方程(n∏(k=1))(k2+1)=pm2,证明了当p<9 985 600且p≠17时,此方程无正整数解.     

第45届IMO预选题(下)

数论部分1.设τ(n)表示正整数n的正因数的个数.证明:存在无穷多个正整数a,使得方程τ(an)=n没有正整数解n.2.已知从正整数集N 到其自身的函数ψ定义为ψ(n)=∑nk=1(k,n),n∈N ,其中(k,n)表示k和n的最大公因数.(1)证明:对于任意两个互质的正整数m、n,有ψ(mn)=ψ(m)ψ(n);(2)证明:对于每一个a∈N ,方程ψ(x)=ax有一个整数解;(3)求所有的a∈N ,使得方程ψ(x)=ax有唯一的整数解.3.一个从正整数集N 到其自身的函数f满足:对于任意的m、n∈N ,(m2 n)2可以被f2(m) f(n)整除.证明:对于每个n∈N ,有f(n)=n.4.设k是一个大于1的固定的整数,m=4k2-5.…     

函数y=x~n p/x,y=x p/x~n的最值

本文利用函数y=x~n p/x(n∈N_ ,x>0,p>0),y=x p/x~n(n∈N_ ,x>0,p>o)的单调性求最值. 定理1 关于x的函数y=x~n p/x(n∈N_ ,x>0,p>0)在(0,(p/n)~(1/(n 1))]上是减函数,在[(p/n)~(1/(n 1)), ∞)上为增函数. 证 1°设0相似文献   

第一届墨西哥数学奥林匹克试题与解答

1990年,墨西哥举行了第一届数学奥林匹克。竞赛分两天进行,每天4.5小时,共有62名中学生参加。这里提供的试题译自俄罗斯《Квант》杂志92年第1期。 1.证明:如果两个不可约分数的和是整数,那么这两个分数的分母相同。证设两个不可约的分数为q/p和n/m,则 q/p n/m=(qm pn)/pm是整数。即pm|(qm pn)。 (1) 由p|(qm pn)知,p|qm,而(p,q)=1,∴p|m。 (2) 同理,由m|(qm pn)推得m|p。     

一递归函数列的估值

问题f(n)是定义于非负整数集上的函数,f(n)=f(n-1) 1/f(n-1),且f(0)=5求证:45相似文献   

2019年全国高中数学联赛加试第三题的改进

原题设m为整数,|m|≥2.整数列a1,a2,…满足a1、a2不全为零,且对于任意正整数n,均有an+2=an+1-man.证明:若存在整数r、s(r>s≥2)使得ar=as=a1,则r-s≥|m|.[分析]不妨设a1与a2互素(否则,若(a1,a2)=d>1,则(a1/d,a2/d)=1,且用a1/d,a2/d,…代替a1,a2,…,条件与结论均不改变).     

C_n~k的素数因子

以下凡是用文字来代表的数不加说明均指非负整数.定理1 设p为素数,n=a_0+a_1p+…+a_sp~s (1)(这里0≤a 相似文献   

一类数列求和问题的一种解法

由于数列{g(n)}与{g(n))}的前n项的和函数f(n)有关系:f(n)-f(n-1)=g(n)．已知g(n),求f(n)的数列求和问题可看作函数方程f(n)-f(n-1)=g(n)来求解．本文提出关于f(n)的函数方程f(n)-f(n-1)=g(n)的一种导数解法,并运用此方法简捷地解决了自然数方幂和等一类数列的求和问题．     

经济数学基础综合练习

一元函数微分学部分 1 填空题 (1)函数y=(4-x)~(1/2)/(ln(x-2))的定义域是 (2)设f(x)=,则f(0)=__。 (3)设f(x)=x~2-x+1,g(x)=1/(x+1),则f(g(1))=__。 (4)某产品的成本函数为C(q)=4q~2+8q+120,该产品的需求函数为q=300-2p(q为产品产量,p为价格),那么利润函数L(q)=__。     

关于整值多项式的一个定理

88年14届全饿数学竞贵有一题:若当x=一1,O,1,2时,P(x)三ax“十脉2十‘x d取整数值,则对所有整数x,p(x)都取整数值. 当条件变为:“一1,0,1时,P(x)取整值”不成立,当变为“一1,O,1,5时”也不成立(如p(:)=李二,一李二).但我们有 55,,一--一, 定攫设f(x)=a。x” … a。为n次多项式,若存在整数k。.使f(k。),f(k。 i),…,厂(k。 ,)为整数,则厂(x)为整值多式项. 需要两个引理: 引理工当。=i,z,…,n时,e二十:一zpc乏 : 3,c尝,:一 (一1)叹n i),e:洁1=0. 引理2设了(x)=a。x“ … a。,则对任意整数k,f(k)一C盆十:f(k i) C飞 :f以 2)一 (一1)” ‘e:…     

一类分式不定方程的解法

在初中数学竞赛中,常常出现“1/x 1/y=1/a”型的不定方程。关于这类方程的解法有以下两个结论: 结论1 不定方程1/x 1/y=1/a(a为非零 x=a(a n)/n,其中n是整数)的整数解为{ y=a n满足下列两个条件的整数: (1)n≠-a; (2)n=pq 且p、q都是a的因数结论2 不定方程1/x 1/y=1/a(a为正 x=a(a n)/n整数)的正整数解为{ y=a n 或     

求函数值域应注意的一个问题

在应用初等方法,求如下类型的函数y(x)=sum from i=1 to ∞(1/n)a_ix~k_i……(1)(n为不小于2的自然数,a_i>O,x>0,K_i为非零整数且sum from i=1 to ∞(1/n)K_i=0的值域时,因sum from i=1 to ∞(1/n)K_i=0的诱发,极易上基本不等式a_1+a_2+…+a_n/n≥a_1a_2…a_n~(1/n)……(2)(n为不小于2的自然数,a_i均为正数;当且仅当a_1=a_2=…=a_n时,等式成立)的当！请看下面的例1:     

第六届初中《祖冲之杯》数学邀请赛试题

一、选择题 1.一个凸n边形,除了一个内角外,其余n-1个内角的和是1993°,则n的值是( ). A.12 B.13 C.14 D.以上都不对 2.已知a~(1/2) b~(1/2)=1,则a~(1/2)=m (a-b)/2,b~(1/2)=n-(a-b)/2,其中m,n均为有理数,那么( ). A.m·n=1/2 B.m~2 n~2=1/2 c.m n=1/2 D.n-m=1/2 3.函数y=x~2 px q的图象与x轴交于(a,0)和(b,0)两点,若a>1>b,那么有( ). A.p q>1 B.p q=1 C.p q<1 D.pq>0     

循环小数几个猜想的证明及推广

1 引言为了叙述的方便,我们约定:既约分数 q/p(p 是素数,且 p≠2,5)可化成循环小数,最短循环节形式的循环小数我们称之为 p-小数;最短循环节的长度称为该小数的长度.我们不妨设既约分数 q/p 是真分数,即1≤qp),由带余除法 n=pm+r(m 为整数,r相似文献   

一类递推数列通项公式的求法

已知递推数列其中p为不等于1的非零常数。 q(n)为关于n(n∈N)的非零多项式函数. 求这个数列的通项. 步骤:(1)转化; (2)求和 (3)结论, 解:(1)令 ∴用逐差法可求得 从而, (2)下面将就q(n)=n~1求和.