一类等比数列的讨论

现行高中教材《数学》第一册(上)第128页有一道数列例题:已知 S_n 是等比数列{a_n}的前 n 项和,S_9,S_9,S_9成等差数列.求证:a_2,a_8,a_5成等差数列.文[1]将其推广,得到定理1 设 S_n 是等比数列{a_n)的前 n 项和,其公比g≠1,k∈N,k≥2,则 s_k,S-(3k),S_(2k)成等差数列的充要条件为 a_(k-1),a_(3k-1),a_(2k-1),成等差数列.这里,从两个方面推广了该例题:其一,由特殊推向一般;其二,由必要性推到充要性.读完该文,似乎觉得尚有进一步讨论的余地.例     

高考数列题的常用速解公式

<正>在求解数列问题时,如果运用一些特殊的方法和技巧,可以减少常规的计算,直达结论,事半功倍。一、运用特殊化思想(1)等差数列中优先考虑常数数列例1(2015年全国新课标卷)设S_n是等差数列{a_n}的前n项和,若a_1+a_3+a_5=3,则S_5=()。A.5 B.7 C.9 D.11     

例析数列综合问题的类型

<正>一、数列本身各部分知识的综合例1已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n,且满足S_1>1,6S_n=(a_n+1)(a_n+2),n∈N_+,求{a_n}的通项公式。解析:利用n≥2时S_n-S_(n-1)=a_n将已知条件6S_n=(a_n+1)(a_n+2),n∈N+转化为a_n与a_(n-1)之间的关系。由a_1=S_1=1/6(a_1+1)(a_1+2),解得a_1=1或a_1=2,由假设a_1=S_1>1,因此a_1=2。又由a_(n+1)=S_n+1-     

一个数列问题的再研究

人民教育出版社《数学》(必修)第一册(上)第129页习题3.5第7题:已知数列{a_n}是等比数列,S_n 是其前 n 项和,a_1,a_7,a_4成等差数列,求证2S_3,S_6,S_(12)-S_6成等比数列.文[1]给出了如下的一个推广:定理1 已知数列{a_n}是公比不为±1的等比数列,S_n 是其前 n 项和,若 xa_m,ya_(m 2k),za_(m k)成等差数列(其中 x,y,z 成等差数列,且均不为0,m,k 均为正整数),则2yzS_k,z~2S_(2k),x~2(S_(4k)-S_(2k))成等比数列.     

也谈一个条件不等式的推广

文[1]把文[2]中例6的条件不等式:“若a>0, b>0, a~3 b~3=2,则 a b≤2”推广为: 命题:若a_i>O,（i=1,2,…,n）,且a_1~m a_2~m … a_n~m=L,（2≤ m,m ∈N_ ）,则     

再谈一个条件不等式的推广

文[1]的例6为“若a>O,b>O,a~3 b~3=2,则a b≤2”。 文[2]将它推广为命题:若a_i>0(i=1,2,…,n),且a_1~m a_2~m a_n~m=l(m≥2,m∈N_ ),则a_1 a_2 … a_n≤(mn l-n)/m。     

等比数列前n项和公式的五种证法

设数列a_1,a_2,…,a_n,…为等比数列,公比为q,则它的前n项和即为S_n=a_1 a_2 a_3 … a_n,当q=1时,显然有S_n=na_1,以下用五种方法证明,当q≠1时,S_n=a_1(1-q~n)/(1-q)。     

公式a_n=S_n-S_(n-1)的功能挖掘

公式 a_n=S_n-S_(n-1)看似平常,其实内涵丰富,有着不寻常的功能和应用价值,本文举例如下:例1 已知数列{x_n),满足 x_1=b,x_(n 1)=cx_n d 且 c≠1.求通项公式.解:令 x_n=S_n则 S_(n 1)=cS_n d (1)S_n=cS_(n-1) d (2)(1)-(2)得a_(n 1)=ca_n=c~2a_(n-1)=…=c~(n-1)a_2∴x_n=S_n=a_1 a_2 … a_n     

再谈介于调和平均和算术平均间的平均值链

本文将文[1]中的平均值进一步统一在更加广泛的平均值下,并且给出了新平均值的序关系.一、平均值的推广设a_1,a_2,…,a_n为几个给定的正数,沿用文[1]的记号,和式S_k=∑a_(i1)a_(i2)…a_(ik)表示从a_1,a_2,…,a_n中无序不重复取出k个数作出的所有乘积之和,并规定S_0=1.在文[1]中,我们已经得到以a_1,a_2,…,a_n为边长的n维长方体的k维表面积为2~(n-k)∑a_(i1)a_(i2)…a_(ik)=2~(n-k)S_k①(1≤k≤n)     

1995年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案

一、选择题 1.设等差数列{a_n}满足3a_8=5a_13,且a_1>0,S_n为其前n项之和,则S_n(n∈N)中最大的是     

习题·问题·命题

习题在数列{a_n}中,a1=1,a_(n+1)=3S_n(n≥1),求证:a2,a3,…,a_n是等比数列. 这是高中数学(试验修订本·必修)第一册(上)第142页第5题,“通过一道题,就好像通过一道门户,把学生引入到一个完整的理论领域”(波利亚语). 证明此题虽然容易,但是“提出一个问题比解决一个问题更重要”(爱因斯坦语),我们发挥丰富的想象力,使之进入一个提出问题的领域. 问题1满足a_(n+1)与S_n的一次函数,或S_n是a_(n+1)的一次函数的条件,是否都有同样的结论?当首项a1取何值时,{a_n}(n≥1)是等比数列?     

关系式S_n=Ka_n+r的探究

一、问题的提出 1987年高考数学(文科)试题的第七题是关于数列与极限的综合题: 设数列a_1,a_2,…,a_n,…的前n项和S_n与a_n的关系是S_n=ka_n+1(其中k是与n无关的实数,且k≠1),(1)试写出由n,k表示的a_n的表达式;(2)若limS_n=1,求k的取值范围。显然,题设的关系式Sn=ka_n+1可以看作S_n=ka_n+r的特例,而且括号中条件是解题的重要条件,由此不难想到如下问题: 若k是与n有关的实数,r为常数,在关     

也谈利用柯西不等式及其推论证明不等式

文[1]在分析文[2]解题过程后,从柯西不等式出发,推导出两个推论(推论1和推论2),并通过举例试图说明利用这两个推论可方便迅速地解决很多不等式证明问题.笔者仔细研读后,发现文[1]中给出的方法比文[2]的方法方便得多;但同时也发现文[1]对柯西不等式表达不够严谨,给出的两个推论过于特殊化(受条件     

高考数学指导与训练(四)数列、极限、数学归纳法

[考试要求] 本章是高考考查的重点内容之一,在高考中,有关数列、等差数列和等比数列、数列极限的基础知识和基本运算是必考内容,数学归纳法是常考的基本方法之一,除此之外,在较难试题中常常出现有关数列的综合问题,考查综合与灵活运用数列的知识和方法分析问题和解决问题的能力。 [复习指导] 一、以函数的观点认识数列例1 等差数列{a_n}中,a_1>0,前n项和为S_n,且S_9>0,S_(10)<0,则当n=____时,S_n最大。分析:等差数列前n项和S_n是关于n的二次函数(二次项系数可以为零,且n∈N),且常数项为零,因此函数S_n=f(n)的图象是过原点的抛物线上横坐标为自然数的点(如图4—1),由题意可知该数列公差小     

两个不定方程的求解问题

S_n=na_1+1/2n(n-1)d是求等差数列前n项和的公式。通常是已知S_n、n、a_1、d中的三个求另一个。如果只给出S_n、d,要求n与a_1这就是一个不定方程的求解问题。特别当d=1与d=2时,可分别有不定方程S_n=na_1+1/2n(n-1),S_n=na_1+n(n-1)。求出这两个不定方程的正整数解可解答“哪些连续自然数的和是100?”“哪些     

一类代数不等式的指数拓广

文[1]提出了如下不等式设a>b>c,则a~2b+b~2c+c~2a>ab~2+bc~2+ca~2文[2]对不等式(1)进行了拓广,得到了下面两个不等式设 a_1>a_2>…>a_n,n≥3,则有a~2_1a_2+a~2_2a_3+…+a~2_0a_1>a_1a~2_2+a_2a~2_3+…     

递推法求通项举隅

在解决数列问题时,常常涉及到求通项问题.求通项方法繁多,下面着重谈谈递推法.一、已知一数列的和式为 S_n,求此数列通项 a_n.由 S_(n-1) a_n=S_n,便有 a_n=S_n-S_(n-1).但是,a_1不一定满足通项 a_n.因为 S_(n-1) a_n=S_n 表明第 n 项前不一定符合所求得的通项,由递推知,a_1不一定满足所求通项.那么,是否满足某一条件后,使得 a_1也满足所求得的通项呢?a_1究竟怎么确定呢?     

一类变系数线性方程组的解法

我们知道,变系数线性方程组至今尚无一般的求解方法。本文给出一类变系数线性方程组的解法,以解决文[1]、[2]、[3]中有关变系数线性方程组的求解问题。 定理 假若变系数线性方程组 dx/dt=a_(11)(t)x a_(12)(t)y (1) dy/dt=a_(21)(t)x a_(22)(t)y (2)     

一类分式不等式的推广及应用

文[1]将一个无理不等式推广为:定理1 设正整数 n≥3,a_i∈R~ (i=1,2,…,n),实数 k≥(n-1)/n,则有∑(a_1/(a_2 a_3… a_n))~k≥n/(n-1)~k,当且仅当 a_1=a_2=…=a_n 时取等号.(∑表示对 a_1,a_2,…,a_n 的循环和)文[2]给出如下两个定理:定理2 若 a_i>0(i=1,2,…,n),s=,则(其中m≥1,n≥2,n∈N,p≥0,A>a_i~p).(1)     

从递推公式求通项公式的试题看高考对数字思想的考查

看2007年高考试卷,在最后两道把关题中,出现最多的是数列综合题,这类题中多数是给出a_n与a_(n-1)的递推关系,或者给出a_n与S_n的关系进而转化为a_n与a_(n-1)的递推关系求通项公式,并以此作为解题的入口,例如全国甲、乙卷(理),北京(理、文),天津(理、文),重庆(理、文),安徽(理、文),湖南(理、文),四川(理、文),辽宁(理、文),陕西(理、文),江西(理),福建(文),湖北(文),广东(理