从连分数的计算谈起

连分数（continued fractions）是以特殊的方式将若干分数相结合来表示实数f，形如f=ao＋b1, a1＋b2 a2＋b3/a3＋ … 其中a0、a1、a2、a3、…和b1、b2、b3、…为整数，当b1=b2=b3=…=1时，可得简单的连分数，形如     

一些不等式赛题的证明方法(下)

4契比雪夫不等式的运用 契比雪夫不等式设a1，a2，…，an和b1，b2，…，bn是两组同序的实数．则a1b1＋a2b2＋…＋anbn≥1/n（a1＋a2＋…＋an）（b1＋b2＋…＋bn）．反序时不等式也反号．     

逆代、构造巧用柯西不等式

柯西不等式是指：设a1，a2，…，an与b1，b2，…，bn是两组实数，则有（a1b1＋a2b2＋…＋…anbn）^2≤（a1^2＋a2^2＋…＋an^2）（b1^2＋b2^2＋…＋bn^2），当且仅当这两组数对应成比例，即a1/b1=a2/b2=…=an/bn时等号成立，通常我们多用n=2或3时的形式。     

浅谈排序不等式的应用

设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，Cn是b1，b2，…，bn的任一排列，     

一道高考填空题的解法与拓展

原题（2008上海春11）已知a1，a2，…，an；b1，b2，…，bn（n是正整数），令L1=b1＋b2＋…＋bn，L2=b2＋b3＋…＋bn，…，Ln=bn．     

浅谈排序不等式的应用

设a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn为两组实数,c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任一排列,则a1bn+a2bn-1+…+anb1(反序和)≤a1c1+a2c2+…+ancn(乱序和)≤a1b1+a2b2+…+anbn(顺序和),当且仅当a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时,反序和等于顺序和.     

关于一道高校自主招生题的探究

1问题提出 已知：a〉0，b〉0，求证：1/a＋b＋1/a＋2b＋…＋1/a＋nb〈n/√[a＋（n＋1/2）b]（a＋b/2）     

课本中一道习题的应用

习题设a1,a2,…,an为实数,b1,b2,…,bn为正数,求证： a1^2/b1＋a2^1/b2＋…＋an^2/bn≥（a1＋a2＋…an）^2/b1＋b2＋…bn. 1．教材中 例1设a,b,c为正数．求证：     

浅谈排序不等式的应用

<正>设a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn为两组实数,c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任一排列,则a1bn+a2bn-1+…+anb1(反序和)≤a1c1+a2c2+…+ancn(乱序和)≤a1b1+a2b2+…+anbn(顺序和),当且仅当a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时,反序和等于顺序和.     

对柯西不等式的探讨

1柯西不等式的基本形式及推广由文献知柯西不等式(cauchy)表述为:对任意a1,a2…,aa;b1,b2…ba∈R,有(a1b1 a2b2 … anbn)2(a21 a22 …a2n)(b21 b22 …b2n),当且仅当a1b1=a2b2=A=anbn时,等号成立(简记为∑ni=1aibj2n∑i=1a2i∑ni=1b2i).柯西不等式有着非常广泛的应用,下面先介绍     

运用柯西不等式解题的变形技巧

柯西不等式：设a1,a2,…,％,b1,b2,…,bn∈R,则（a1^2＋a2^2＋…＋an^2）·（b1^2＋b2^2＋…＋bn^2）≥（a1b1＋a2b2＋…＋anbn）^2。     

例谈用│a│~2·│b│~2≥(a·b)~2求多元函数最值

本刊文[1]用了10种方法,通过15个例题说明了多元函数最值的求法.受此启发,本文将用向量中的重要不等式a2·b2≥(a·b)2来解决部分多元函数最值问题,权作对文[1]的补充.我们把a和b都看成n维向量(n≥2),它们的坐标表示分别是a=(a1,a2,…,an),b=(b1,b2,…,bn),定义向量a和b的数量积a·b=a1b1+a2b2+…+anbn,则a=a12+a22+…+an2,b=b12+b22+…+bn2,由柯西不等式:(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,推得a2·b2≥(a·b)2.下面举例说明其应用.例1已知3a2+2b2=5,试求y=2a2+1·b2+2的最大值.解由题意,将已知条件等价变形为32(2a2…     

一道数列试题的求解探究

试题 已知a、b是两个正实数,且a〈b,在a、b之间插入n个实数a1,a2,…,an,使a,a1,a2,…,an,b成等差数列;在a、b之间插入n个实数b1,b2,…,bn,使a,b1,b2,…、bn,b成等比数列．试比较al与bk的大小,并证明你的结论．     

柯西不等式的向量形式(高二、高三)

柯西不等式 设a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn均是实数,则有 (a1b1 a2b2 … anbn)2 ≤(a12 a22 … an2)(b12 b22 … bn2)等号当且仅当ai=λbi(λ为常数,i=1,2,…,n)时成立. 向量形式 设n维向量α(a1,a2,…,an),β(b1,b2,…,bn),则有 α·β≤|α|·|β|,当且仅当α∥β时取等号. 推论1 设a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn均是实数,则有(a12 a22 … an2)~(1/2) (b12 b22 … bn2)~(1/2)     

柯西不等式中取等条件的妙用

设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,则(a12+a22+…+a2n)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.     

巧用柯西不等式证(解)几道新题

柯西不等式(a21 a22 … a2n)(b21 b22 … b2n)≥(a1b1 a2b2 … anbn)2及其变式(a21/b1) (a22/b2) … (a2n/bn)≥((a1 a2 … an)2/b1 b2 … bn)(a1,a2,…an;b1,b2,…,bn∈R ),在证(解)不等式中有重要应用,这是众所周知的.然而在使用柯西不等式时:(1)怎样更直接、更有效地使用它,使证(解)过程更简洁;(2)如何在证(解)那些形式上与柯西不等式相差甚远的不等式时使用它.这些却是常被忽视的问题.以下通过几例具体说明.     

用增量代换攻克分式不等式

设有两组实数a1,a2,…,an和b1,b2,…,bn,且a1＋a2＋…＋an=b1＋b2＋…＋bn（n≥2）。作代换a1=b1＋r1,a2=b2＋r2,…,an=bn＋rn,则有r1＋r2＋…＋rn=0。利用这种增量代换可简便地证明一类分式不等式。     

试用柯西不等式验证经典性错误的解法

完整的柯西不等式通常是在进入大学后才具体见识和应用的，是解决相关数学问题最常用的定理之一．它的一般形式为：对于任意实数ai，bi（i=1，2，…，n），有（a1b1＋a2b2＋…＋anbn）^2≤（a^2＋a2^2＋…＋an^2）（b1^2＋b2^2＋…＋bn^2），其中当且仅当ai=kbi，即ai与bi（i=1，2，…，n）成比例时取到等号．     

柯西不等式的变形技巧

柯西不等式 设a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn∈R,则（a1^2;＋a2^2＋…＋an^2）（b1^2＋b2^2＋…＋bn^2）≥（a1b1＋a2b2＋…＋anbn）,当且仅当bi=0（i=1,2,…,n）或存在一个数k,使得ai=kbi（i=1,2,…,n）时,等号成立．     

柯西不等式的两个推论

对于柯西不等式,同学们都很清楚,对于非零实数组a1,a2,…,an和实数组b1,b2,b3,…,6n,恒有(a12 a22 … an2)(b12 622 … 6n2)≥(a1b1 a2b2 … anbn)2这就是柯西不等式的表达式,下面再给出两个推论: