两个有趣的勾股关系

<正>在直角三角形中,应用勾股定理解决问题,学生已经越来越适应了.若一个三角形中的三边满足"一边的平方等于另两边的平方和"(以下简称满足勾股关系),由勾股定理的逆定理,也易判定此三角形为直角三角形.若满足勾股关系的三边不是一个三角形的三边,尤其是这三边在同一条直线上时,往往让人感到无从下手.请看以下两个有趣的勾股关系:     

正逆勾股定理错解剖析

勾股定理及其逆定理的应用十分广泛,同学们在做题时,如果不注意,常出现以下错误.一、混淆区别例1如图1,分别以三角形三边为直径向外作三个半圆,如果较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积,根据定理,这个三角形为.错解:设三角形三边为a、b、c,且c边最大,则有π(a2)2 π(b2)2=π(c2)2,得a2 b2=c2,根据勾股定理知该三角形为直角三角形.错因:此判断的根据是错误的,因勾股定理是直角三角形的性质定理,已知条件就是直角三角形,结论才是勾2 股2=弦2,而勾股定理的逆定理却是直角三角形的判定定理,已知条件是勾2 股2=弦2,结论是该三角形为直角三…     

勾股数的另一些有趣特点

大家都知道,在一个直角三角形中,斜边的平方等于两条直角边平方的和。这是有名的勾股定理。我们通常把斜边设作 c,两直角边分别设为 a、b,那么,根据定理得:c~2=a~2+b~2,也就是弦~2=勾~2+股~2。而 a、b、c(勾、股、弦)这一组勾股数的正整数组必定满足上列等式。经常提到的勾3、股4、弦5就是勾股数中最小的一组。这里介绍勾股数的另一些有趣特点。     

勾股数的特点及构造方法

如果三个正整数中,较小两个数的平方和等于最大数的平方,那么,以这三个数为边长的三角形是直角三角形,因而具备上述特点的三个正整数数称为一组勾股数,简称勾股数.关于勾股数,有一个有趣的特点:三个数中,不存在相等的数,并且至少有一个数为3的倍数,至少有一个数为4的倍数,同时至少有一个数为5的倍数,即如果一组三个正     

奇偶性分析、数字化方法和不变量——存在性问题的解法之一

论证某种对象的存在或不存在,称为存在性问题。简单的奇偶性分析(即分析有关整数的奇偶性),常是解决存在性问题的有力手段之一。作奇偶性分析时,用到的是一些熟知的奇数和偶数的性质,如: 奇数±奇数=偶数;偶数±偶数=偶数;奇数±偶数=奇数;奇数个奇数之和=奇数; 奇数×奇数=奇数;奇数×偶数=偶数。 -1的奇数方为-1;-1的偶次方为1等等。例1 求证:不存在这样的勾股三角形(即三边长都是整数的直角三角形),它的两条直角边长是两个相差为2的质数。     

勾股数组的一个性质公式的发现及其证明

所谓勾股数组,就是以三个正整数为边长,这三边能组成直角三角形,满足两直角边的平方和等于斜边的平方,也就是勾的平方加上股的平方等于弦的平方,即满足等式     

寻求勾股数组的一种简便方法

初二《几何》教材中规定 :能够成为直角三角形三条边长的三个正整数 ,称为勾股数(或勾股弦数 ) .换句话说 ,若正整数a、b、c具有关系a2 b2 =c2 ,我们就称 (a ,b ,c)为一组勾股数 .在勾股数组 (a ,b ,c)的三个数中 ,已知其中二个求剩余的一个 ,利用勾股定理可很快求出 (知二求一 ) ;若只知三数中的一个 ,求出另两个则较为困难 (知一求二 ) .知一求二的方法很多 ,但大多数比较繁琐 ,而且不易掌握 .本文独辟蹊径 ,利用乘法公式介绍一种简单而又易于操作的新颖方法 ,供学习与参与 .1　已知勾 (或股 )a ,求出所有勾股数 (a ,b ,c)由a2 b2 =c2 ,…     

巧取勾股数

大家知道,在数学计算中,若能迅速说出若干组勾股数,将给直角三角形计算问题带来很大方便。所谓勾股数,是指适合不定方程 x~2+y~2=z~2的正整数解。对于任意两个不等的自然数 m 和 n(m>n≥3),可以推得满足条件 a=m~2-n~2,b=2mnc=m~2+n~2的 a、b、c 组成一组勾股数。然而,在实际计算中,如果已知勾,怎样迅速确定相应的股和弦呢?命题:若勾取得相邻两自然数之和,股取这两     

换个角度看“勾股”

提起勾股定理,大家都很熟悉:在直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方. 同学们想过没有,若我们换个角度看“勾股”,定理会变成什么样呢?     

16世纪的测量工具与相似三角形的应用

<正>1 引言数学史上,相似三角形很早就被人们所认识.大约公元前1600年,古巴比伦人就已经知道"两个相似直角三角形对应边成比例"这一性质,并利用该定理求解几何问题.公元前6世纪,古希腊的工程师欧帕里诺斯在设计隧道挖掘工程时就运用了相似三角形的性质[1];我国汉代数学名著《九章算术》"勾股"章中含有一系列勾股测量问题,均需以相似三角形性质来解决.虽然数学史上关于相似三角形应用的文献浩如烟海,但是中学教师所掌握的可直接用于课堂的材料却极为缺     

几个与完全平方、平方和有关的问题(上)

数学中有不少与完全平方、平方和有关的问题 ,最著名的莫过于勾股 (毕达哥拉斯 )定理 .该定理还有不少延伸和拓广 ,比如 ,三角函数中ｓｉｎ2 α +ｃｏｓ2 α =1即是一例 .本文要谈及的是一些关于数的、但又较为有趣的、与完全平方或平方和有关的问题 .一个Ｄｉｏｐｈａｎｔｕｓ问题公元 3世纪前后 ,亚历山大学派的学者丢番图 (Ｄｉｏｐｈａｎｔｕｓ)发现 :分数组 11 6,3 31 6,681 6,1 0 51 6中任何两数之积再加 1 ,皆为某个有理数的平方 .稍稍验算不难发现结论的正确 :11 6×3 31 6+ 1 =1 71 62 ,11 6×681 6+ 1 =1 81 62 ,11 6×1 0 51 6+ …     

谈勾股图

在初中数学教材.“勾股定理”一节中,运用勾股图(如下图)直观地证明了勾股定理:“在直角三角形中,两条直角边平方的和等于斜边的平方.用式子表示为a~2+b~2=c~2.”有的同志提出:勾股图中,最外层的正方形A_1B_1C_1D_1,其用意何在?下面就来介绍这个问题的概况.     

谈解斜三角形问题的教学

解决中学代数和几何中的一些计算问题，常常遇到解斜三角形，而解斜三角形一般是利用余弦定理、正弦定理和三角形内角和定理。通过解斜三角形，我们还可以从数量上进一步了解三角形中边与边、角与角、边与角之间的关系，更深入地认识三角形。我们知道，如果△ABC的三边分别是a、b、c，那么“三定理”为：三角形内角和定理：A＋B＋C＝180°利用余弦定理可以解决以下两类解斜三角形的问题：（1）已知三边；（2）已知两边和任意一角。利用正弦定理与三角形内角和定理可以解决以下两类解斜三角形的问题：（1）已知两角和任意一边；（2）已知…     

《代数与初等函数》(上册) 第六章 “解三角形”的学习辅导

本章主要内容是解三角形。我们知道,一个三角形,或是直角三角形,或是斜三角形,它们都包括三条边和三个角等六个元素。所谓解三角形,就是由三角形中已知的边和角,来计算得出未知的边和角。怎样由三角形中已知的边和角,来计算得出未知的边和角呢?就解直角三角形来说,主要是明确三角形中边与角的关系,这在前两章已经学习过了,重要的是,要记住这些关系式。解斜三角形,还要学习并掌握正弦定理和余弦定理,并能熟练地运用这些定理。此外,还要理解、掌握并能熟练地     

两个有趣的勾股关系

在直角三角形中,应用勾股定理解决问题,学生已经越来越适应了.若一个三角形中的三边满足"一边的平方等于另两边的平方和"(以下简称满足勾股关系),由勾股定理的逆定理,也易判定此三角形为直角三角形.     

从东、西方文化看勾股定理的起源

什么是勾股定理？众所周知，所谓勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。如图1所示，我们用勾（a）和股（b）分别表示直角三角形的两条直角边，用弦（c）来表示斜边，则可得：勾^2＋股^2=弦^2，即：a^2＋b^2=c^2。什么是“勾”、“股”呢？在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”。这个定理在中国又称为“商高定理”，在欧洲称为“毕达哥拉斯定理”。     

三边长均为有理数且有内角度数是正整数的三角形边长的求法

<正>含有90°角的整边三角形的三边长(下面把"边长"简称为"边")即勾股数组,人们早已求出了全部勾股数组,任一边为定值的勾股数组的组数也已求出,见[1]或[2].若ΔABC的三边a、b、c∈Q+,由余弦定理知,cos A、cosB、cosC∈Q.若ΔABC中又有内角的度数是正整数,由文献[3]的定理(1)知,该内角的大小只能是60°、90°或120°.定理1有一个角是60°的整边三角形的三边(其中c为60°角的对边)为     

毕达哥拉斯与“毕达哥拉斯学派”

毕达哥拉斯(公元前580～公元前500年),古希腊数学家、天文学家、哲学家。他早年留学埃及,后定居于克罗多尼城。在这里,他组织并形成了“毕达哥拉斯学派”,对数学、天文学的发展都起过巨大的影响。毕达哥拉斯首先证明了直角三角形中两个直角边的平方和等于斜边的平方。后人称这个定理为“毕达哥拉斯定理”,也就是“勾股定理”。“毕达哥拉斯学派”把自然数分为若干类,如奇数、偶数和素数;他们还研究了完全数、三角形数、平方数、五角形数等。“毕达哥拉斯学派”首先证明了连续的奇数的和必为平方数,发现了无限数(即无限不循环小数),指出了三…     

例析“三角形内角和”的典型问题

怎样应用三角形的内角和定理求未知角？如果所求的角是三角形的一个内角，那么：（1）已知其余两个角分别是多少，就可以求出这个角；（2）已知一个角，并且已知所求角和另个角的关系就可以求出这个角。     

阿波罗定理在证线段平方的和、差等式中的应用

阿波罗 (约公元前260—200年,古希腊人,著名的几何学家)定理揭示了三角形的三边和中线的数量关系,它是平面几何中的一条重要定理。本文通过具体例子来说明它在证明线段平方的和、差等式中的应用。一、阿波罗定理三角形两边平方的和,等于所夹中线及第三边之半的平方的两倍。已知 AD是△ABC的中线(如图1) 求证 AB~2+AC~2=2(AD~2+BD~2) 证明∵ AB~2=AD~2+BD~2-2AD。