由"锥体体积公式"想到的--抛物线围成的曲边三角形面积公式的推导

锥体的体积公式为V=1/3Sh(其中S是锥体的底面积,h为锥体的高).由此可类比地得出抛物线y=ax2(a＞0)与x轴及直线x=m(m＞0)所围成的曲边三角形的面积公式为S=1/3Lm(其中L为x=m时的函数值,即L=am2).     

方差非负性的应用

方差是刻画数据离散程度的常用统计量.由公式S2=n1[(x1--x)2 (x2-x-)2 … (xn-x-)2]可知方差S2≥0,当且仅当x1=x2=…=xn时取等号.又由方差公式S2=n1[(x12 x22 … x2n)-nx-2]易得到如下结论:实数x1、x2、…,xn的平方和x12 x22 … xn2≥nx-2=1n(x1 x2 … xn)2,当且仅当x1=x2=…=x     

2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标)模拟卷

参考公式: 锥体的体积公式:V=1/3Sh,其中S是锥体的底面积,h是锥体的高. 球的表面积公式:S=4πR2,体积公式:V=4/3πR3,其中R为球的半径. 样本数据x1,x2,…xn的标准差s=√1/n[(x1--x)2+(x2--x)2+…+(xn--x)2],其中-x为样本平均数. 用最小二乘法求线性回归方程系数公式:(b)=n∑i=1xiyi-n-x·-y/n∑i=1x2i-n-x2,(a)=-y-b-x. 一、选择题 1.已知全集U=R,集合A={x|x=2n,n∈N}与B={x|x=2n,n∈N},则正确表示集合A、B关系的韦恩(Venn)图是().     

一类旋转体体积公式及其应用

本文根据关于直线x=m对称的函数f(x)的性质,推导出这类函数曲线f1(x),f2(x)和直线x=m-a,x=m+a所围成的平面图形S绕y轴旋转一周所成旋转体体积公式。     

方差的妙用

如果一组数据x1,x2,x3,…,xn其平均数为x=1n(x1+x2+x3+…+xn)①方差为S2=1n[(x1-x)2+(x2-x)2+…++(xn-x)2]②此方差公式可简化为S2=1n[(x21+x22+x23+…+x2n)-nx2]③①代入③得S2=1n[(x21+x22+x23+…+x2n)-1n(x1+x2+x3+…+xn)2]()显然S2≥0,当且仅当x1=x2=x3=…=xn时,S2=0.公式()是极为实用的公式,一些数学问题妙用公式()来解,常能化繁为简,化难为易,且思路清晰,简捷明快.下面举例说明.一、求字母的取值范围例1(吉林省初中数学竞赛题)设实数a、b、c满足a2-bc-8a+7=0b2+c2+bc-6a+6=0①②则a的取值范围是.解:①+②得b2+c2=-a2+14a-13②-①得(…     

第17届"希望杯"全国数学邀请赛(高一)

第一试一、选择题(每小题4分,共40分)1.设S={(x,y)|xy>0},T={(x,y)|x>0且y>0}.则().(A)S∪T=S(B)S∪T=T(C)S∩T=S(D)S∩T=2.若f(x)=1x的定义域为A,g(x)=f(x+1)-f(x)的定义域为B,则().(A)A∪B=R(B)A B(C)A B(D)A∩B=3.已知tanα>1,且sinα+cosα<0.则().(A)cosα>0(B)cosα<0(C)cosα=0(D)cosα的符号不确定4.设a>0,a≠1.若y=ax的反函数的图像经过点22,-14,则a=().(A)16(B)4(C)2(D)25.已知a≠0.函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图像关于原点对称的充要条件是().(A)b=0(B)c=0(C)d=0(D)b=d=06.若△ABC的三边长依次为a=sin43,b=cos34…     

适时联想 合理迁移——谈定比分点坐标公式的应用

公式 x0 =x1+λx21 +λ 是解析几何中数轴上的定比分点坐标公式 .运用联想、类比的数学方法 ,可以用它来解决与之结构相似的多种数学问题 .下面从 4个方面例谈该公式在解题中的妙用 .1　在立体几何中的应用已知棱台上底面积为 S1,下底面积为 S2 ,过棱 AB上一点 P作截面与上底面平行 ,且APPB=λ (λ≠ -1 ) ,设截面的面积为 S0 ,那么S0 =S1+λ S21 +λ .证明 :如图 1 ,S1S0=ADPQ 1S2S0=BCPQ 2由 2得 :λ S2S0=λBCPQ 3由 1 3得 :S1+λ S2S0=AD +λBCPQ图 1图 2延长 BA、CD交于 E(如图 2 ) ,由△ AED∽△ PEQ可得AEAE +…     

2004年普通高等学校招生全国统一考试(广西卷)数学(理工农医类)

一、选择题 :每小题 5分 ,共 60分 .1.设集合M ={(x ,y) |x2 y2 =1,x∈R ,y∈R},N ={(x ,y) |x2 -y =0 ,x∈R ,y∈R},则集合M∩N中元素的个数为 (　　 ) .(A) 1　　 (B) 2　　 (C) 3　　 (D) 42 .函数y =|sin x2 |的最小正周期是 (　　 ) .(A) π2 　　 (B)π　　 (C) 2π　　 (D) 4π3 .设数列 {an}是等差数列 ,且a2 =-6,a8=6,Sn 是数列 {an}的前n项和 ,则 (　　 ) .(A)S4 相似文献   

2004年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文、理)(新课程卷)

参考公式:如果事件A、B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B).如果事件A、B相互独立,那么P(A·B)=P(A)·P(B).如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=CknPk(1-P)n-k.球的表面积公式S=4πR2,其中R表示球的半径.球的体积公式V=43πR3,其中R表示球的半径.一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知集合M={x｜x2<4},N={x｜x2-2x-3<0},则集合M∩N=()(A){x｜x<-2}(B){x｜x>3}(C){x｜-1相似文献   

一类求取值范围的问题的通用解法

问题设 x,y 为实数,且 Ax~2 Bxy Cy~2=D,①求S=ux~2 vxy wy~2,② (A,B,C,D,u,v,w 为常数,A,C不同为0,D≠0)的取值范围.通用解法:由已知条件,当 x=0,y≠0时,可设 C≠0,于是 y~2=D/C,S=(D_w)/C;当 y=0,x≠0时,有 A≠0,这时 x~2=D/A,S=(Du)/A.这是平凡情形.当 xy≠0时,①、②左右分别相乘,整理得(AS-Du)x~2 (BS-Du)xy (CS-Dw)y~2=0,     

2006年高考数学模拟试题（一）

一、选择题1.(2+i15)-1+i222等于().A.iB.2C.0D.-i2.设I为全集,S1、S2、S3是I的三个非空子集且S1∪S2∪S3=I,则下列论断正确的是().A.CIS1∩(S2∪S3)=B.S1(CIS2∩CIS3)C.CSI1∩CSI2∩CIS3=D.S1(CIS2∪CIS3)3.在(x-1)(x+1)8的展开式中x5的系数是().A.-14B.14C.-28D.284.设三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V,P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点,且PA=QC1,则四棱锥B-APQC的体积为().A.61VB.41VC.31VD.21V5.对任意角α、β(α、β为锐角),下列不等关系中正确的是().A.sin(α+β)>sinα+sinβB.sin(α+β)>cosα+cosβC…     

一道高考题考查意图的探究及其启示

2005年高考广东卷第15题如下:已知数列{xn}满足x2=x21,xn=21(xn-1 xx-2),n=3,4,….若li mn→∞xn=2,则x1=().(A)23(B)3(C)4(D)5.解答该题的关键在于由递推公式求通项公式,但考试大纲对递推公式的要求只是“了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前几项”.那么,该题到底怎么解,考查意图何在,又给教学以何启示?1解法探究思路1将4个选择项逐个代入,求出数列的前几项,由有限项的变化特征猜想无限的变化趋势.解法1由x2=x21,xn=12(xn-1 xx-2),n=3,4,…当x1=23时,求得x3=89,x4=1165,x5=3323,x6=6634,该4项在1左右波动;当x…     

数学奥林匹克高中训练题(64)

第一试一、选择题 (每小题 6分 ,共 3 6分 )1 .若集合S ={n|n是整数 ,且 2 2n +2整除 2 0 0 3n +2 0 0 4} ,则S为 (　　 ) .(A)空集 　　　　 (B)单元集(C)二元集 (D)无穷集2 .若多项式x2 -x +1能除尽另一个多项式x3 +x2 +ax +b(a、b皆为常数 ) .则a +b等于 (　　 ) .(A) 0　　 (B) - 1　　 (C) 1　　 (D) 23 .设a是整数 ,关于x的方程x2 +(a -3 )x +a2 =0的两个实根为x1、x2 ,且tan (arctanx1+arctanx2 )也是整数 .则这样的a的个数为 (　　 ) .(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 44 .设一个四面体的体积为V1,且它的各条棱的中点构成一个凸多面体…     

阿贝尔公式的应用

1 阿贝尔公式与求和 首先,从一道简单的例题开始 例 1 求和:S =1 2x 3x2 L nxn .(高 ?1一数学(上)P142 第 6 题) 解 (错项相减法) x =1时,S = n ; x ≠1时, xS = x 2x2 3x2 L nxn , ∴(x ?1)S =nxn ? (1 x L xn ) ?1 (x ?1)S =nxn ? (1?x n )/(1?x) , nxn 1? xn ∴S = . x ?1 (x ?1)2 该题中,用a1,a2,a3Lan代替1,2,3Ln,b1, b2,b3Lbn 代替1,x,x2Lxn ,Si =b1 b2 b3 L bi (i = 1,2,3Ln) ,那么 ∑an …     

旋转体体积计算公式的再推广

关干旋转体体积的计算公式，一般的高等数学教科书给出的结论是：设函数f（X）在区间［a，b］上连续，且f（x）≥0。由曲线y=f（x），直线x=a，x=b，y=0围成的曲边梯形绕x轴旋转，得到的旋转体体积公式是。数学通报1994年第10期程曹宗老师著文《旋转体体积计算的一般公式》，该文给出了平面曲线绕任一直线旋转所产生的体积公式。其结论是：设y=f（X）为[a，b]上连续可微函数，若L为过任一点（X0，y0）的直线：y-y0=m（x－x0），则曲边梯形ABB’A’（见图1）绕L旋转所产生的旋转体体积是：作者运用点到直线距离公式证得上述结论。本文运…     

2003年普通高等学校招生全国统一考试（新课程卷）数学（理工农医类）

参考公式 :如果事件 A,B互斥 ,那么 P(A+ B) =P(A) +P(B) .如果事件 A,B互相独立 ,那么P(A· B) =P(A)· P(B) .如果事件 A在一次试验中发生的概率是 P,那么 n次独立重复试验中恰好发生 k次的概率Pn(k) =Ckn Pk(1- P) n-k.球的表面积公式 S=4πR2 ,球的体积公式 V=43πR3 ,其中 R表示球的半径 .一、选择题 :本大题共 12小题 ,每小题 5分 ,共6 0分 .(1) 1- 3i(3+ i) 2 = (　 )(A) 14 + 34i　 (B) - 14 - 34i(C) 12 + 32 i　 (D) - 12 - 32 i(2 )已知 x∈ (- π2 ,0 ) ,cos x=45 ,则 tan2 x=(　 )(A) 72 4 　 (B) - 72 4 　 (C…     

2002年普通高校春季招生考试数学(理工农医类)试题及解答

(卷前给出三角函数的积化和差公式、正棱和圆台的侧面积公式 (S台侧 =12 (c′+c) l)及球体的体积公式 .)一、选择题 :本大题共 12小题 ,每小题 5分 ,共 6 0分 .(1)不等式组 x2 - 1<0 ,x2 - 3x<0 的解集是 (　 )(A) { x|- 1相似文献   

一道高考题考查意图的探究及其启示

2005年高考广东卷第10题如下:已知数列{xn}满足x2=x21,xn=12(xn-1 xn-2),n=3,4,….若li mn→∞xn=2,则x1=()(A)23.(B)3.(C)4.(D)5.解答该题的关键在于由递推公式求通项公式,但考试大纲对递推公式的要求只是“了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前几项.”那么,该题到底怎么解,考查意图何在,又给教学以何启示?1解法探究思路1:将4个选择项逐个代入,求出数列的前几项,由有限项的变化特征猜想无限的变化趋势.解法1:由x2=x21,xn=21(xn-1 xn-2),n=3,4,…当x1=23时,求得x3=98,x4=1165,x5=3332,x6=6643,该4项在1左右波动…     

有关极限、导数、复数的综合检测题

一、选择题(每小题5分,共60分)1.首项为1的无穷递缩等比数列｛an｝的各项之和为S,Sn表示该数列前n项和,则lim(S1 S2 … Sn-nS)为n→∞A.S1-S)B.(1C.S S 1)D.S S-1)((S1-S)(2.设z1=m2-2m-3) m2-4m 3)m!R),2=5 3i,当(((i zz1=z2时,则m=A.2B.4C.±4D.±23.已知函数(f x)=x2 2x a,!     

数列求和六法

一、反序相加法例1已知f(x)=4x4 x2,求f(1101) f(1021) … f(110010)的和.解设x y=1,则有f(x) f(y)=44x x2 44y y2=44x x2 41-x41-x 2=1.令S=f(1011) f(1021) … f(110010),则S=f(110010) … f(1021) f(1011).上述两式对应相加,得2S=1 1 … !#"#$1100个=100.∴S=50.二、错位相减法例2求和:Sn=1 3x 5x2 7x3 … (2n-1)xn-1.解当x=0时,Sn=1.当x=1时,Sn=1 3 5 7 … (2n-1)=n2.当x≠0且x≠1时,等式两边同时乘以x,得xSn=1·x 3x2 5x3 7x4 … (2n-1)xn.原式与上式作差,得(1-x)Sn=1 2x 2x2 2x3 2x4 … 2xn-1-(2n-1)xn.再利用等比数列的求和公式,…