全等三角形中的开放题

全等三角形中的开放题大致有如下几类·一、补充条件型例1(2005年镇江市)如图1,∠ABC=∠DCB,请补充一个条件:,使△ABC≌△DCB·分析:此题明确了结论,要求同学们逆向探求使结论成立所需的条件是一道条件开放性试题,而且所填写的条件不唯一,要使△ABC≌△DCB,需要三个条件,因为已有∠ABC=∠DCB,BC=BC,故还需一个条件,从“SAS”考虑可添加AB=DC,从“ASA”考虑可添加∠ACB=∠DBC,从“AAS”考虑可添加∠A=∠D·二、补充条件型例2(2005年淮安市)如图2,已知Rt△ABC≌Rt△ADE,∠ABC=∠ADE=90°·试以图中标有字母的点为端…     

全等三角形创新题例析

三角形全等是初中几何中最基础也是最重要的知识.近年来,有关全等三角形的创新题目百花齐放,令人目不暇接.特采撷其中部分中考题共赏(根据大家学习情况,题中的“证明”全改为“说明”.)例1(2005年浙江省金华市)如图1,在△ABC中,点D在图1AB上,点E在BC上,BD=BE.(1)请你再添加一个条件,使得△BEA≌△BDC,并给出说明.你添加的条件是:.说明:(2)根据你添加的条件,再写出图中的一对全等三角形:.(只要求写出一对全等三角形,不再添加其他线段,不再标注或使用其他字母,不必写出说明过程)析解(1)由BD=BE,∠B=∠B.要使△BEA≌△BDC,可根据…     

梯形中常见辅助线的作法

在进行有关梯形的边、角、面积等计算和论证问题时,常常需要添加辅助线,将梯形问题转化为三角形、平行四边形、矩形等特殊图形问题.下面介绍六种常见辅助线的添加方法.1平移一腰过梯形的一个顶点作一腰的平行线,通过平移腰,将梯形转化为三角形和平行四边形,利用三角形和平行四边形的性质,并结合题目条件,达到计算或证明的目的.图1例1如图1,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠ADC=2∠B,AD=a,CD=b,求AB的长.解过D作DE∥BC,交AB与点E,则∠DEA=∠B,四边形DEBC是平行四边形,故BE=CD=b,∠EDC=∠B,由∠ADC=2∠B,得∠ADE=∠AED,因而AE=AD=a,所以AB=AE+BE=a+b.2平移两腰过梯形的上底上的一点作两腰的平行线,将梯形转化为一个三角形和两个平行四边形,再利用三角形和平行四边形的性质,结合题目条件,来证明(或计算).图2例2如图2,在梯形ABCD中,AD∥BC,M、N分别为上、下底的中点,且∠B+∠C=90°.求证:MN=12(BC-AD).证明过点M作ME∥AB交BC于点E,作MF∥CD交BC于点F,则∠MEC=∠B,∠MFB=∠C,∵∠B+∠C=90°,∴∠MEC+∠...     

构造辅助圆解题

在解几何与代数的综合题时,有时遇到一些用常规方法较难解决的问题.这时,我们可以构造辅助圆来使问题转化,从而简捷地解决问题. 例1(2015年威海卷)如图1,已知AB=AC=AD,∠CBD=2∠ BDC,∠BA C=44°,则∠CAD的度数为() A.68°.B.88°.C.90°.D.112°. 解:如图1,∵AB=AC=AD, ∴点B、C、D在以点A为圆心,以AB为半径的圆上, ∵∠CBD=2∠ BDC,∠BA C=2∠BDC,∠CAD=2∠ CBD, ∴ ∠ CBD=∠ BA C, ∴ ∠ CAD=2∠BAC,而 ∠BAC=44° ∴ ∠ CAD=88°.选B.     

相交线、平行线

基础篇课时1　相交线、垂线诊断练习一、判断题1.两条直线相交,有公共顶点的两个角叫对顶角.(　　)2.从直线外一点到直线的垂线段,叫做这个点到这条直线的距离.(　　)二、填空题1.如图1,点A到BC的垂线段是、CD是点到的垂线段.图1图22.如图2,AD⊥BD,垂足为D,∠BDC∶∠ADC=1∶4,那么∠BDC=.图3图4图53.如图3,∠1和∠2是两条直线和被第三条直线所截而构成的内错角.4.如图4所示的八个角中,同位角有,同旁内角有.5.如图5,与∠EFB构成内错角的是.三、选择题1.下列各图中,∠1和∠2是对顶角的是(　　)图62.如图6,∠B和∠C是(　　)(A)同位角…     

一道课本习题的剖析和应用

北师版八年级数学下册第245页联系拓广有这样一道习题： 如图1,求证：（1）∠BDC〉∠A;（2）∠BDC=∠B＋∠C＋∠A． 如果点口在线段BC的另一侧,结论会怎样？     

聚焦圆中角的应用

在圆中,圆心角与圆周角是最常见的角.它们与弦、弧和扇形面积的联系比较密切,是中考命题的重点.下面以2016年的中考题为例,说明圆中角的各种应用. 一、求角的大小 1.利用圆心角求圆周角 例1(2016年绍兴卷)如图1,BD是⊙O的直径,点A、C在⊙O上,(AB)=(BC),∠AOB=60°,则∠BDC的度数是( ) A.60°.　　B.45°.　　C.35°.　　D.30°. 解析:连接OC,∵(AB)=(BC), ∴∠BDC=1/2 ∠BOC=1/2 ∠AOB=1/2×60°=30°.选D.     

2008年第7期问题

175.如图,已知在梯形ABCD中,AB∥CD(AB>CD),E、F分别是AB、CD的中点.若∠A ∠B=90°,求证:EF=21(AB-DC).(安徽省肥西中学231200刘运宜提供)176.在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AC,CD=%2-1,BC=BD,且∠BAC ∠BDC=180°,求BC的长.(安徽省芜湖市城南实验中学241002杨晋提供)177.设a,b,c∈R     

等腰梯形中的新题型

与等腰梯形有关的新题型较多.现举例说明.一、条件开放题例1在四边形ABCD中,AD∥BC,但AD≠BC,若使它成为等腰梯形,则需添加的条件是.(填一个正确的条件即可)分析:在条件:∠B=∠C,或∠A=∠D,或AB=DC,或AC=DB中任选一个即可.二、探索结论题例2如图1,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AC、     

构造全等三角形解题一例

题目 如图1,ΔABC中,∠B：90°,点M为AB上一点,使AM=BC,点N为BC上一点,使得CN=BM,连接AN、CM交于P点,求证：∠APM=45°． 分析 考虑题设条件中线段的相等,可构造全等三角形,故有下面的几种解法．     

添加条件证全等新题型

为扩大初中学生的知识面 ,以拓宽视野 ,提高综合思维能力 ,为适应高中学习奠定坚实的基础 ,本文现以 2 0 0 0年部分中考题为例 ,介绍一类“添加条件 ,证明两个三角形全等”的新题型。一、添加一个已知条件例 1.已知 :如图 1,AC =DC,∠ 1=∠ 2 ,请添加一个已知条件 :使△ ABC≌△ DEC。 (昆明市 )解 :添加∠ A=∠ D即可 ,这时由∠ 1=∠ 2可得∠ ACB=∠ DCE,再由 AC=DC,可证得△ ABC≌△ DEC(ASA)。注 :还可添∠ B =∠ DEC,或 BC =EC,通过AAS或 SAS证得△ ABC≌△ DEC。二、添加多个已知条件例 2 .如图 2 ,AB=AC,若使△…     

由一个基本图形导出的重要结论

初中《几何》中有这样一个基本图形:如图1,D是AB上一点,E是AC上一点,BE、CD相交于点F.由这个基本图形我们可以得到这样的结论:∠BFC=∠B ∠A ∠C.证明这一结论成立的方法很多,现给出两种常见方法:方法一:连结AF并延长到M,则有∠BFM=∠B ∠BAM,∠CFM=∠C ∠CAM,∴∠BFC=∠BFM ∠CFM=∠B ∠BAC ∠C.方法二:由∠BFC=∠B ∠BDC,∠BDC=∠A ∠C,有∠BFC=∠B ∠A ∠C.图1及上述结论在解题中有着广泛的应用.现举几例说明.例1如图2,求∠A ∠B ∠C ∠D ∠E的度数.解:如图2,设BD与CE交于点F,由本文中基本图形导出的结论…     

圆的不同求证法

数学学习,重在钻研和积累,解数学题更是需要多方面思考、多角度探索.下面我们从不同的角度探求圆中一些习题的解法.同时也希望同学们在学习中多做这方面的尝试.例1已知如图1所示,以⊙O的直径BC的一边作等边△ABC,AB、AC分别交⊙O于点D和点E.求证:BD=CE.证法一:如图2所示,连接OD、OE.∵OB=OD,∠B=60°.∴△OBD是等边三角形.∴∠BOD=60°.同理∠COE=60°.∴∠BOD=∠COE.∴BD=CE.证法二:如图3所示,连接BE、CD.∵BC是⊙O的直径,∴∠BDC=90°.∵∠DBC=60°,∴∠BCD=30°.同理∠CBE=30°.∴∠BCD=∠CBE.∴BE=CD.∴B…     

例谈二倍角问题的证法

在证明题中,常会出现二倍角问题,此类问题往往有一定难度,需要认真分析已知与结论之间的联系,添加适当的辅助线,从而化难为易.现举例说明. 一、作倍角的平分线例1 已知:如图1,在△ABC中,∠B=2∠A,AB=2BC.求证:△ABC是直角三角形. 证明:作∠ABC的平分线BD交AC于点D,取AB的中点E,连结DE. ∵∠ABC=2∠A,∠ABC=2∠1=2∠2,∴∠A=∠1=∠2.即△ABD为等腰三角形.∵E为AB边中点,∴DE⊥AB.∵BE=12AB=BC,∠1=∠2,BD=BD,∴△BDE≌△BDC.∴∠BCD=∠BED=90°.即△ABC为直角三角形.二、构造倍角的等角…     

圆的不同求证法

数学学习,重在钻研和积累,解数学题更是需要多方面思考、多角度探索.下面我们从不同的角度探求圆中一些习题的解法.同时也希望同学们在学习中多做这方面的尝试.【例1】已知如图1所示,以⊙O的直径BC的一边作等边△ABC,AB、AC分别交⊙O于点D和点E.求证:BD=CE.证法一:如图2所示,连接OD、OE.∵OB=OD,∠B=60°.∴△OBD是等边三角形.∴∠BOD=60°,同理∠COE=60°.∴∠BOD=∠COE.∴BD=CE.证法二:如图3所示,连接BE、CD.∵BC是⊙O的直径,∴∠BDC=90°.∵∠CDB=60°,∴∠BCD=30°.同理∠CBE=30°.∴∠BCD=∠CBE.∴BE=CD…     

倍角公式的几何证明

本文给出二倍角、三倍角的正弦、余弦公式的一个几何证明,供参考.如图1.设 BC⊥AC,∠A=∠ABD=α,BD=1.则∠BDC=2α,BC=sin2α,DC=cos2α.在等腰△ABD 中,容易求     

从多个角度考虑

在数学课上,杨老师出了一个练习题.例1如图1,已知∠B=∠C=30°,∠A=40°,求∠D(图1中所示的钝角)的度数.小毛第一个举手发言:“连结B、C,如图2.因为△ABC的内角和为180°,所以∠DBC+∠DCB=180°-30°×2-40°=80°;又因为△DBC的内角和为180°,所以∠D=180°-∠DBC-∠DCB=180°-80°=100°”.杨老师微笑着点了点头,表示赞同,又问:“还有什么解法?”聪明的小倪举手.“延长BD交AC于E,如图3,因为∠BDC=∠C+∠CED,∠CED=∠A+∠B,所以∠D=∠C+∠A+∠B=100°”.小倪答完,同学们不禁鼓掌,杨老师摸着下巴不住地点头小侯在旁边不…     

借助几何模型构建等腰三角形

<正>涉及角平分线、中垂线和倍角等条件的几何问题,往往可通过添加适当的辅助线构造等腰三角形得以解决.本文介绍如何借助六类不同的几何模型构建等腰三角形来解决相关问题.一、"角平分线+平行线"模型如图1,若D是∠ABC的角平分线上一点,AD//BC,则△ABD是等腰三角形.例1 如图2,BD是△ABC的角平分线,点E在AB上,点F在AC上,EF//BC,FD=CD,BE=8,EF=2,求BC长.分析由BD平分∠ABC,     

由平角与三角形内角和得出的一个结论

题目1:已知,如图1,在矩形 ABCD 中,点E,F 分别在 BC、CD 上,且 CE=AB,CF=BE求证:AE⊥EF.证明:由条件可得△ABE≌△ECF,所以∠1=∠2,又∠B ∠1 ∠3=180°,∠AEF ∠3 ∠2=180°,所以∠AEF=∠B=∠C=90°,所以 AE⊥EF.     

基于问题解决的数学思考——以一道课本例题为例

1问题提出题目点A,B分别是2条平行线上任意2个点,在直线上找一点C,使BC=AB,联结AC,在直线AC上任取一点E,作∠BEF=∠ABC,EF交直线m于点F.1)如图1,当k=1时,探究线段EF与EB的关系,并加以证明.说明1如果你经过反复探索没有解决问题,请写出探索过程(要求至少3步);2在完成1之后,可以自己添加条件(添加的条件限定为∠ABC