对算术基础知識教学和基本技能訓练的淺見

在算术基础知識教学和基本技能訓练中,我认为,当前特別要注意以下三件工作: 第一,在基础知識和基本技能的整个教学过程中,要善于培养学生的記忆力、思考能力等。因为只有学生善于独立思考,并能理解地記忆,才能把知識学活并会运用,为今后继續学习或从事生产劳动创造条件。从目前教学实际情况来看,学生学的算术知識“回生”現象此較严重,多学了些概念就     

运用和差换元法解题

在解决一些数学问题时,我们可作如下变换:x=a b,y=a-b,这种变换通常称为和差换元法。利用这种换元法可以改变问题的内部结构形式,从而使解题过程显得灵活而新颖、简捷而巧妙,现举例说明如下。 1 解方程(组) 例1 解方程(6x 7)~2(3x 4)(x 1)=6.(1983年湖北省中学数学竞赛题) 解 原方程可化为(6x 7)~2(3x 4)(3x 3)=18, 设3x 4=a b,3x 3=a-b,则6x 7=2a,b=1/3. ∴(2a)~2(a b)(a-b)=18, 即4a~4-a~2-18=0, ∴a~2=9/4或a~2=-2(舍去), ∴a=±3/2,于是6x 7=±3. 故原方程的解为x_1=-(2/3),x_2=-(5/3).     

谈俄語的基础知識教学和基本技能訓练

一、基础知識和基本技能的内在联系密切,很难截然划分界限: 从俄語的教学中,我体会到,所謂基础知識的教学,既包含基本概念的形成,基本內容的記忆,也包含运用知識的基本技能。这三者的紧密結合才算是基础知識。按有正确的基本概念,技能的訓练将失去依据,必致“无的放矢”和“生吞活剝”。沒有或少有技能訓练,則基本概念必将落空,无以寄託。而記忆的效果則是与基本概念的理解的深度     

关于减少代数题中计算量的探讨

我们知道,解析几何等学科的问题都广泛地应用着代数知识,因此,对减少代数题的计算量,从某种意义上讲,具有普遍意义。因此本文就这个问题谈几点粗浅认识,请大家指教。一、恰当地应用定义例1 a、b、c为何值时,方程组解:把x=y=z=1代入方程组解关于a、b、c的方程组这样,比先解方程组后令x=y=z=1来得简单。例2 解方程(4x 5)~(1/2) (5x-4)~(1/2)=0。解:由算术根定义知4x 5、5x-4必同时为零时方程才有解。但4x 5、5x-4不能同时为零,故此方程无解。本题如果按常规解法:移项平方、解根再解验,就很麻烦。二、恰当地应用公式、法则等     

两数和的完全平方及其应用

早在初中代数课上,就已经知道了两数和的平方公式 (x y)~2=x~2 2xy y~2(1)、这一公式的应用是极其广泛的。在这里,我们介绍它的部分应用。 一、推证公式问题 以下乘法公式 (x-y)~2=x~2-2xy y~2 (x y)(x-y)=x~2-y~2 (x y)~3=x~3 3x~2y 3xy~2 y~3 (x-y)~3=x~3-3x~2y 3xy~2-y~3 (x-y)(x~2 xy y~2)=x~3-y~3 (x y)(x~2-xy y~2)=X~3 y~3等都可运用公式(1)来推导 例1、求证:(x y)(x-y)=x~2=y~2 证:令a=(x y)/2,b=(x-y)/2, 则两数x、y的平方差,x~2-y~2=(a b)~2-(a-b)~2运用公式(1)有x~2-y~2=4ab据假设条件,得x~2-y~2=4(x y)/2·(x-y)/2,即x~2-y~2=(x y)(x-y) 例2、求证:(x-y)~3=x~3-3x~2y 3xy~2-y~3 证:将上式右端进行配方变换即得证 x~3-3x~2y 3xy~2-y~3 =x~3-2x~2y xy~2-x~2y 2xy~2-y~3 =x(x-y)~2-y(x-y)~2 =(x-y)~3 类似地,乘法公式都可用公式(1)来推导,此外,还可推证一些多项因式的乘法     

試談数学教学中的巩固問題

当前数学教学中一个亟待解决的課題,是改变学生数学知識不巩固的现象。根据我们的教学实践,把学生知識不巩固的情况,归結为两个方面: 一、知識的遗忘。我們发现,年级愈高的学生,遗忘也愈多。例如有的高三学生,在化复数代数式为三角函数式时,由于三角知識不牢固,幅角(?)的确定常易錯誤;有时連最主要最常用的乘法公式,运用时也感到生疏。数学归納法的作业上,出现(n 3)~3展开成n~3 3n~2 9n 9;在解lg(-m)<-2时,有50％的学生只写m>1/100,遗忘了m<0的前提。特别是计算法则记忆不清,式的运算不熟练,解题答案不完整,而且差误百出,速度也极其迟缓。二、知识的混淆。高三学生对于f(x)与     

教学笔记四则

1“补救了观察法之不足”老师问:方程3~x 4~x=5~x 的解是什么?(经同学们讨论后)学生答:据勾股定理知,x=2.老师接着问:还有别的解吗?(学生普遍感到心里没底)老师讲:把方程化为(3/5)~x (4/5)~x=1,联想看指数函数性质知道,函数f(x)=(3/5)~x (4/5)~x是减函数.当x=2时,f(2)=1,当 x>2时,f(x)1.故原方程只有一解 x=2.(这时学生心里感到忠实多了).抓住这个时机,老师又问:方程5~x-1=2~(x 1)(1     

乘法公式的巧用

乘乘法公式是由形式特殊的多项式相乘总结出来的规律,共有两种:1.平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2.2.完全平方公式(1)完全平方(和)公式(a+b)2=a2+2ab+b2.(2)完全平方(差)公式(a-b)2=a2-2ab+b2.利用乘法公式进行计算可大大提高运算速度,它的应用非常广泛.下面举例说明乘法公式的巧妙运用.一、巧换位置例1计算(-3t+4)2.解:原式=(4-3t)2=16-24t+9t2.二、巧变符号例2计算(-2a-3)2.解:原式=[-(2a+3)]2=(2a+3)2=4a2+12a+9.三、巧变系数例3计算(2x+6y)(4x+12y).解:原式=2(x+3y).4(x+3y)=8(x+3y)2=8(x2+6xy+9y2)=8x2+48xy+72y2.四、巧变指数例4计算(a+1)…     

学习“乘法公式”六注意

乘法公式是一种特殊形式的多项式乘法,是初中代数的重要内容.初学者对于各乘法公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义往往不易掌握,运用时容易混淆,因此要学习好乘法公式,必须注意以下几点:一、注意乘法公式的推导乘法公式是从直接计算特殊的多项式乘法中得来的,即平方差公式:(a b)(a-b)=a2-ab ab-b2=a2-b2;完全平方公式:(a b)2=(a b)(a b)=a2 ab ab b2=a2 2ab b2;(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab b2=a2-2ab b2.由此可见,理解乘法公式要与多项式乘法联系起来,这样对公式才理解得深、记得准,一旦把公式忘记了,自己也可以把公式推导出来.二、注…     

因式分解中的变换技巧

因式分解是初中代数的重要内容之一,它的解法变化多样,为帮助同学们学好这部分内容,本文以课本中的有关题目为例,说明常见变换技巧,供参考和选用.一、指数变换例1分解因式xn+1-3xn+2xn-1解:以指数最低的xn-1为标准,把xn+1、xn分别变换为x2·xn-1、x·xn-1,则原式=xn-1(x2-3x+2)=xn-1(x-1)(x-2)二、符号变换例2分解因式(a-b)(x-y)-(b-a)(x+y)解:将-(b-a)变换为a-b,则原式=(a-b)(x-y+x+y)=2(a-b)x三、部分项分解变换例3分解因式x2-6x+9-y2解:原式=(x-3)2-y2=(x+y+3)(x-y-3)四、系数变换例4分解因式81+3x3解:将3提取后便于运用立方和公式分解原…     

例谈高中数学中的“设而不求”

如下习题及其解法应该是熟知的.已知x/(a-b)=y/(b-c)=z/(c-a),求x y z的值.解:设x/(a-b)=y/(b-c)=z/(c-a)=k,则x=k(a-b)、y=k(b-c)、z=k(c-a).     

用公式法解两类无理方程

型如A(x)~(1/2)±B(x)~(1/2)=C(C为大于零的常数,或C=D(x)~(1/2)且D(x)>0)的两类无理方程,可用本文给出的统一公式求解.一、公式的推导(1)当无理方程为A(x)~(1/2)+B(x)~(1/2)=C ①时把①式的两边同乘以(A(x)~(1/2)-B(x)~(1/2),得?②①+②,得?③     

用三角法解f(x)~(1/2)±g(x)~(1/2)=k型方程

一、方程f(x)~(1/2)+g(x)~(1/2)=k(k>0)表明,(f(x)~(1/4),g(x)~(1/4)为圆f(x)~(1/2)=k~(1/2)(cost)g(x)~(1/4)=k~(1/2)(sint)与倾角为t之径线的交点坐标,因而可设 f(x)=k~2cos~4t g(x)=k~2sin~4t’通过三角变换直接或间接地解得x。例1.解方程 2x-1~(1/2)+x+3~(1/2)=4 解:设 2x-1=16cos~4t x+3=16sin~4t(1/2相似文献   

巧用代入法 妙求分式值

一、化简代入技巧例1先化简,再求值。ba-b·a3+ab2-2a2bb3÷b2-a2ab+b2,其中a=23,b=-3。解:待求式=ba-b·a(a-b)2b3·b(b-a)=-ab=-23÷(-3)=29。二、求值代入技巧例2已知a(a-2)-(a2-2b)=-4,则a2+b22-ab=。解:∵a(a-2)-(a2-2b)=-4,∴a2-2a-a2+2b=-4,∴-2(a-b)=-4,a-b=2,故a2+b22-ab=(a-b)22=222=2。三、换元代入技巧例3如果x:y:z=1:3:5,那么x+3y-zx-3y+z=。23,则。解:设x=k,y=3k,z=5k,则x+3y-zx-3y+z=k+9k-5kk-9k+5k=5k-3k=-53。四、和积代入技巧例4已知x=樤3+樤2,y=樤3-樤2,试求2xyx2-y2+xx+y-yy-x的值。解:由题设得,x+y=2樤3,x-y=2樤2,xy=1…     

公式变形 事半功倍

一、完全平方公式的变形变形一:a2+b2=(a+b)2-2ab.变形二:(a+b)2-(a-b)2=4ab.变形三:|a-b|=√(a+b)2-4ab.例1在实数范围内因式分解a4+1.解:由变形一,得a4+1=(a2)2+1=(a2+1)2-2·a2·1=(a2+2~(1/2)a+1)(a2-2~(1/2)a+1)例2 已知x2-5x+1=0,求x2+1/x2的值.     

灵活应用乘法公式解题

<正>学习了整式的乘法后,我们知道,关于整式的乘法公式有平方差公式(a+b)(a-b)=a²-b²和完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²、(a-b)²=a²-2ab+b².另外,(x+p)(x-q)=x²-(p+q)x+pq也可作为两个含有相同字母的一次二项式相乘的公式.     

从学生常犯的几种錯誤談如何改进数学教学

在考查学生的知識貭量时常常发現,有許多数学概念,学生并沒有掌握它的本貭,而只是从表面形式上去了解它,以至产生各种各样的錯誤。例如,由具体数值引入文字符号时,总认为a是正数,-a是負数,甚至在高三学习复数时还出現:当a<0时(-a)~(1/2)==a~(1/2)i。比較a与2a的大小时,就肯定2a>>a,不从a的值分別研究。对于无理数的概念认識不清,以为开平方就得无理数。解方程lgx~(lgx)=1时,得x1=1,x2=10,等等。有的同学机械模仿,乱套公式,不考虑条件把某些性貭和結論随便推广。例如     

极化恒等式在向量数量积中的运用——由苏教版必修四的一道课后习题引发的思考

极化恒等式是泛函分析中联系内积与范数的公式,即(x,y)=1/4(||x+y||2+||x-y||2),由于范数本身就是有关矢量的函数,因此泛函数分析中的极化恒等式就可以迁移到高中平面向量中,得到高中阶段学生可理解的极化恒等式,即a·b=1/4[(a+b)2-(a-b)2].利用这种极化恒等式可以解决向量的数量积.     

分式运算中的分拆变形

微笑的人是快乐的,微笑的面孔是美丽的。在进行分式运算时,如果能根据题目的结构特点,将一个分式分拆成几个分式或一些整式与分式的代数和,往往能使问题化难为易.一、逆用同分母分式的加法法则进行分拆例1当x变化时,分式3x2+6x+512x2+x+1的最小值是.解:原式=6x2+12x+10x2+2x+2=6x2+12x+12-2x2+2x+2=6-2x2+2x+2=6-2(x+1)2+1.∴当x=-1时,分式最小值是4.二、逆用通分法则进行分拆例2化简2a-b-c(a-b)(a-c)+2b-a-c(b-c)(b-a)+2c-a-b(c-a)(c-b).解:原式=(a-b)+(a-c)(a-b)(a-c)+(b-c)+(b-a)(b-c)(b-a)+(c-a)+(c-b)(c-a)(c-b)=1a-c+1a-b+1b-a+1b-c+1…     

完全平方公式的变式及应用

将完全平方公式(a+b)~2=a~2+2ab+b~2,(a-b)~2-2ab+b~2进行变形后易得以下几个公式:a~2+b~2=(a+b)~2-2ab=(a-b)~2+2ab,(a+b)~2=(a-b)~2+4ab(a-b)~2=(a+b)~2-4ab,(a+b)~2-(a-b)~2=2(a~2+b~2),(a+b)~2-(a-b)~2=4ab,(和差化积公式)ab=(a+b/2)~2-(a-b/2)~2.(积化和差公式)