用换元法求函数最值

求函数最值是中学数学中较为常见的题型．由于解这类问题技巧性强，需要思路开阔，学生往往感到困难，所以是中学数学的一个难点．换元法是求函数最值的一种有效方法．下面是有关这类问题的一些例子．     

应用三角换元法解竞赛最值问题

本文以部分高中数学竞赛题为例,谈谈三角换元法在解最大值和最小值问题中的应用,供高中师生教学时参考.1 解最大值问题例1 (2013年全国高中数学联赛辽宁省预赛试题)设实数x,y满足17(x2+y2)-30xy-16 =0,求 f(x,y) =√16x2 +4y2-16xy-12x+6y+ 9的最大值.     

用换元法探究一类最值问题的解法与推广

通过换元法给出了一类条件不等式最值问题的解法思路,同时给出了此类最值问题的一般性推广,揭示了解决此类最值问题的解法规律.     

巧用三角换元法求解一类二元最值问题

<正>有些含有约束条件的二元最值问题,其约束条件通过转化后能够化为两个数的完全平方和(或差)的形式,此时利用三角换元法可化二为一,把所求代数式转化为我们熟悉的一元三角函数式进行求解,简化问题的求解过程.下面举例说明.     

用三角换元法解一类题

<正>换元思想是一种重要的数学思想方法.换元法又称辅助元素法、变量代换法,它通过引进新的变量把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来或者把条件与结论联系起来,将陌生的结构变为熟悉的形式,把复杂的计算和推证简化,换元的实质是转化.本文主要针对笔者在最近高三复习课中遇到的一类具x²+y2+y²的结构问题,利用三角换元法将问题化归到我们熟悉的模型中来,转变一种解决问题的思路,与广大读者交流,欢     

双变量换元法求解一类二元条件最值问题

<正>二元分式型的条件最值问题是经常出现在各地高考模拟或各类竞赛题中的一类热点题型,这类问题的求解方法较多,可以配凑变形后利用基本不等式求解,或换元化为关于新元的一元二次方程,利用判别式法求解,亦或消元后利用导数求解,等等。这些方法虽然可行,但因变形、整理过程冗繁,运算量大,技巧性强,往往会使同学们望题生畏望法兴叹。我在解题过程中找到了一种运算量相对较小、易于操作且十分有效的简便方法,现介绍给大家。     

应用换元法解读高考最值问题

换元法是一种变量代换,它是用一种形式去代换另一种形式,从面使问题得到简化,换元法的实质是转化. 本文主要研究换元法在求解高考最大值和最小值问题中的应用,现分类举例说明如下,供高中师生教与学时参考.     

利用换元法解一类高次方程

引例求方程x2-x＋1=（x2＋x＋1）（x2＋2x＋4）的所有实根．     

用换元法解三角函数求值问题

<正>换元法可将原问题不断地转化,使问题简单化,易理解,有利于问题的解决.三角函数求值是考题中最常见的问题之一,在教学过程中发现不少学生在解此类问题时,看不出两个角之间的关系而一味正面突破,使解题过程复杂化导致耗时长甚至结果错误.本文通过换元法建立两个角与角t的直接明朗的关系,把已知和角(差角)的三角函数值转化为已知角t的三角函数值.如此一来,降低了此类问题的思维难度,简化了此类问题的     

用待定系数法巧解一类最值问题

本文是利用待定系数法解决一类用一般方法难以解决的最值问题. 例IP为△ABC内一点,D、E、F分别是P到三角形各边所引垂线的垂足,求使黑十黑十器为最/Jnd的点尸·(第尸D’尸刀’尸Fr/,形,J’以。;,八二.22届国际数学竞赛题) 解:如图,由面积关系易得BC·PD十C理·尸E十AB·尸尸=封义召为△ABC的面积)。。生_口p一。 13设存在正常数兑,使:乙二Za,则x’ 万3 18a’妻艺a’(x 连万).BCBC·尸刀夕2召丁刀C,即x 4刀(1 18a3 aZ,此式当且仅当x二a,万二b时等于成立,由尸 犷二1得。’一门j一厂一3 几·PE)2犷丁C月,·PF)2创丽一AB,门几八…     

用圆锥曲线定义巧解一类最值问题

在平面几何中,我们会在直线上求一点,使它到直线外两定点A、B的距离之和最小和距离之差最大.在解析几何中,很自然地联想到,能否在圆锥曲线上找一点到两定点的距离之和为最小呢?本文将给出当一定点为圆心或焦点时,利用圆锥曲线定义求最小值     

用换元法解一元二次方程

我们知道,课本上讲述的一元二次方程的解法有四种：开平方法、配方法、因式分解法和公式法,其中公式法是通法,其余三种方法是特殊解法．但有些一元二次方程,若用上述四种方法求解,则变形过程是相当复杂的．在这种情况下,宜考虑用别的方法求解．例1解方程：256x2－544X＋145＝0．分析报明显,对于此方程,用上述四种方法求解是很繁的,因此应另辟蹋径．仔细观察上述方程,不难发现它有一个明显的特点,即二次项是一个完全平方式,故原方程可变形为（16x）2－2x16xx17＋145＝0．若设y＝16x,则原方程可化为y2－34y＋145＝O．此方程易用…     

用换元法解无理方程

无理方程类型很多,解的方法也是多种多样,本文根据无理方程和有理方程、无理方程和方程组之间的内在联系,介绍了用换元解一类无理方程的方法。     

用换元法解议程

初中数学试题常常有解方程(组)的类型，这类方程通常含有根式或分式。若平方去根号或去分母都会产生高次方程，很难解决。对这类方程，一定要认真观察，看看有没有一元二次方程的背景，然后用换元法来解。今以全国各地初中毕业、升学考试数学试题为例来说明。     

用三角换元法求无理函数最值问题的思维视角

找出正确的替换式，用三角换元法化无理式为有理式，从而把求无理函数的最值问题转化为求三角函数最值问题，这里的关键是怎样快速正确地找出替换式？其思维视角是什么？就此问题，本文试作一些探析。     

用分母换元法巧解一类分式型竞赛题

<正>对于各级数学竞赛中一类分式型不等式,如果将其分母换元,然后用新元素表示各个量,将复杂问题转化为已知的或简单的问题进行解决,能够达到事半功倍的目的,现举例说明,以飨读者.例1已知a、b、c∈R+,求证:a b+c+b c+a+c a+b≥32.(第26届莫斯科数学奥林匹克试题)     

用分母换元法巧解一类分式型竞赛题

正对于各级数学竞赛中一类分式型不等式,将其分母换元,然后用新元素表示各个量,将复杂问题转化为已知的或简单的问题进行解决,达到事半功倍的目的,现举例说明,以飨读者.例1已知a、b、c∈R+,求证:a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)≥3/2(第26届莫斯科数学奥林匹克试题)     

用最值法解一类不等式恒成立问题

命题 若函数f(x)存在最小值,则a≤f(x)(或af(x))恒成立(?)a≥[f(x)]_max(或a>[f(x)_max).