应用三角代换法妙解高中最值问题

本文以部分高考题、自招题和高中数学竞赛题为例,通过一题多解,谈谈三角代换法在求解最大值和最小值问题中的应用,供高中师生教学时参考.     

应用均值代换法智解竞赛最值问题

<正>将x+y=m中的x、y分别用m/2+t、m/2-t来代换,这种代换通常称为均值代换.用均值代换解一些最值竞赛题可以简化解题步骤,收到理想的解题效果.下面举例予以说明,供中学师生参考.例1已知a,b,c,d,e是满足a+b+c+d+e=8,a~2+b~2+c~2+d~2+e~2=16的实数,试求e的最大值和最小值.(第7届美国数学奥林匹克试题)     

巧用代换法求最值

代换法即变量替换法,是用一些新的变量(元)替换原来的变量(元),从而对原数学问题进行变形,达到化难为易、化繁为简的目的。求极值问题,往往是将生活中的优化问题数学化,变为求函数或变量在一定条件下的极大(小)值。这类问题有着较实用的价值,因此在中学教学以及高考中得到了越来越高的重视.本文通过实例,给出了3种代换法:整     

代换法求解条件最值

<正>在数学解题时,用代换法通常可以把分散的条件集中起来,或者把条件和结论联系起来,使问题化繁为简,这样有利于提高我们分析问题、解决问题的能力.本文就如何有效地使用代换法,并迅速找准解题的切入点,理清解题思路,顺利地求解含有等式条件的多元函数最值问题.例析如下.     

图解多元变量最值问题

近年来,多元变量最值问题在各地高考中频频出现．这类题目知识覆盖面广,综合性强,解题方法灵活多样．在这里仅用几何方法给予图解,以期抛砖引玉．恩格斯在《自然辩证法》中指出“数学中的转折点是笛卡尔的变数,有了变数,运动进入了数学,有了变数,     

分式代换在一类条件最值问题中的应用

在最值问题中常遇到含有 ｎｉ=1ｘｉ=1的条件约束的题目 ,对这类问题 ,学生时常感到束手无策 ,无从下手 .如果我们能注意挖掘题目中的隐含条件 ,对条件能作仔细分析 ,巧用分式代换ｘｉ =ａｉ/ ｎｉ =1ａｉ ｎｉ =1ａｉ≠ 0 ,ｉ=1,2 ,… ,ｎ ,解题时常能出奇制胜 .下面举例说明 .例 1　已知ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,且ａ ｂ ｃ =1,试求1ａ2 1ｂ2 1ｃ2 的最小值 .解　作代换ａ =αα β γ,ｂ =βα β γ,ｃ =γα β γ,其中α、β、γ∈Ｒ ,则1ａ2 1ｂ2 1ｃ2=(α β γ) 2α2 (α β γ) 2β2 (α β γ) 2γ2…     

线性代换求最值

对于二元条件最值问题,本刊曾有许多优秀解法发表,本文再介绍一种巧妙的线性代换法,供参考.     

变量代换法在高等数学中的应用

对变量代换法在高等数学中某些方面的应用作以探讨 ,分析其特点和技巧 ,以求科学、准确地应用此方法解决数学问题     

利用三角代换求解二元最值问题

近年,让学生感到很棘手的二元最值问题在高考数学试卷上频频出现,本文谈谈利用三角代换的方法求解这种二元最值问题.例1(2011年高考浙江卷·理16)设x,y为实数,若4x2+y2+xy=1,则2x+y的最大值是.解析本题的解法有很多种,下面用三角代换来求解这道题目.     

变量代换法在不等式中的应用

对于一些结构较为复杂、变元较多的数学问题,引入一些新的变量进行代换,以简化其结构,从而达到解决问题的目的,这种方法叫做变量代换法．     

解分式最值问题的代换策略

分式最值问题是数学竞赛中的热点问题，也是难点问题，如2002年、2005年全国联赛中的二试第二题均为此类问题．本文结合一些典型例题向读者介绍一种解决这类问题的非常有效的方法——代换法．     

变量代换法证明不等式

<正>世界万物变化是永恒的,各种事物间不等关系是绝对的.而不等式作为数学的一个重要组成部分,在数学的所有领域以及其他学科中都起着重要的作用.其中,不等式的证明是高中数学竞赛的热点和难点,其特点是方法多样灵活、技巧性强.本文将举例说明变     

变量代换法证明不等式

世界万物变化是永恒的,各种事物间不等关系是绝对的．而不等式作为数学的一个重要组成部分,在数学的所有领域以及其他学科中都起着重要的作用．其中,不等式的证明是高中数学竞赛的热点和难点,     

变量取整数的最值问题

我们学习过二次函数的最值问题:给出一个二次函数y＝ax2+bx+c,当x取全体实数时,若a＞0,则当x＝-(b)/(2a)时,y有最小值(4ac-b2)/(4a);若a＜0,则当x＝-(b)/(2a)时,y有最大值(4ac-b2)/(4a).或者,当m≤x≤n时,我们也能够求出这个二次函数的最值.这样的最值问题的特点是:自变量x取全体实数或部分实数,如果在平面直角坐标系表示出来则是一个"连续"的状况.但有些问题,它的自变量不是取实数,而是取整数,变量呈现一定的"离散"状况,这时,我们学习过的求最值的方法就不一定适用了,因为这时-(b)/(2a)不一定是整数.另外,还有不少题目给出的变量不仅是取整数,而且变量不一定是一个,解这类问题,我们学习过的方法也不一定适用.     

多变量最值问题求解策略

多变量最值问题是中学数学中常见问题乏一,由于中学阶段所学知识有限,如何处理多变量最值问题成为难点,下面举例说明处理这类问题的一般方法.     

三角代换在求最值中的应用

三角代换法在数学方法中占有相当重要的地位，本就如何应用三角代换求代数函数最值问题作初步的探讨。     

齐次代换在求最值中的应用

一类二元函数的条件最值,如能进行适当的齐次代换转化为分式函数,利用判别式法易于简捷巧妙地获解。例1 已知|3x-y|≥4,求S=2x~2-xy y~2的最小值,并求S取最小值时的x、y值。解:显然x,y不全为零,不妨设x≠0,令t=y/x。 u=S/(3x-y)~2=(2x~2-xy y~2)/(9x~2-6xy y~2)=(2-t t~2)/(9-6t t~2)化为(1-u)t~2 (6u-1)t (2-9u)=0其△=(6u-1)~2-4(1-u)(2-9u)=32u-7≥0,解得u≥7/32。     

算术平均值代换法

例1.分解因式:(xZ一劣+15)(劣2一x一5)+51解令夕二忿念一劣十15+劣2一劣一5=劣名一劣+5.则原式=(夕+10)(夕一10)+51二夕2一49 =(军一7)(夕+7) =(劣一2)(劣+1)(劣2一2+12)。例,·求{劣‘+犷4”272’劣一歹二2的实数解. 解设:二宁,结合‘一;第1式化为(:2一9)(22+25)=o,=2,方程组士3.故得两组解:一2,一4;=4,=2。二X夕之了,、、例3.已知劣,+劣:十.)为实数。求证:==1,名2蕊劣万。劣护..、几+端‘专十十”·十吐(等式当且仅当::二‘二二劣.二告时成立,· ﹂贝1一扩 +1 .1 劣 一一解设劣‘…+:二二0.因此 十‘护全 劣 十I‘1 劣+:盖 . . .十名注 …     

求解一类二元函数最值问题的松驰变量法

在本刊文[1]中，作者介绍了对下述二元函数最值的多种求解方法，但其解法1和解法2是错误的，本文首先指出其错误，再给出一种求解二元函数最值的新方法。