由一道课本习题的提示引发的几点思考

现行高中新编数学教材第一册(上B)中有这样一道习题:已知cos(α-β)=-45,cos(α+β)=54,且(α-β)∈(π2,π),(α+β)∈(32π,2π),求cos2α,cos2β的值.题后括号里还附有提示:2α=(α+β)+(α-β),2β=(α+β)-(α-β).笔者认为,对学生不易想到的解题方法和技巧,应当给学生留有一定的思考时间进行探究,因而这一提示,实质上是个“蛇足”.基于上述认识,在教学中,笔者事先将这一习题作为例题呈现给学生,并取消了提示,让学生进行求解,结果有三分之二学生的解题过程是这样的:由cos(α-β)=-45,cos(α+β)=54,得cosαcosβ+sinαsinβ=-45,(1)co…     

│a·b│≤│a│·│b│在解题中的应用

向量作为一种工具在解题中的应用极广,巧用公式a·b≤a·b解题,方法新颖、运算简捷.本文举例说明该公式的应用.1在求值中的应用例1若α,β∈(0,π),求满足等式cosα+cosβ-cos(α+β)=23的α,β的值.解原等式可化为(1-cosβ)cosα+sinβsinα=32-cosβ.构造向量a=(1-cosβ,sinβ),b=(cosα,sinα),则a·b=(1-cosβ)2+sin2β·cos2α+sin2α=2-2cosβ,a·b=(1-cosβ)cosα+sinβsinα=32-cosβ.因为(a·b)2≤a2b2,所以(23-cosβ)2≤2-2cosβ,即(cosβ-12)2≤0,所以cosβ=21,β=3π.又α,β地位相同,故α=3π,即α=β=3π.2在求最值和值域中的…     

联用sin~2θ+cos~2θ=1与二维柯西不等式解题

解数学题,学生是多么期盼掌握一些“战无不胜”的技法。本文联用sin~2θ+cos~2θ=1与二维柯西不等式解题,其构思别致,变换灵巧,可谓学生所盼的“阳春白雪”。二维柯西不等式是:ac+bd≤(a~2+b~2)~(1/2)·(c~2+d~2)~(1/2),a、b、c、d∈R当且仅当a/c=b/d时,等式成立。(现行高中《代数》课本下册P.14)。一求值(或证明条件不等式) 例1 若α、β∈(0,π),且cosα+cosβ-cos(α+β)=3/2,求α、β。解:已知即为(1-cosα)cosβ+sinα·sinβ+cosα=3/2,于是:(cos~2β+sin~2;xx2)[1-cosα)~2+sin~α]≥[(1-cosα)cosβ+sinα·sinβ]~2=(3/2-cosα)~2即(2cosα-1)~2≤0,cosα=1/2,α=π/3,同理知β=π/3。(α、β∈(0,π)) 例2 已知msinθ-ncosθ=(m~2+n~2)~(1/2) (1)sin~2θ/α~2+cos~2θ/b~2=1/(m~2+n~2) (2)     

三角恒等变形中角的变换常用的五种策略

一、“给值求值”时将“待求角”用“条件角”表示例1 已知cos(α-β)=-4/5,cos(α+β)=4/5,且α-β∈(π/2,π),α+β∈(3π/1,2π),求cos2α. 解:由已知求得sin(α-β)=3/5,sin(α+β)=-3/5.又2α=(α-β)+(α+β),所以cos2α=cos(α-β)cos(α+β)-sin(α-β)sin(α+β)·代入已知数据得cos2α=-7/25. 练一练已知sin(π/4-α)=5/13(0<α<π/4),求cos2α/(?)的值.     

“至少”与“至多”

题目:已知sin2α=a,cos2α=b,则 tan(α+π4)的值是(　　) (A)b1-a(B)1+ab (C)1+a+b1+b-a(D)a-b+1a+b-1 解法(一):tan(α+π4)=1+tanα1-tanα =sinα+cosαcosα-sinα=cos2α-sin2α(cosα-sinα)2=cos2α1-sin2α =b1-a.故选(A) 解法(二):tan(α+π4)=1+tanα1-tanα =sinα+cosαcosα-sinα=(sinα+cosα)2cos2α-sin2α=1+sin2αcos2α …     

关于几个三角公式的应用

三角学中有下面几个公式: sinαsin(π/3+α)sin(π/3-α)=1/4sin3α;(1) cosαcos(π/3+α)cos(π/3-α)=1/4cos3α;(2) tgαtg(π/3+α)tg(π/3-α)=tg3α;(3) ctgαctg(π/3+α)ctg(π/3-α)=ctg3α。(4) 这几个公式的证明是比较简单的。现对公式(1)证明如下: ∵ sinαsin(π/3+α)sin(π/3-α)=sinα[-1/2(cos(2π/3)-cos2α)]=sinα(1/4+1/2cos2α)     

合理分配房租

三角问题几何来处理,这样做能加强知 识之间横向联系,有利于培养学生类比思维 能力,提高学生创新能力. 关于sinα+sinβ=2sinα+β2cosα-β2, cosα+cosβ=2cosα+β2cosα-β2的证明. 在直角坐标系中,把α、β顶点放在原点, 始边与x轴非负半轴重合,α、β终边与单位 圆分别交于A、B两点,所以A(cosα,sinα)、 B(cosβ,sinβ),取点M(1,0),记AB中点为 P,过P作x轴垂线,垂足为E,由中点坐标公 式得sinα+sinβ=2ypcosα+cosβ=2xp 当α、β∈[0,2π]时,∴0≤｜α-β｜≤ 2π. 1.若｜α-β｜=0,π、2π时和差化积公 式转化为诱…     

对一道西班牙赛题的再研究

第 31届西班牙数学奥林匹克第 2题是 :证明 :如果 ( x+ x2 + 1 ) ( y+ y2 + 1 )= 1 ,那么 x+ y=0 .文 [1 ]给出了此题的一种证法 ,本文再给出此题的两种换元证法 ,然后给出一个新命题 .证法 1　设 x=tanα,y=tanβ,其中 α,β∈ ( - π2 ,π2 ) ,则由条件知 ,( tanα+ secα) ( tanβ+ secβ) =1 ( sinα+ 1 ) ( sinβ+ 1 ) =cosαcosβ sinα+sinβ+ 1 =cos(α+β) 2 sinα+β2 cosα-β2 +1 =1 - 2 sin2 α+β2 sin α+β2 ( sin α+β2 +sinπ-α+β2 ) =0 sin α+β2 sin 2β+π4 ·cos2α-π4 =0 .又由 α,β∈ ( - π2 ,π2 ) ,知…     

用三角代换法求函数的值域

一、对于含有代数式a2-x2√的函数或方程,可设x=acosα(0≤α≤π)或x=asinα(-π2≤α≤π2).例1已知x1-y2√+y1-x2√=1,求u=x+y的取值范围.解由题意可知0≤x≤1,0≤y≤1,不妨设x=cosα,y=cosβ(0≤α≤π2,0≤β≤π2),代入已知条件中得cosα1-cos2β√+cosβ1-cos2α√=1,即sin(α+β)=1.∵0≤α≤π2,0≤β≤π2,0≤α+β≤π,∴α+β=π2,β=π2-α,∴u=x+y=cosα+cosβ=cosα+cos(π2-α)=cosα+sinα=2√sin(α+π4).∵π4≤α+π4≤34π,2√2≤sin(α+π4)≤1,即1≤2√sin(α+π4)≤2√,∴u=x+y的取值范围是犤1,2√犦.二、对于含有…     

关于诱导公式的“逆运用”

不少学生对诱导公式背得“滚瓜烂熟”,但却不能“倒背如流”,也就是不能“逆用”诱导公式。究其原因,还是不能灵活运用诱导公式。所谓诱导公式的“逆运用”,顾名思义,就是把诱导公式反回去应用。例如,能根据需要把sinα写成形如sin(π-α),-sin(π+α),-sin(2π-α),sin(2π+α),-sin(-α),cos(π/2-α),-cos(π/2+α),-cos(3π/2-α),cos(3π/2+α)等形式。在反三角函数的讨论及复数的研究中都需要大量“逆用”诱导公式。例1 求下列各式的值。 (1) arc sin(sin4) (2) arc ctg(ctg5) 对本题只需“逆用”恰当的诱导公式把自变量化     

韦达定理解三角题例说

一些三角问题转化为代数问题,运用韦达定理逆定理构造方程来解有时是很简便的。兹举例说明之。 [例1] 已知sinα·cosα=-(3~(1/2))/4,且(π/2)<α<3π/4,求sinα和cosα的值。解:∵(sinα+cosα)~2=sin~2α+cos~2α+2sinα cosα=1-(3~(1/2))/2,(又(π/2)<α<(3π/4)), ∴sinα+cosα>0。     

asinα+bcosα的一个性质及应用

性质　若 sinα与 cosα的一次齐次式asinα+ bcosα满足 asinα1 + bcosα1 =asinα2+ bcosα2 =0 (α1 ≠ kπ+α2 ,k∈ Z) ,则 asinα+bcosα恒等于零 .证明　由条件 asinα1 + bcosα1 =0 ,asinα2 + bcosα2 =0 ,∵α1 -α2 ≠ kπ( k∈ Z) ,∴ sinα1 cosα2 - cosα1 sinα2 =sin( α1 - α2 )≠ 0 ,∴上述关于 a,b的齐次线性方程组只有零解 a=b=0 ,∴ asinα+bcosα恒等于零 .利用上述性质 ,可以使一类三角函数式的求值、化简、证明问题 ,获得简明的解法 ,下面略举几例 ,以示说明 .例 1　求证 :sin( 5π6 - φ) + sin( 5π6 + φ) …     

2004年高考三角函数求值问题选解

例1(2004年全国高考文史类试题)设α(0,π2),若sinα=35,则2姨cos(α+π4)=()A.75B.15C.-72D.4解∵α(0,π2),sinα=35,∴cosα=45.∴2姨cos(α+π4)=2姨(cosαsinπ4-sinαcosπ4)=cosα-sinα=45-35=15,故选B.例2(2004年全国高考广西卷)已知α为锐角,且tanα=12,求sin2αcosα-sinαsin2αcos2α的值.解sin2αcosα-sinαsin2αcos2α=sinα(2cos2α-1)sin2αcos2α=sinαcos2αsin2αcos2α=sinαsin2α=12cosα.由α为锐角及tanα=12,得1cos2α=sin2α+cos2αcos2α=tan2α+1=54.∴1cosα=5姨2.∴sin2αcosα-sinαsin2αcos2α=1…     

正、余弦函数有界性的解题功能

如果xR,那么｜sinx｜≤1,｜cosx｜≤1,这是三角函数中一个应用广泛的重要性质,恰当运用可以使解题过程简捷流畅;反之,忽视正、余弦函数的有界性这一隐含条件,则使同学们在解题过程中经常出现错误.下面结合实例介绍它的解题功能.一、求角度例1已知6sin3β-cos22α=6,求α,β.解原方程变形为6(sin3β-1)=cos22α,则有6×(sin3β-1)≥0,即sin3β≥1.∵｜sin3β｜≤1,∴sin3β=1,3β=2kπ+π2,即β=23kπ+π6(kZ).此时cos2α=0,2α=kπ+π2,即α=12kπ+π4(kZ).评注等式中含有两个未知数,如果不从正弦函数的有界性中挖掘出隐含条件寻找…     

多思多想 活水长流

对于同一个数学问题,教师若能引导学生从不同角度多思多想,激活他们思维的源泉,往往能获得多种不同的解题途径.这不仅对帮助学生训练基本技能、追求优美解法是十分必要的,而且对培养学生思维的灵活性、发散性、广阔性和深刻性,进一步提高学生的观察分析能力、探究发现能力以及综合运用知识的能力都有着极其重要的作用.下面就以一道三角问题的求解为例加以说明.题目:已知sinα+cosα=15,α∈(0,π),则tanα的值等于.思考1:直接解方程组若α∈(0,π2],则sinα+cosα≥1,∴α∈(π2,π),即sinα>0,cosα<0.由sinα+cosα=51sin2α+cos2α=1得si…     

例说三角代换的种种误区

运用三角代换解题 ,具有思路巧妙、解法简练等优点 ,非常利于强化思维的灵活性、批判性、广阔性等品质 ,能有效训练综合性分析与解决问题的能力以及培养创新意识 .但实际中发觉学生运用三角代换解题时存在种种误区 ,现陈述如下 .误区之一　不辨关联用三角代换解题 ,要认真、细心分析已知与所求中涉及的字母是否有关联 ,不要盲目代换 .例 1　已知 |a|<1,|b|<1,求证|a+b1+ab|<1.讲评　有学生见 |a|<1,|b|<1,即设 a= sinα,b=cosα,则有|a+b1+ab|=|sinα+cosα1+sinα· cosα|<1 |sinα+cosα|<|1+sinα·cosα| sin2α+2 sinα· cosα+cos2…     

一个正切不等式及其应用

定理　已知0 <α<π2 ,0 <β<π2 ,若α+β<π2 ,则tanαtanβ≤tan2 α+β2 ;(1)若α+β>π2 ,则tanαtanβ≥tan2 α+β2 . (2 )当且仅当α=β时,上述两式取等号.证明　tanαtanβ-tan2 α+β2=sinαsinβcosαcosβ- 1-cos(α+β)1+cos(α+β)=cos(α- β)cos(α+β) -cos(α+β)cosαcosβ[1+cos(α+β) ]=- cos(α+β) [1-cos(α- β) ]cosαcosβ[1+cos(α+β) ].∵0 <α<π2 ,0 <β<π2 .∴cosα>0 ,cosβ>0 ,1+cos(α+β) >0 ,1-cos(α- β)≥0 ,从而可知,当α+β<π2 时,tanαtanβ-tan2 α+β2 ≤0 ,即(1)成立;当α+β>π2 时,tan…     

关于三角函数最值的几条结论

定理1 设α_1,α_2,…,α_n∈[2kπ,(2k+1)π],其中 k 取自然数,α_1+α_2+…+α_n=θ(θ为定值),则 sin α_1+sin α_2+…+sin α_n≤nsin θ/n,当且仅当α_1=α_2=……α_n=θ/n 时等号成立(其中 n≥2).证明:采用数学归纳法.①当 n=2时,sin α_1+sin α_2=2sin((α_1+α_2)/2)cos((α_1-α_2)/2)=2sin(θ/2)cos((α_1-α_2)/2)≤2sin(θ/2).②假设 n=m 时命题成立(这里的 m 是大于2的自然数),     

2002高考（天津）试题别解

题目已知cos(α+π/4)=3/5,2/π≤α＜3/2π求cod(2α+π/4) 解法1由cos(α+π/4)=3/5,可得cosα-sinα=3√2/5…(1)再由sin2α+cos2α-1,得:2cos2α-6√2/5cosα-7/25-0,解得cosα=-√2/10或7√2/10,又π/2≤α＜3/2π,所以cosα=-√2/10,sinα=-7√2/10,所以cos2α=cos2α-sin2α=-24/25,sin2α=7/25所以cos(2α+π/4)=√2/2(cos2α-sin2α)=-31√2/50.     

第一届全国中学生“学有巧法”征文选登 一题多解 开拓思维

三角函数中的公式特别多,选取不同的公式,解题的途径就会有很多.平面向量具有一套运算法则,它可把几何图形的性质转化为向量运算,变抽象的逻辑推理为具体的向量运算,实现“数与形”的结合.我们在做题的同时,力求从不同的途径获得多种解法,开拓思维,有利于深刻理解问题的本质.例1已知sin2θ=35,而且0<θ<4π,试求2cos2s2in2θ-θ+sinπ4θ-1的值.解法1:把cosθ-sinθ化成2cosθ+4π,由条件利用半角公式分别求出cosθ+4π和sinθ+4π的值.原式=cosθ-sinθ2sinθ+4π=2cosθ+4π2sinθ+4π=cosθ+4πsinθ+4π,由sin2θ=53,0<θ<4π,得cos2π+…