因式分解在数学中的应用

在数学运算中 ,利用因式分解的方法 ,往往使运算由繁化简 ,化难为易 :一、解决计算问题例 1　计算 32 0 0 2 - 5× 32 0 0 1+ 6× 32 0 0 0 + 2 0 0 2 .分析 :前三项含公式 32 0 0 0 ,因此先提公因式后 ,变为简单的计算。解 :原式 =32 0 0 0 ( 32 - 5× 3+ 6) + 2 0 0 0 =32 0 0 0 × 0 + 2 0 0 2 =2 0 0 2 .二、解决求值问题例 2　已知 (ａ +ｂ) =15 ,ａ·ｂ =2 ,求代数式ａ2 ｂ + 2ａ2 ｂ2 +ａｂ2 的值 .分析 :本题关键是通过因式分解把代数式变形为只含 (ａ +ｂ)、ａ·ｂ的代数式 ,从而求出代数式的值。解 :ａ2 ｂ + 2ａ2 ｂ2 +ａｂ2 =ａ…     

巧设参数妙解题

巧设参数解题是中学数学中一重要的解题方法 .某些数学问题 ,看似无从下手 ,但是如能仔细分析题意 ,抓住题目的结构特征 ,巧设参数 ,往往能拓宽思路 ,突破难点 ,获得简捷清晰的解答 .为了给读者一个明细的说法 ,以下精选了几个典型的题例 ,从五个方面说明如何选设参数 ,求解问题 .1　常值设参某些常值计算问题 ,由于所给数字过大 ,或形式较复杂 ,给运算带来困难 ,这时若能根据所给数字的组成特征 ,引入参数 ,进行局部代换 ,常能使问题简捷获解 .例 1　计算 :2 0 0 1× 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 - 2 0 0 0 × 2 0 0 12 0 0 12 0 0 1分析　观…     

一元二次方程整数根的字母求值

一元二次方程的教学中 ,经常遇到一类有整数根的字母求值问题。这类问题综合性强 ,难度较大。解答此类问题时要求在熟练地掌握整数性质的基础上 ,灵活运用一些具体的方法。一、代入法例 1.已知关于 x的方程 3x2 + px- 18=0有一个整数根 ,则整数 p的值是。解 :设 x0 是已知方程的一个整数根 ,那么3x0 2 + px0 - 18=0 ,∴ p=18- 3x0 2x0=18x0- 3x0 。∵ p、x0 都为整数 ,∴ x0 =± 18,± 9,± 6 ,± 3,± 2 ,± 1。把 x0 的上述值分别代入 p的表达式中 ,∴ p=± 5 3,± 2 5 ,± 15 ,± 3。二、因式分解法例 2 .已知方程 a2 x2 - (3a2 - 8a) x+…     

恒成立问题的常见解法

在数学解题中经常碰到有关恒成立问题 ,解决这类问题的方法尽管很多 ,但都离不开一些基本的数学思想 ,如化归思想、函数思想、方程思想等等 .笔者在平时的教学过程中对这类问题的解法作了一点归纳 ,供大家参考 .一、利用一次函数的性质对于一次函数 f(x) =kx +b,x∈ [m ,n] ,有f(x) >0恒成立 f(m) >0 ,f(n) >0 ;f(x) <0恒成立 f(m) <0 ,f(n) <0 .例 1　 ｜p｜ <2 ,p∈R ,欲使不等式(log2 x) 2 +(p-2 )log2 x+1-p >0恒成立 ,求x的取值范围 .分析　若直接解关于log2 x的不等式 ,再由 p的取值范围求出x的取值范围 ,不仅化简过程十分繁杂 ,而…     

取倒数,难化易(高一)

在一些数学问题中,恰当应用“倒数法”,可使问题化难为易. 1.求值域或最值例1 求函数y=x/x~2 2x 2~(1/2)的值域. 解(1)当x=0时,y=0;     

利用根与系数的关系解题

根与系数的关系问题是一元二次方程的重点内容 ,在中学数学中占有相当重要的地位 .利用它不但可以解决许多代数问题 ,还可以解决三角、几何问题 ,在中考解题中应用也很广泛 .现以各地中考题为例 ,介绍它的应用 .一、已知一根 ,求另一根例 1　已知方程 2ｘ2 -ｐｘ 62 =0有一根是 2 ,那么另一根是 . ( 1 999年四川省中考题 )解　设另一根为ｘ0 ,由根与系数的关系可得ｘ0 · 2=622 ,所以ｘ0 =3.二、求代数式的值例 2　先化简 ,再求值 :ｂａ ａｂ(ａ >0 ,ｂ >0 ) ,其中ａ、ｂ是方程ｘ2 -3 2ｘ 3=0的两个实数根 .( 1 999年辽宁省中考题 )解　 …     

一个三角数阵的性质

先看一个问题 :从 0 ,1 ,… ,n- 1这 n个数字中选取 n个允许重复的数字 a1 ,a2 ,… ,an 排成一行 ,要求 :1 ai≤ai 1 (i=1 ,2 ,… ,n) ;2 ai相似文献   

中学数学中“3”的重要性

在中学数学中许多问题与“3”有关,学习时如不予以重视,就会出现这样或那样的错误,现仅举重要的几个例子. 一、关于x的方程ax2+bx+c=0有两正根求解时应注意三步①a≠0;②△≥0;③x1+x2>0,x1x2>0.     

谨防参数问题中的“陷阱”

在中考中 ,为了考查同学们的观察能力和综合运用知识的能力 ,在一些参数问题里 ,命题者往往设置一些容易被忽视的条件 ,使解题者误入“陷阱” .本文列举参数问题中常见的一些“陷阱” ,以引起同学们足够的注意 .例 1　已知关于ｘ的一元二次方程( 1-2ｋ)ｘ2 -2ｋ +1ｘ -1=0有两个不相等的实数根 ,求ｋ的取值范围 . ( 2 0 0 0年广西区中考题 )错解　Δ =( -2ｋ +1) 2 -4 ( 1-2ｋ) ( -1)=-4ｋ +8.∵　Δ >0 ,∴　 -4ｋ +8>0 .解得ｋ <2 .又∵　 1-2ｋ≠ 0 ,∴　ｋ≠12 .则ｋ的取值范围是ｋ <2且ｋ≠12 .分析　本题设置的“陷阱”是一次项-2ｋ +…     

恒成立不等式中参数范围的确定

恒成立不等式问题中字母范围的探求虽然是中学数学中的常见题型,但是学生在教材中或课堂上得不到解决问题的实质理论依据,因此在解答这类问题时,不得要领,甚至毫无头绪.本文将通过具体实例的研究,归纳解决这类问题的常见方法.分离参数即将恒成立不等式中某一变量与其他变量分离开来.例1.设不等式!x+!y≤a!x+y对一切x>0,y>0恒成立,求实数a的最小值.解:由已知,不等式a≥!x+!y!x+y对一切x>0,y>0恒成立,又因为!x+!y!x+y的最大值为!2,所以a≥!2,则a的最小值为!2.构造函数将问题转化为函数在给定区间上大于(或小于)0的恒成立问题,灵活运用函数的思…     

分子运动论中的估算问题

在分子运动论中 ,有原子 (分子 )的半径和数目的估算问题 .现在估算中存在的主要问题是 ,微观模型不统一、计算结果不一致、有时计算误差较大 .例 1 .已知铜的密度 ρ为 8.96 0× 1 0 3 ｋｇ/ｍ3 ,摩尔质量Ｍｍｏｌ为 6 3.5 4 6× 1 0 - 3 ｋｇ,铜原子的实际半径为ｒ0 =1 .2 78× 1 0 - 10 ｍ ,阿伏加德罗常数ＮＡ 为 6 .0 2 2 5 2× 1 0 2 3 .( 1 )试估算铜原子的半径ｒ,并计算出估算半径的相对误差δｒ.( 2 )试估算 1ｍｏｌ铜的原子的数量Ｎ ,并计算出估算的相对误差δＮ.解 :密度 :ρ =Ｍ/Ｖ =ＭｍｏｌＶｍｏｌ这是公认的算式 .以下的…     

“三角变换”与“解斜三角形”复习指导

一、试题特点及变换策略从近年高考解答题可以看出 ,三角试题均以中低档题出现 ,复习中应熟练掌握三角变换的方法及技巧 ,能根据问题的特征合理选择使用三角变换公式 ,并结合使用代数手段进行化简、求值等 .下面是对近年全国高考三角解答题分析后归纳得到的几种变换策略及方法 .1 化切为弦在同一三角关系式中含切与弦 ,常考虑化切为弦 .例 1　求ｔｇ2 0°+ 4ｓｉｎ2 0°的值 .分析与略解 :ｔｇ2 0° + 4ｓｉｎ2 0°=ｓｉｎ2 0° + 2ｓｉｎ4 0°ｃｏｓ2 0°=ｓｉｎ2 0° + 2ｓｉｎ(6 0°- 2 0°)ｃｏｓ2 0°=3ｃｏｓ2 0°ｃｏｓ2 0° =3.本例…     

具有探索性的三角问题选解

对于结论不确定的问题 ,常以适合某种性质的结论“是否存在”的形式出现 ,称为结论开放型问题 .解这类问题的常用方法是 ,先假设结论中相对应的某一方面的结论成立 ,进行演绎推理 ,若推出矛盾 ,即可否定先前的假设 ,而得出相应的结论 ;若推出合理的结果 ,说明假设正确 ,即结论成立 .现以与三角有关的问题为例说明 .【例 1】　已知 0 相似文献   

解三角题常见错误分析

在三角函数教学过程中 ,经常发现学生在解决一些三角函数问题时由于审题不清 ,思考不严密 ,造成解题的错误 .仔细分析其中原因 ,一般有如下几个方面 .一、忽视对角的范围的进一步分析例 1　已知sinx+cosx =13 ( 0 0 ,我们可将x的范围缩小到 π2 ,3π4,再由π<2x<3π2 得出cos 2x =-179.例 2　已知α ,β为锐角 ,cosα=17,sin(α+β) =5 314 ,求 β.…     

含绝对值问题的类型及解法

与绝对值有关的一些问题 ,解法常带有一定的技巧性 ,如果我们把握绝对值的意义 ,认真分析问题的结构、特征 ,采取相应的手段 ,那么问题就不难被解决 .本文就一些题型及解法作一番介绍 ,供读者启示 .1　绝对值与数值计算例 1　求｜｜｜｜ 1999- 2 0 0 0｜- 2 0 0 1｜- 2 0 0 2｜-2 0 0 3｜ .解　原式=｜｜｜ 1- 2 0 0 1｜ - 2 0 0 2 ｜- 2 0 0 3｜=｜｜ 2 0 0 0 - 2 0 0 2｜- 2 0 0 3｜=｜ 2 - 2 0 0 3｜=2 0 0 1.2　绝对值与分数例 2　已知a≠ 0 ,化简 a｜a｜+a2｜a2 ｜+a3｜a3 ｜.解　当a >0时 ,原式 =aa +a2a2 +a3a3 =3;当a <0时 ,原式 =a…     

不等式中“恒成立”问题的几种处理方法

在不等式问题中常常涉及有关“恒成立”的问题 .解决这类问题需要一定的技巧 .本文通过一些例子说明不等式中有关“恒成立”问题的几种处理方法 .1 借助不等式的有关知识许多不等式或不等关系本身就有“恒成立”的含义 .如ａ2 ｂ2 ≥ 2ａｂ ,｜ｓｉｎｘ｜≤ 1等 .利用这些知识就可以达到解题目的 .例 1　已知ｆ(ｘ) =2ｌｏｇａ(ｘ 2 ) ｌｏｇ1ａ(ｘ2 4ｘ) (ａ >0且ａ≠ 1 ) ,当ｘ∈ (0 , ∞ )时 ,ｆ(ｘ) <0恒成立 .试讨论函数在 (0 ,∞ )上的单调性 .解 :∵ｆ(ｘ) =2ｌｏｇａ(ｘ 2 ) ｌｏｇ1ａ(ｘ2 4ｘ)=ｌｏｇａ(ｘ 2 ) 2ｘ2 4…     

例说用奇偶分析法解数学竞赛题

在各级各类的初中数学竞赛中 ,有许多较困难的问题 ,若能善于运用奇偶分析的方法 ,往往有“四两拨千斤”的效果 .现分类例析当今初中数学竞赛中经常出现的可用奇偶分析法来解决的问题 ,供参考 .1　与正整数有关的问题1 .1　求正整数例 1　一个正整数 ,若分别加上 1 0 0与1 6 8,则可得到两个完全平方数 ,求这个正整数 .( 2 0 0 1年全国初中数学联赛题 )解　设此数为 n,且 n+ 1 6 8=a2 ,n+ 1 0 0= b2 ,则 a2 - b2 =6 8=2 2 × 1 7,即 ( a+ b) ( a-b) =2 2 × 1 7.但 a+ b与 a- b的奇偶性相同 ,故 a+ b=34,a- b=2 .于是 a=1 8,从而 n=1 56 .1 .…     

求恒不等式中参数取值范围的六种方法

恒不等式问题,往往是把代数、几何、三角有机地结合起来,是近几年数学高考、竞赛中考查的热点,而学生对此类问题感到比较困难.为此,特举以下例子来探讨它的几种解法.一、变元转换法例1设g(x)=(log2x)2+(t-2)log2x-t+1,若在t[-2,2]时,g(x)>0恒成立,求x的取值范围.解p(t)=(log2x-1)t+(log2x)2-2log2x+1,将问题转化成当t眼-2,2演时,p(t)>0,∴P(-2)>0熏P(2)>0 熏即-2(log2x-1)+穴log2x)2-2log2x+1>0熏2(log2x-1雪+(log2x)2-2log2x+1>0 .故08.二、分离参数,最值转换法例2若f(x)=1+2x+3x+…+穴n-1雪x+nx·m姨,其中mR,nN,且n≥2…     

小数除法计算中常见错误例举

教学实践中 ,我发现学生初学小数除法时 ,由于不善于分配注意 ,或受整数除法的影响 ,练习或作业中常常出现以下错误情况 :一、把除数变成整数过程中常出现的问题1 .只把除数变成整数 ,被除数不变。例如　　 2 5 .5÷ 1 .7　　　　1 .7丿　 1 .52 5 .5　　 1 7　　 8　 5　　 　 8　 5　　 02 .不管被除数、除数的小数位数是否相同 ,都同时变成了整数。例如　　 ( 1 ) 4 .6 8÷ 1 .2　　 ( 2 ) 2 .0 7÷ 0 .1 1 5　　　　1 .2丿 　 394 .6 8　　 36　1 0 8　　 1 0 8　　 0　　 .1 1 5丿　　 1 .82 .0 7　　　　 1 1 5　92 0　　　 　 92 0　…     

求解析几何参数范围问题的三个视角

求解析几何中参数范围是解析几何中的一类常见问题 .由于其解法灵活多变 ,许多学生对求解此类问题感到困难 .本文结合实例给出求解析几何中参数范围问题的三个视角 .1　方程视角在求某些参数范围时 ,若能从方程的视角去分析研究 ,即把问题转化为含待求参数的方程 ,利用方程思想 ,往往能使问题顺利解决 .例 1　 (2 0 0 3年湖北省八校高三第二次联考题 )已知椭圆C :x2 +y2tan2 α=1　 (0 <α<π2 )的焦点在x轴上 ,A为右顶点 ,射线 y=x (x≥ 0 )与椭圆C的交点为B .(1)写出以R(m ,0 )为顶点 ,A为焦点 ,开口向左的抛物线方程 ;(2 )当点B在抛物…