齐次化方法在圆锥曲线问题中的应用探究

在圆锥曲线试题中,常常出现与斜率有关或者证明直线过定点的问题．此类问题用常规的方法也可以解决,只不过运算量有些大,但如果构造方程,利用齐次化方法求解,则可大大简化运算．利用齐次化方法解决的题型主要有两种：题型一是定点在坐标原点的斜率问题,题型二是定点不在坐标原点的斜率问题．文章介绍利用齐次化方法求解以上两种题型的步骤,并给出齐次化方法局限性的说明,旨在让读者熟悉齐次化方法的解题步骤、适用范围,并且知道齐次化方法不是求解圆锥曲线问题的通法,它只是求解与斜率有关的问题的巧妙方法．     

例析齐次化方法解不同题型圆锥曲线问题

学习圆锥曲线知识内容与掌握相关问题解题思路是学生在高中数学必经的一段“苦尽甘来”的阶段.联立方程消元是解答圆锥曲线问题最常见的解题思路,此外,齐次化方法也同样能用来解答圆锥曲线问题.齐次化方法通常运用在一些与圆锥曲线相关的直线斜率问题中,关键在于对等式的变形处理,运用齐次化后等式解答相关问题.本文主要对齐次化方法解答不同类型圆锥曲线问题展开讨论,以具体例题进行分析,思考并总结得到齐次化方法解题的适用范围和对应解题步骤,以此促进学生对圆锥曲线的理解,提高解答相关问题的效率.     

“齐次化”巧解斜率和(积)问题——由2017年一道全国高考题想到的

<正>解析几何问题的难点之一是运算量较大,本文由2017年高考全国卷Ⅰ(理)第20题的解答获得启发(本文中例1),发现运用齐次化手段能减少运算量,可简便解决圆锥曲线上两点A、B与任一点(特别地如原点)连线的斜率和,斜率积的有关问题.这种方法的关键之处是解联立方程不是"消元",而是化为"齐次式".现整理成文,希望抛砖引玉.     

“齐次式”在求解圆锥曲线问题中的妙用

<正>“齐次式”在三角函数及不等式等问题中应用较为广泛,近些年在圆锥曲线模块中出现较为频繁.圆锥曲线问题求解带给学生最大的烦恼就是运算量大,在平时的做题中,不少的学生没有形成正确的学习方法,缺少对题型的归纳整理和思考,通常采用常规的方法进行运算,思路是正确的,但运算能力不足使得运算出错,导致“会而不对”的尴尬局面.本文结合例题,从学生的角度出发,对斜率的和(积)为定值的这类题进行归类,利用“齐次式”法进行巧妙解答,避免繁琐的运算,做到知一题,     

一类与斜率有关的定点问题的“不联立”解法

<正>在处理直线与圆锥曲线的位置关系问题中,通性通法是联立直线与圆锥曲线,转化为韦达定理表达题意,运算量往往很大,许多同学只是记住了这种算法的套路,并没有理解其中的道理.本文采用不联立的方法解决一类定点问题,旨在强调直线与圆锥曲线位置关系的表达方式不需要套路化,也可以等价转化为相应的知识点解决问题,以此培养学生的数学思维.为了方便说明,先了解两个基本知识：     

巧构“齐次式”解一类解析几何问题

在高中解析几何的学习过程中,我们经常碰到直线与圆或直线与圆锥曲线位置关系的相关题目.经验告诉我们,利用常规的方法(即联立方程,再根据韦达定理和已知条件求解)可以去解决这一类问题,但通常运算量比较大,导致容易出错.当我们深入研究题目,充分挖掘题目隐含条件后,结合"齐次式"知识,我们可以得到别样的思路.下面我们通过几个例子对这一类问题进行探讨.     

减少圆锥曲线运算量的齐次化策略研究

与斜率之和(积)有关的圆锥曲线问题是高考的重点内容,通常采用联立方程,然后“设而不求”用韦达定理计算的方法解决,文章举例分析运用齐次化策略解决这类问题的技巧.     

二次曲线中的齐次式(高二、高三)

齐次式是一种常见的关系式,它体现了数学的对称美.有关二次曲线的题目往往运算量较大,引入齐次方程可以化繁为简,化难为易. 怎样应用呢? 途径1 一次方程二次化     

巧构“齐次式”解一类解新几何问题

在高中解析几何的学习过程中,我们经常碰到直线与圆或直线与圆锥曲线位置关系的相关题目．经验告诉我们,利用常规的方法（即联立方程,再根据韦达定理和已知条件求解）可以去解决这一类问题,但通常运算量比较大,导致容易出错．当我们深入研究题目,充分挖掘题目隐含条件后,结合“齐次式”知识,我们可以得到别样的思路．下面我们通过几个例子对这一类问题进行探讨．     

浅谈非对称韦达定理的处理方式——以“2020年全国卷Ⅰ理科20题圆锥曲线”为例

在平面解析几何中,圆锥曲线的定点定值问题是考试热点和难点,这里对于非对称韦达定理也是这类问题中常遇到的难点之一,这类问题综合性强,考查学生有化归转化成对称式韦达定理的能力,具有一定的选拔功能.     

巧借几何特征 形解圆锥曲线—–以2024年九省联考第18题为例

平面解析几何问题常用韦达定理等代数方法作为通法,但在实际应试中该法对学生的运算素养要求颇高.文章分别运用代数法和几何法解圆锥曲线问题,发现几何法能够极大减少运算量,并由此到一些教学上的反思.     

设点代入,作差求解

解析几何中,我们常会遇到一类与中点有关的问题,一般的处理方法是设直线方程,代人圆锥曲线方程,转化为一元二次方程,利用韦达定理来解,思路自然,但有时运算量太大.但如果采用“设点代入,作差求解”的方法来解,常常可减少运算量.避免错误.     

一类解析几何典型题的解答与拓展运用

解析几何是高考数学重点考查内容之一,解析几何问题的本质是直线与圆锥曲线联立后方程组的根,而求解时往往伴随参数,不易直接求出点的坐标,且运算量大.利用方程同解,不仅将点的坐标完美避开,还绕开韦达定理,大大减少了运算量,提升了解题效率.研究解析几何典型问题解法,可以开阔学生视野,提高学生的解题能力.     

构造齐次方程解一类解析几何题

构造方程解题是一种重要的数学思想方法．在解决直线与圆锥曲线的问题时，一种常用的方法就是利用直线方程与圆锥曲线方程转化为关于x或y的二次方程．本试图通过几例说明：利用直线方程与圆锥曲线方程构造与x，y有关的二次齐次方程可以有效地解决一类直线与圆锥曲线的问题．     

基于参数依赖齐次多项式的时变系统稳定性分析(英文)

基于齐次多项式Lyapunov函数这一新工具研究了时变不确定系统鲁棒稳定性问题.针对常见的含参数时变且有界连续可微线性系统的最大稳定区域问题,首先构造常用的参数依赖二次Lyapunov函数,进而给出一个时变系统稳定的充分条件.然后,通过构造适合的参数依赖齐次Lyapunov函数,并利用齐次多项式矩阵表示方法,最终以线性不等式的形式给出系统全局渐近稳定的一个充分条件.数值仿真结果表明齐次Lyapunov函数方法得到的结论对于某些系统比之前类似文献具有更小的保守性.     

高观点视域下,浅析一道高考真题的多解探究——以2023年新课标二卷T21为例

圆锥曲线是高中数学中一个较难的内容,每年高考都会涉及到,通常作为数学题目中最难的一部分.对于很多考生而言,圆锥曲线是一个困扰他们的难点,他们只能在第一问中做对,而在第二问中通常只能得到两三分.学生和老师需要以高考真题来掌握圆锥曲线的常规解题方法,以突破这一重要的复习备考内容.本文以2023年新课标二卷的第21题圆锥曲线为基础,通过三个不同的审题角度,总结了五种解题方法,并深度剖析了该题目中涉及的一般圆锥曲线压轴问题的三类解题方法.分析高考真题,通过深入解读一道题,找到解决其他问题的通用方法和规律,对研究具有一定意义和价值.在文末,作者通过对比分析三个角度的五种解法,研究它们的优劣势,深入挖掘本质,以此激发广大教师和学生对圆锥曲线大题核心方法(如非对称韦达定理、齐次化解法和极点极线等方法)的更深理解.     

构造齐次式在高中数学解题中的运用

在解题时,可能会遇到各项次数相等的式子,我们称之为齐次式．齐次式体现了数学的对称美与和谐美,所以我们常常把非齐次式转化为齐次式进行处理,或构造出利于解题的齐次式,这样可以化繁为简,化难为易,达到事半功倍的效果．本文结合近几年的高考和竞赛题例谈构造齐次式在高中数学中的运用,供大家参考．     

考题多变 归类最好——浅谈圆锥曲线性质问题的归类解析方法

圆锥曲线是历年新课标高考的压轴题之一,是考查学生综合能力的一大考试热点.圆锥曲线考查的核心是数形结合与转化与化归的数学思想方法.新课标卷圆锥曲线的一般命题模式是先根据已知的数理逻辑关系及曲线性质确定曲线方程,再结合基本曲线的性质考查把问题引向深入,最后化归为方程问题、不等式问题、函数问题来解决,以运算量大、数据整合方法灵活、逻辑推理层次要求高而著称,体现以能力立意的素质要求,突出对思维策略的考查,具有较高的区分度,是高考命题者追逐的热点,其中圆锥曲线性质的灵活归类应用,是突破圆锥曲线综合问题的关键.由近几年的新课标高考试卷可以看出,只要对三种圆锥曲线的性质进行归类记忆,在模式兼通法的基础上做到熟练应用,恰当地     

巧用平移 化繁为简——图形平移在求解圆锥曲线问题中的妙用

<正>在求解圆锥曲线问题时,大多数情况下需要将圆锥曲线和直线的方程联立,进行消元.若直线的方程不够简便,则联立方程组后运用韦达定理解题时,往往运算繁琐、费时费力.在有些问题中,若通过对坐标系中的图形和点整体进行平移,使某个非特殊点平移到坐标原点,则可以做到让解题过程更加简化,使题干中的条件更易于转化.如果再辅以齐次化的技巧,还能够快速解决有关两条直线的斜率和、斜率积问题以及直线经过定点的问题.     

高阶常系数线性方程解构造定理的简证

利用线性变换,统一给出常系数线性微分方程齐次通解和非齐次特解解构造定理的简化证明.