一道课本习题的推广与应用

普通高中课程标准实验教科书必修第一册(人民教育出版社,2019年第1版)第43页习题2.1的第10题的题目是:已知中b克糖水中含有a克糖(b>a>0),再添加m克糖(m>0)(假设全部溶解),糖水变甜了,请将这一事实表示为一个不等式,并证明这个不等式成立.     

生活中的不等式

不等式和方程一样,在我们的生活中比比皆是. 问题一在a克糖水中含有6克糖(a＞6＞0),现再加人m克糖,糖水变得更甜了.这一实际问题说明了数学上的一个不等式,你能说出这个关系式吗?     

一道好中考题

江苏省镇江市在2001年中考数学试卷中,命了一道符合素质教育要求的好试题,它是第30题(8分题),原题如下:(1)a克糖水中有b克糖(a>b>0),则糖的质量与糖水质量的比为_;若再添加c克糖(c>0),则糖的质量与糖水质量的比为_。生活常识告诉我们:添加的糖完全溶解后,糖水会更甜,请根据所列式子及这个生活常识提炼出一个不等式:(2)如图,在直角三角形ABC中,∠B=90°,AB=a,BC=b(a>b),延长BA、BC,使AE=     

“加糖不等式”的妙用

新、老教材中,不等式的证明方法部分都有这样一个不等式:如果a>b>0,m>0,那么b/a相似文献   

意外的提问 精彩的生成

<正>在选修教学中,为了证明不等式a/b<(a+m)/(b+m)(b>a>0,m>0),我作了如下教学设计.1教学设计例题若水杯中的b克糖水里含有a克糖,假如再添上m克糖,糖水会变得更甜,试将这一事实用数学关系式反映出来,并证明之.分析本例实质上是化学问题,由浓度概念可知     

“糖水不等式”的证明及应用

先看一道题目:ag糖水中有bg糖(a>b>0),则糖的质量与糖水的质量的比为__;若再添加cg糖(c>0),则糖的质量与糖水的质量的比为__.生活常识告诉我们:添加的糖完全溶解后,糖水会更甜.请根据所列式子及这个生活常识提炼出一个不等式:__.解:ag糖水中有bg糖,则糖的质量与糖水的质量的比为b/a;若再添     

例析“糖水不等式”的应用

<正>一、"糖水不等式"及其背景问题如果用b千克白糖制出a千克糖溶液,则糖的质量分数为b/a;若在上述溶液中a再添加千克白糖,此时糖的质量分数增加到(b+m)/(a+m).将这个事实抽象为数学问题,并给出证明.这是人教A版教材选修4-5不等式选讲中的一道例题.可以把上述事实抽象为如下     

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罗增儒 《中等数学》2005,(5)

不等式lnx≤x-1的类似及加强

用导数容易证得定理1lnx≤x-1(x>0)(当且仅当x=1时取等号).普通高中课程标准实验教科书《数学·选修2-2·A版》(人民教育出版社2007年第2版)第32页的习题第1题的第(3)小题"证明不等式:ex>1+x(x≠0)"的结论与该不等式是等价的.笔者认为,该不等式因其形式简     

“糖水不等式”的多角度应用

一般地,设a,b为正实数,且a0,则（a+m）/（b+m）>a/b。这个不等式是课本的一道例题,可以形象地比喻成:"向一杯糖水里添加点糖,糖水加糖变甜了",所以这个不等式也被称为"糖水不等式"。本文谈谈"糖水不等式"在解题中的应用,希望能给同学们一些启发。一、在圆锥曲线中的应用例1（2015年湖北卷）将离心率为e₁的双曲线C₁的实半轴长a和虚半轴长b同时增加m(m>     

不等式解题思路的串连分析

本文就高中《代数(下册)》(人民教育出版社、90年版)“不等式”一章中三个简单而重要的习题,串连课本定理、习题、高考题、竞赛题进行阐述,并简要说明其统一形式及应用。 (Ⅰ)(a~2+b~2)(c~2+d~2)≥(ac+bd)~2 一、用(Ⅰ)串连课本知识 《课本》15页第6题:“已知ad≠bc,求证(a~2+b~2)(c~2+d~2)>(ac+bd)~2。”     

从课本例题引出的研究性学习案例

高中代数教材“不等式”一章中Ｐ12 例 7:已知 :ａ、ｂ、ｍ ∈Ｒ ,且ａ <ｂ求证 :ａｂ <ａ ｍｂ ｍ这就是有名的真分数不等式 .教材中仅用分析法做了说明 .笔者认为 ,可以将其作为研究性学习的材料 ,从问题的形成、问题的解决和知识的应用三个层面进行探究 .一、敏锐地观察分析 ,科学地抽象归纳 ,探索数学问题的形成过程 ,培养实践能力和创新思维能力 .探究方案 1:实际问题引入 .在糖水中再加点糖 ,感觉糖水有何变化 ?糖水中加点糖 ,其味更甜 !如何将这个实际问题抽象为数学问题 ?ｂ克溶液中含有ａ克溶质 (ｂ>ａ) ,溶液浓度是 ａｂ,现再加…     

生活中的不等式

不等式和方程一样，在我们的生活中比比皆是． 问题一 在a克糖水中含有b克糖（a〉b〉O），现再加入m克糖，糖水变得更甜了．这一实际问题说明了数学上的一个不等式，你能说出这个关系式吗？     

例析没有数字的数学问题

数学离不开数 ,但在日常生活中没有具体数字的数学问题比比皆是 .这类问题由于没有数字的信息或启发而常使学生望而生畏 ,不知道怎样才能转化为数学问题 .本文通过实例对此类问题略作分析 .例 1　在糖水溶液中再加些糖 ,则糖水变的更甜了 ,这是为什么 ?请从数学角度加以分析 .分析　常识告诉我们 :在糖水溶液中再加些糖 ,糖水变的更甜了 ,这是因为加糖后的糖水溶液的浓度变大了的缘故 .从数学的角度分析 ,只要能说明加糖后的溶液浓度比原来溶液浓度大即可 ,这是两个数 (浓度 )的大小比较问题 .不妨设原溶液为ｂ克 ,溶质为ａ克 ,ｂ >ａ>0 ,此…     

习题因探究而精彩——一道课本习题引发的思考

<正>课本中的例、习题都是经过专家筛选和教学实践检验,被认为内涵丰富,有助于掌握知识、提高技能、形成能力的好素材,因此探究和挖掘课本中的例、习题的功能与本质对发展学生思维能力具有重要意义.1习题呈现普通高中课程标准实验教科书《数学》选修4-5《不等式选讲》(人教A版)(2007年1月第2版)第26页习题2.2第9题:     

对数的两个性质及其应用——从一道教材习题的创新解法谈起

追求思维过程的经济是解题研究的一项基本任务,表现为解题折线的简短或思维链的优化.文章针对教材中一道不同底数对数式比较大小的习题,从“糖水不等式”中获取灵感,猜想并证明了对数的两个性质,利用它们进行放缩实现对数底数的置换,结合不等式的传递性完成大小关系的判定,为解题开辟了一条“绿色通道”.     

从1999年和2000年高考试题的无理不等式谈起

数学思想和方法是学习和研究数学的“核心”和“灵魂” ,因此 ,考查数学思想与方法是《数学科考试说明》中的一项基本要求 .从 1 999年和 2 0 0 0年高考中对无理不等式的考查 ,体现了数学思想和方法的重要性 .课本在介绍含二次根式的无理不等式的解法时 ,主要是把它同解变形为有理不等式 (组 ) ,对于其它解法在课本中并未加以介绍 ,而对于含参的无理不等式课本中也是从未涉及过 .但近几年的高考对无理不等式的考查要求较高 ,因为高考已由知识立意向能力立意转化 ,其考题虽源于课本但高于课本 ,且内涵丰富 ,解法灵活多变 ,只有深刻领会其精神…     

初教列不等式解应用题以后

现行初中数学课本人教版《代数》第一册(下)第六章不等式的教学要求与以往不同,明确增加了一条要求“会用不等式和不等式组解决有关不等关系的简单实际问题,提高应用数学知识解决实际问题的能力”.为达此目的,现行课本中新编了列不等式解应用题的例题1道,习题5道.本文谈谈我们在使用这其中一组题目时的实践和体会.1 一题多解,提高效益1.1 熟悉题意,作好准备 题1 把一堆苹果分给几个孩子,如果每人分3个则余8个;如果前面每人分5个,则最     

源头活水来 串连思路宽

本文就高中《代数(下册)》(人民教育出版社、90年版)“不等式”一章中三个简单而重要的习题,串连课本定理、习题、高考题、竞赛题进行阐述,并简要说明其统一形式及应用。串连起到了推波助澜的作用。用问题串连概念,澄清、变活源头;用概念串连问题,拓宽、理顺思路。 (Ⅰ) (a~2 b~2)(c~2 d~2)≥(ac bd)~2 一、用(Ⅰ)串连课本知识 《课本》15页第6题,“已知ad≠bc,求证(a~2 b~2)(c~2 d~2)>(ac bd)~2” 1.[证题思路] 用本章定理1(p.8.“a~2 b~2≥2ab”)就有(a~2 b~2)(c~2 d~2)=(ac)~2 [(ad)~2 (bc)~2) (bd)~2≥(ac)~2 2acbd (bd)~2=(ac bd)~2。这里可突出“等号当且仅当ad=bc时成立。”以加深理解定理1,也利于极值等问题的求解。 不妨进一步说明(Ⅰ)是重要的柯西不等式的二维形式,其三个二次式,从不等关系     

一个不等式的推广及应用

《苏教版·普通高中课程标准实验教科书·选修4～5(不等式选讲)》课本第20页有一道习题:设a≠b,求证:a~4 b~4>a~3b ab~3.证明:对任意不相等的实数a、b,总有:(a~4 b~4)-(a~3b ab~3) =(a-b)~2[(a b/2)~2 3/4b~2]>0.注意到原题的不等式两边是齐次式,我们可以从项数和指数两个方面进行推广.