例析有关焦点三角形问题的求解策略

例1双曲线x²/9-y²/16=1的两个焦点为F₁、F₂,点P在双曲线上.若PF₁⊥PF₂,则点P到x轴的距离是_<sub><sub><sub>.这是一道典型的与焦点三角形有关的问题,焦点三角形是指以椭圆（或双曲线）的焦距F₁F₂为底边,顶点P在椭圆（或双曲线）上的三角形.解法1:（辅助圆法）以O为圆心,OF₁=5为半径作圆z²+y`2=25,与双曲线x²/9-y²/16=1联立,解得两曲线的交点即为题意中的点P（x₀,y₀）,消去x²,得|y₀|=|y|=     

椭圆焦点三角形中的几个结论及应用

<正> 设 F₁,F₂是椭圆（x²/a²）+（y²/b²）=1（a>b>0）的焦点,过 F₁,F₂的弦交椭圆于 P 点,称∠F₁PF₂为椭圆的弦焦角,△F₁PF₂为椭圆中的焦点三角形。如图1所示,在△F₁PF₂中,P 与 A₁,A₂不重合,设∠F₁PF₂=2α,则有下列三个结论。一、|PF₁|·|PF₂|·cos²α=b²证明在△F₁PF₂中,设|PF₁|=m,|PF₂|=n,|F₁F₂|=2c。由余弦定理得:m²+n²-2mncos2α=4c²①,又 m+n=2a,     

圆锥曲线与中点弦有关的一个性质

本文介绍圆锥曲线与中点弦有关的一个性质.性质1如图1,已知点P是椭圆（x²）/（a²）+（y²）/（b²）=1（a>b>0）的弦MN的中点,与MN平行的直线交椭圆于A,B两点,AP与椭圆交于点C,BP与椭圆交于点D,则CD∥AB.证明:设A（x₁,y₁）,B（x₂,y₂）,C（x₃,y₃）,D(x₄,     

对一道高考题的探究、引申

题目已知椭圆（x²）/（a²）+（y²）/（b²）=1（a>b>0）的离心率为(2^1/2)/2,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F₁、F₂为顶点的三角形的周长为4(2^1/2+1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设P为该双曲线上异于顶点的任一点,直线PF₁和PF₂与椭圆的交点分别为A、B和C、D.（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程;（Ⅱ）设直线PF₁和PF₂的斜率分别为k₁、k₂.证明:k₁k₂=1;     

从仿射变换角度看2011年高考山东理科第22题

题目（2011年高考山东省理科第22题）已知动直线l与椭圆C:x²/3+y²/2=1交于P（x₁,y₁）、Q（x₂,y₂）两个不同点,且△OPQ的面积S△OpQ=(6^1/2/2),其中O为坐标原点.（Ⅰ）证明:x₁²+x₂²和y₁²+y₂²均为定值;（Ⅱ）设线段PQ的中点为M,求|OM|·|PQ|的最大值;     

平面曲线的中心对称与轴对称问题

对称问题是函数和解析几何中的重要考点,如何有效解决?本文将以向量为工具给出对称问题的有效解决方法,供读者参考.一、点关于点对称问题结论1点P（x₀,y₀）关于点M（a,b）的对称点为Q（2a-x₀,2b-y₀）.证明:设Q（x₁,y₁）,则必有（?）,即（a-x₀,b-y₀）=（x₁-a,y₁-b）,得到a-x₀=x₁-a,b-y₀=y₁-b,即     

对2011年高考山东卷理科22(Ⅰ)题的研究

题目已知直线l与椭圆C:x²/3+y²/2=1交于P（x₁,y₁）、Q（x₂,y₂）两不同点,且△OPQ的面积S△OPQ=(6^1/2/2),其中O为坐标原点.（Ⅰ）证明:x₁²+₂²和y₁²+y₂²为定值;（Ⅱ）设线段PQ的中点为M,求|OM|·|PQ|的最大值;（Ⅲ）椭圆C上是否存在点D、E、G使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=(6^1/2/2)?若存     

变化中寻不变 探究中求推广

2011年北京大学自主招生考试试题中有这样一道题:题目已知（x₁,y₁）、（x₂,y₂）、（x₃,y₃）是圆x²+y²=1上的三点,且满足x₁+x₂+x₃=0,y₁+y₂+y₃=0.证明:x₁²+x₂²+x₃²=y₁²+y₂²+y₃²=3/2.文[1]通过转化思想将本题转化为三角等     

椭圆曲线中“非对称”韦达定理的处理技巧

<正>在以下解答题第(2)问证明椭圆曲线中某一个量为定值时,同学们比较熟悉的解决策略是:联立直线与椭圆曲线的方程,消元得到ax~2+bx+c=0(或ay~2+by+c=0),再运用韦达定理进行“整体代换”,就能够把该量化简为由x₁,x₂(或y₁,y₂)组成的一切对称式,如:x₁+x₂,x₁x₂,x₁~2+x₂~2,|x₁-x₂|,1/x₁+1/x₂等,代换后表达式中不再出现x₁,x₂(或y₁,y₂)的其他形式,则利用韦达定理可求得该量的值.     

巧用圆锥曲线弦中点性质解题

直线与圆锥曲线问题,一直是高中数学研究的重点所在,而作为直线与圆锥曲线中特殊的点——弦中点问题,更是为我们平常之所见.一、椭圆与双曲线的弦中点性质设AB为圆锥曲线x²/m+y²/n=1的一条不垂直于坐标轴的弦,异于原点的点P（x₀,y₀）为AB中点,则k_AB·k_OP=-n/m.证明（点差法）如图1,设A(x₁,     

巧思妙解话函数

巧用特殊值巧用特殊值是指在题目条件下取一些特殊的值进行简单计算,以确定问题的解的一种解题技巧.适用范围遇到含有数的取值范围选择题时,运用特殊值可使解题快捷.试题1在函数y=k/x（k>0）的图象上有三点A₁（x₁,y₁）,A₂（x₂,y₂）,A₃（x₃,y₃）,已知x₁2<03,则下列各式中正确的是（）A.y₁23 B.y₃21C.y₂13 D.y₃12技巧关键可通过取特殊值转化为简单的计算进行比较,但需要注意的     

例谈知识点交汇问题的解题策略

一、与向量、方程、函数知识点的交汇例1,若抛物线C:y²=4x,F是抛物线C的焦点,过F的直线l与抛物线C相交于A、B两点,l的斜率为1,求OA,OB的夹角.解:∵F（1,0）,l的斜率K_l=1,∴l的方程为:y=x-1.设A（x₁,y₁）,B（x₂,y₂）,l与C相交将l:y=x-1代入C:y²=4x中得:x²-6x+1=0,x₁,x₂为其两根,则x₁+x₂=6,x₁·x₂=1,     

椭圆与双曲线中点弦的存在性研究

为了不失一般性,我们将椭圆与双曲线方程统设为x²/m+y²/n=1,其中m,n不同时为负数,当m>0,n>0且m≠n时,方程表示椭圆;当m·n<0时,方程表示双曲线.首先来熟悉一下椭圆与双曲线的中点弦性质:设AB为圆锥曲线x²/m+y²/n=1的一条不垂直于坐标轴的弦,异于原点的点P（x₀,y₀）为AB中点,则k_AB·k_OP=-n/m.说明（1）此性质可由"点差法"很容易得     

对“椭圆中由两垂直直线引出的‘包络’”再研究

<正>笔者在《椭圆中由两垂直直线引出的“包络”》一文中得到这样一个结论:在平面直角坐标系中,圆的方程是x²+y²=r²(r>0),由点M(x₀,y₀)引两条相互垂直的动直线MP、MQ,这族直线PQ的包络线是一个椭圆,以原点O(0,0)和点M(x₀,y₀)为焦点,长轴长是槡2r²-x₀²-y₀²．在此基础上类比椭圆,提出过这样一个猜想:在平面直角坐标系中,椭圆的方程是■,由点M(x₀,y₀)■引两条相互垂直的动直线MP、MQ,与椭圆相交于P,Q两点,这族直线PQ的包络线是一个椭圆,其以M(x₀,y₀)和点■为焦点,长轴长是■．显然圆中的结论是椭圆的猜想的特殊情况,所以只需要证明椭圆中的猜想即可．这个猜想之所以难以证明,是因为...     

一道中考试题的分析与启示

题目:如图直线y=kx+b与x轴交于D点,与y轴交于C点,连结CD,△COD的面积为S,且ks+32=0.抛物线y=x²/8与直线y=kx+b交于A（x₁,y₁）、B（x₂、y₂）两点,连接AO、BO.（1）求b的值;（2）求证:点（y₁,y₂）在反比例函数y=64/x上;（3）求证:x₁·BO+y₂·AO=0.一、试题的质量分析1.这是一道比较好的试题,它把知识的基础性与运用的灵活性很好好的融合在一起.第（1）问求字母b的值,用常规的方法设横坐标为0,求出C的坐标（0,b）;设纵坐标为0,求出D的坐标（-b/k,0）,通过面积S_△COD=DO·CO/2=-b²/2k,再代入ks+32=0中就能求出b=8.这比较基础,绝大部分学生都能把基本分拿到手.第（2）问中验证一个点在已知函数的图象上,这个     

圆锥曲线问题中常见错误分析

一、圆锥曲线中常见问题1.不能灵活掌握圆锥曲线定义例1已知有一双曲线与x²/25+y²/16=1,且其虚轴长为4,有一点P₀,距左焦点为6,求该点距右焦点为多少.错解:用待定系数法设双曲线方程为x²/a²-y²/b²=1.易知椭圆焦点为F₁（3,0）,F₂（-3,0）,因此b=2,得a=23^1/3.因|PF₁-PF₂|=2a,得|8-PF₁i=43^1/2,得出PF₂=8-43^1/2或PF₂6+42^1/2剖析:解题过程中仅仅考虑到了取绝对值,但是因题目中给出了条件"P₀距离左焦点为6",因此可进一步判断结果有几个.正解:设双曲线方程为x²/a²-y²/b²=1,根据椭圆x²/25+y²/16=1可得焦点坐标为F₁（3,0）,F₂（-3,0）,因此b=23^1/2,假设P₀位于右曲线,取右曲线距离左焦点最小距离为23^1/2+3>6.因此可判断出P₀并不在右曲线上,只可能在左曲线上.求得结果为6+23^1/2.     

过不共线三点的圆锥曲线

我们知道,过不共线三点确定唯一一个圆.那么自然会想到,过不共线的三点有多少个椭圆、双曲线和抛物线?本文试图给这个问题做出解答.我们首先来解决抛物线的问题.结论1:设A（x₁,y₁）、B（x₂,y₂）、C（x₃,y₃）是直角坐标系xOy中不共线的三点,且它们的横坐标互不相同,则有唯一的抛物线y=ax²+bx+c经过A、B、C三点.     

一道椭圆考题的反思与探究

2011年山东理科卷第22题的第（1）问:直线l与椭圆x²/3+y²/2=1交于P（x₁,y₁）,Q（x₂,y₂）两点,△OPQ的面积是6^1/2,证明:x₁²+x₂²和y₁²+y₂²均为定值.本题从两个动点出发,基于三角形面积的不变性,证明与动点有关的两个定值.行文简洁,引入深思.常规解法主要涉及直线方程、弦     

椭圆的三类切点弦的包络

引理已知MA和MB是椭圆b²x²+a²y²=a²b²的两条切线,A,B是切点,若M点的坐标是M（x₀,y₀）,则切点弦AB的方程是x₀x/a²+y₀y/b²=1.证明记A（x_A,y_A）,B（x_B,y_B）,则分别以A（x_A,y_A）,B（x_B,y_B）为切点的椭圆的两条切线的方程依     

多条妙计智取解几压轴题

题目已知曲线C_n:x²-2nx+y²=0（n=1,2,…）.从点P（-1,0）向曲线C_n引斜率为k_n（k_n>0）的切线l_n,切点为P_n（x_n,y_n）.（1）求数列{x_n}与{y_n}的通项公式;（2）证明:x₁·x₃·x₅·…·x_2n-1<（（1-x_n）/（1+x_n））^1/2<2^1/2sinx_n/y_n.